Pembuktian melalui kontradiksi

Pembuktian melalui kontradiksi (bahasa Latin: reductio ad absurdum, 'reduksi ke yang absurd', bahasa Inggris: proof by contradiction, 'bukti oleh kontradiksi'), adalah argumen logika yang dimulai dengan suatu asumsi, lalu dari asumsi tersebut diturunkan suatu hasil yang absurd, tidak masuk akal, atau kontradiktif, sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa asumsi tadi adalah salah (dan ingkarannya benar). Dalam disiplin matematika dan logika, pembuktian melalui kontradiksi merujuk secara khusus kepada argumen dimana sebuah kontradiksi dihasilkan dari suatu asumsi (sehingga membuktikan asumsi tadi salah)

Argumen ini menggunakan hukum non-kontradiksi - yaitu suatu pernyataan tidak mungkin benar dan salah sekaligus. Frase Latin reductio ad absurdum berasal dari frasi Yunani ἡ εἰς ἄτοπον ἀπαγωγή yang berarti sama, digunakan oleh filsuf Aristoteles.

Penjelasan

Dalam disiplin logika formal, pembuktian melalui kontradiksi digunakan ketika sebuah kontradiksi (formal) dapat dihasilkan dari suatu premis, sehingga dapat disimpulkan bahwa premis tersebut salah. Jika kontradiksi tersebut dihasilkan dari beberapa (lebih dari satu) premis, kesimpulannya adalah satu atau lebih dari premis tersebut adalah salah. Dalam kasus terakhir, metode lain harus digunakan untuk membuktikan premis mana saja yang salah.

Suatu pernyataan matematis kadang-kadang dibuktikan dengan cara pembuktian melalui kontradiksi, dengan cara mengasumsikan ingkaran (negasi) dari pernyataan yang hendak dibuktikan, lalu dari asumsi ini diturunkan sebuah kontradiksi. Ketika kontradiksi dapat dicapai secara logika, asumsi tadi telah terbukti salah, sehingga pernyataan tersebut benar.

Pembuktian melalui kontradiksi atau reductio ad absurdum bukanlah sebuah argumen yang salah, sebaliknya jika dilakukan dengan benar merupakan argumen yang sah. Jika pembuktian melalui kontradiksi menghasilkan kesalahan, kesalahan tersebut terletak pada kesalahan pada proses penurunan kontradiksi, bukan pada cara pembuktiannya.

Contoh

Contoh klasik pembuktian melalui kontradiksi pada zaman Yunani Kuno adalah pembuktian bahwa akar kuadrat dari dua merupakan bilangan irasional (tidak bisa dinyatakan sebagai perbandingan bilangan bulat). Pernyataan ini dapat dibuktikan dengan cara mengasumsikan sebaliknya bahwa √2 adalah bilangan rasional, sehingga bisa dinyatakan sebagai perbandingan bilangan bulat a/b dalam pecahan yang paling sederhana. Tapi jika a/b = √2, maka a² = 2b². Ini berarti a² adalah bilangan genap. Karena kuadrat dari bilangan ganjil tidak mungkin genap, maka a adalah bilangan genap. Karena a/b adalah pecahan paling sederhana b pastilah ganjil (sebab pecahan genap/genap masih bisa disederhanakan). Namun karena a adalah bilangan genap (anggap 2r artinya a² (4r²) adalah bilangan kelipatan 4, dan b² adalah bilangan kelipatan 2 (genap). Hal ini berarti b juga merupakan bilangan genap, dan ini merupakan kontradiksi terhadap kesimpulan sebelumnya bahwa b pastilah ganjil. Karena asumsi awal bahwa √2 adalah rasional mengakibatkan terjadinya kontradiksi, asumsi tersebut pastilah salah, dan ingkarannya (bahwa √2 adalah irasional) merupakan pernyataan yang benar.

Bahan bacaan

• J. Franklin and A. Daoud, Proof in Mathematics: An Introduction, Quakers Hill Press, 1996, ch. 6