Eliminasi Gauss-Jordan

Dalam al-jabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah algoritme versi dari eliminasi Gauss. Pada metode eliminasi Gauss-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (Semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol).

Metode eliminasi Gauss-Jordan kurang efisien untuk menyelesaikan sebuah SPL, tetapi lebih efisien daripada eliminasi Gauss jika kita ingin menyelesaikan SPL dengan matriks koefisien sama.

Metode tersebut dinamai Eliminasi Gauss-Jordan untuk menghormati Carl Friedrich Gauss dan Wilhelm Jordan.

Aplikasi untuk mencari Invers

Jika eliminasi Gauss-Jordan diterapkan dalam matriks persegi, metode tersebut dapat digunakan untuk menghitung invers dari matriks. Eliminasi Gauss-Jordan hanya dapat dilakukan dengan menambahkan dengan matriks identitas dengan dimensi yang sama, dan melalui operasi-operasi matriks:

$[AI]\Longrightarrow A^{-1}[AI]\Longrightarrow [IA^{-1}]$

Jika A contoh matriks persegi yang diberikan:

$A={\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}}$

Kemudian, setelah ditambahkan dengan matriks identitas:

$[AI]={\begin{bmatrix}2&-1&0&1&0&0\\-1&2&-1&0&1&0\\0&-1&2&0&0&1\end{bmatrix}}$

Eliminasi Gauss-Jordan pada $[AI]$ menghasilkan bentuk yang tereduksi:

$[IA^{-1}]={\begin{bmatrix}1&0&0&{\frac {3}{4}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}\\0&1&0&{\frac {1}{2}}&1&{\frac {1}{2}}\\0&0&1&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {3}{4}}\end{bmatrix}}.$

Dengan melakukan operasi baris dasar pada matriks $[AI]$ sampai A menjadi matriks identitas, maka didapatkan hasil akhir:

$I={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad A^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {3}{4}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{2}}&1&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {3}{4}}\end{bmatrix}}$

Referensi

• Lipschutz, Seymour, and Lipson, Mark. "Schaum's Outlines: Linear Algebra". Tata McGraw-hill edition. Delhi 2001. pp. 69-80.
• Strang, Gilbert (2003). Introduction to Linear Algebra, 3rd edition, Wellesley, Massachusetts: Wellesley-Cambridge Press, 74-76.
• Sahid. Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. 2005. Yogyakarta:ANDI