Matriks terbalikkan

Dalam aljabar linear, sebuah matriks persegi $\mathbf {A}$ berukuran $n\!\times \!n$ terbalikkan (invertible) atau tidak singular, jika terdapat matriks persegi $\mathbf {B}$ dengan ukuran yang sama dengan $\mathbf {A}$ , dan memenuhi hubungan:

\mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}\

dengan $\mathbf {I} _{n}$ melambangkan matriks identitas berukuran $n\!\times \!n$ , dan perkalian yang dilakukan merupakan perkalian matriks yang umum. Jika hubungan tersebut berlaku, maka matriks $\mathbf {B}$ disebut sebagai balikan atau invers (multiplikatif) dari matriks $\mathbf {A}$ , dan diberi lambang $\mathbf {A} ^{-1}$ .

Matriks persegi tidak dapat dibalik disebut dengan matriks singular. Matriks persegi bersifat singular jika dan hanya jika nilai determinannya 0. Matriks yang bukan matriks persegi (berukuran $m\!\times \!n$ dan $m\neq n$ ) tidak memiliki invers. Namun dalam beberapa kasus, matriks tersebut mungkin memiliki invers kiri atau invers kanan. Jika matriks $\mathbf {A}$ berukuran $m\!\times \!n$ dengan rank $n$ (nilai $n\leq m$ ), maka $\mathbf {A}$ memiliki invers kiri. Invers kiri ini adalah sebuah matriks $\mathbf {B}$ berukuran $n\!\times \!m$ yang memenuhi hubungan $\mathbf {B} \mathbf {A} =\mathbf {I} _{n}.$ Sedangkan jika rank matriks $\mathbf {A}$ adalah $m$ (nilai $m\leq n$ ), maka $\mathbf {A}$ memiliki invers kanan; yakni sebuah matriks $\mathbf {B}$ berukuran $n\!\times \!m$ yang memenuhi hubungan $\mathbf {A} \mathbf {B} =\mathbf {I} _{m}.$

Sifat

Teorema matriks terbalikkan

Sifat keterbalikkan sebuah matriks berhubungan erat dengan banyak sifat lain yang dimiliki matriks tersebut. Misalkan $\mathbf {A}$ adalah matriks persegi berukuran $n\!\times \!n$ , dengan entri-entri adalah elemen dari suatu lapangan $K$ (misalnya, lapangan bilangan real $\mathbb {R}$ ). Semua pernyataan berikut ekuivalen, dalam artian antara matriks $\mathbf {A}$ memenuhi semua pernyataan, atau matriks $\mathbf {A}$ tidak memenuhi satupun pernyataan yang ada.^[1]

Matriks $\mathbf {A}$ terbalikkan. Dengan kata lain, matriks $\mathbf {A}$ memiliki sebuah invers (atau tidak singular).
Ada sebuah matriks $\mathbf {B}$ berukuran $n\!\times \!n$ yang memenuhi $\mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}\$
Matriks $\mathbf {A}$ dapat diubah menjadi matriks identitas $\mathbf {I} _{n}$ lewat serangkaian operasi baris elementer, atau lewat serangkaian operasi kolom elementer.
Matriks $\mathbf {A}$ dapat dinyatakan sebagai perkalian (dengan jumlah terhingga) matriks-matriks elementer
Matriks $\mathbf {A}$ memiliki $n$ posisi pivot. Posisi pivot adalah nilai 1 pertama sebuah baris pada matriks bentuk eselon baris tereduksi (reduced row echelon form).
Persamaan $\mathbf {Ax} =\mathbf {0}$ hanya memiliki solusi trivial, yakni $\mathbf {x} =\mathbf {0}$
Persamaan $\mathbf {Ax} =\mathbf {b}$ tepat memiliki satu solusi, untuk semua $\mathbf {b} \in K^{n}$
Transformasi linear $\mathbf {x} \mapsto \mathbf {Ax}$ adalah sebuah bijeksi dari $K^{n}$ ke $K^{n}$
Kernel dari $\mathbf {A}$ trivial; dengan kata lain hanya mengandung vektor nol sebagai elemennya, sehingga $\operatorname {Ker} (\mathbf {A} )=\{\mathbf {0} \}$
Determinan dari $\mathbf {A}$ sama dengan 0.
Bilangan 0 bukan nilai eigen dari matriks $\mathbf {A}$
Rank $\mathbf {A}$ penuh; dengan kata lain, $\operatorname {Rank} \mathbf {A} =n$
Kolom-kolom dari $\mathbf {A}$ saling bebas linear. Ini mengartikan tidak mungkin menyatakan sebuah kolom matriks $\mathbf {A}$ sebagai kombinasi penjumlahan kolom-kolom yang lain.
Span dari kolom-kolom matriks $\mathbf {A}$ adalah $K^{n}$ . Artinya, himpunan semua kombinasi linear dari kolom-kolom $\mathbf {A}$ akan sama dengan $K^{n}$
Ruang kolom dari matriks $\mathbf {A}$ adalah $K^{n}$ . Ruang kolom adalah ruang vektor yang dibentuk oleh kolom-kolom matriks $\mathbf {A}$
Kolom-kolom matriks $\mathbf {A}$ membentuk sebuah basis bagi $K^{n}$
Transpos dari $\mathbf {A}$ , yakni matriks $\mathbf {A} ^{\text{T}}$ juga terbalikkan. Hal ini mengartikan baris-baris dari matriks $\mathbf {A}$ juga memenuhi sifat-sifat yang sama dengan kolom-kolom matriks.
Matriks $\mathbf {A}$ memiliki invers kiri (yakni matriks $\mathbf {B}$ sehingga $\mathbf {BA} =\mathbf {I}$ ) dan invers kanan (yakni matriks $\mathbf {C}$ sehingga $\mathbf {AC} =\mathbf {I}$ ). Lebih lanjut, nilai kedua invers tersebut sama, $\mathbf {B} =\mathbf {C} =\mathbf {A} ^{-1}$