Daftar identitas logaritma

Identitas logaritma atau dikenal sebagai hukum logaritma, ialah kumpulan rumus-rumus yang melibatkan logaritma dan bertujuan untuk mempermudah kalkulasi pada bentuk-bentuk yang cukup rumit.

Logaritma
Domain dan Citra
Domain dari fungsi	$(0,\infty )$
Daerah hasil fungsi	$(-\infty ,\infty )$
Nilai-nilai spesifik
Nilai di $+\infty$	$\infty$
Nilai maksimum	Tidak ada
Nilai minimum	Tidak ada
Sifat khusus
Akar	$1$
Invers	$x=b^{y}$
Turunan	${\frac {1}{x\ln b}}$
Antiturunan	$x\log _{b}x-{\frac {x}{\ln b}}+C$

Fungsi logaritma dapat didefinisikan sebagai

$b^{x}=c\iff \,^{b}\!\log c=x$.

dimana $b$ adalah adalah basis atau bilangan pokok dari logaritma, dengan syarat $0<b<1$ atau $b>1$, $x$ adalah bilangan yang dilogaritmakan yang disebut dengan numerus, dan bilangan positif $c$ adalah hasil dari logaritma yang disebut dengan antilogaritma.

Sebagai catatan, notasi logaritma yang dipakai dalam halaman ini tetap memiliki makna yang sama dengan $\log _{b}x$, kendatipun notasinya berbeda.

Berikut adalah daftar identitas logaritma beserta dengan pembuktian-pembuktiannya, antara lain:

Sifat dasar

Sifat trivial

Salah satu yang paling mendasar dalam identitas logaritma, ialah $^{b}\!\log b=1$, karena $b^{1}=b$. Terdapat sifat dasar lain, yaitu

• $^{b}\!\log 1=0$, karena $b^{0}=1$.
• $^{b}\!\log b^{n}=n$.

Sebagai pengecualian, logaritma dengan $b=0$ tidak memiliki nilai. Hasil limit dari $^{b}\!\log 0=-\infty$ ketika $b\to 0^{+}$. Untuk memahami lebih lanjut mengenai konsep ini, lihat buktinya di sini.

Perkalian dan pembagian

• $^{b}\!\log xy=\,^{b}\!\log x+\,^{b}\!\log y$

Klik 'tampil' untuk melihat bukti
Misalkan $^{b}\!\log x=u$ dan $^{b}\!\log y=v$. Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen diperoleh $x=b^{u}$ dan $y=b^{v}$. Maka, $xy=b^{u+v}$. Ambil logaritma basis $a$ pada kedua ruas sehingga $^{b}\!\log xy=\,^{b}\!\log x^{u+v}=u+v=\,^{b}\!\log x+\,^{b}\!\log y\quad \blacksquare$.

Sifat ini dapat diperumum ke kasus dengan numerus merupakan hasil perkalian banyak suku,

$^{b}\!\log \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\,^{b}\!\log x_{i}$.

• $^{b}\!\log \left({\frac {x}{y}}\right)=\,^{b}\!\log x-\,^{b}\!\log y$

Klik 'tampil' untuk melihat bukti
Misalkan $^{b}\!\log x=u$ dan $^{b}\!\log y=v$. Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen diperoleh $x=b^{u}$ dan $y=b^{v}$. Maka, ${\frac {x}{y}}=a^{u-v}$ Ambil logaritma basis $a$ pada kedua ruas sehingga $^{b}\!\log {\frac {x}{y}}=\,^{b}\!\log x^{u-v}=u-v=\,^{b}\!\log x-\,^{b}\!\log y\quad \blacksquare$.

Penambahan dan pengurangan

• $^{b}\!\log(x+y)=\,^{b}\!\log(x)+\,^{b}\!\log \left(1+{\frac {y}{x}}\right)$
• $^{b}\!\log(x-y)=\,^{b}\!\log x+\,^{b}\!\log \left(1-{\frac {y}{x}}\right)$

Lebih umumnya lagi,

$^{b}\!\log \left(\sum _{i=0}^{n}x_{i}\right)=\,^{b}\!\log x_{0}+\,^{b}\!\log \left(1+\sum _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}}{a_{0}}}\right)=\,^{b}\!\log x_{0}+\,^{b}\!\log \left(1+\sum _{i=1}^{n}b^{\left(^{b}\!\log x_{i}-^{b}\!\log x_{0}\right)}\right)$.

Perubahan basis

Perubahan basis dapat dirumuskan sebagai

$^{b}\!\log x={\frac {^{p}\!\log x}{^{p}\!\log b}}$

dengan syarat $0<p<1$ dan $p>1$ dan $p\neq 1$, dengan mengikuti definisi logaritma.

Klik 'tampil' untuk melihat bukti

Misal $^{b}\!\log x=y$. Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen, kita memperoleh $b^{y}=x$. Maka, kita tuliskan sebagai $^{p}\!\log x=^{p}\!\log b^{y}$ Dengan menggunakan sifat sebelumnya, maka ${\begin{aligned}^{p}\!\log x&=y\,^{p}\!\log b\\y&={\frac {^{p}\!\log x}{^{p}\!\log b}}\end{aligned}}$ Substitusi kembali sehingga didapati $^{b}\!\log x={\frac {^{p}\!\log x}{^{p}\!\log b}}\quad \blacksquare$.

Perkalian dan pembagian dalam basis logaritma

• $^{bc}\!\log x={\frac {1}{{\frac {1}{^{b}\!\log x}}+{\frac {1}{^{c}\!\log x}}}}$
• $^{\frac {b}{c}}\!\log x={\frac {1}{{\frac {1}{^{b}\!\log x}}-{\frac {1}{^{c}\!\log x}}}}$

Pertukaran basis

Pertukaran basis pada logaritma dapat dirumuskan sebagai

$^{b}\!\log x={\frac {1}{^{x}\!\log b}}$.

Klik 'tampil' untuk melihat bukti
Dengan menggunakan sifat perubahan basis, maka kita dapat memisalkan $p=x$ akan memperoleh $^{b}\!\log x={\frac {^{x}\!\log x}{^{x}\!\log b}}={\frac {1}{^{x}\!\log b}}$. $\blacksquare$

Logaritma dalam eksponen

• $x^{\frac {\log(\log x)}{\log x}}=\log x$ atau $x^{\frac {\log a}{\log x}}=a$

Klik 'tampil' untuk melihat bukti
Menggunakan sifat perubahan basis, akan memperoleh $x^{\frac {\log a}{\log x}}=x^{^{x}\!\log a}=a$. $\blacksquare$

Membatalkan eksponen

Sama halnya dengan penambahan dan pengurangan, maupun perkalian dan pembagian, logaritma dapat membatalkan eksponen karena kedua operasi tersebut saling invers. Secara matematis ini mengartikan,

$b^{^{b}\!\log x}=x$ karena $^{b}\!\operatorname {antilog} (\,^{b}\!\log x)=x$; dan

$^{b}\!\log(b^{x})=x$ karena $^{b}\!\log(\,^{b}\!\operatorname {antilog} x)=x$.

Perhatikan bahwa sifat logaritma di atas dapat kita pakai untuk membuktikan bahwa $^{b}\!\log x^{\frac {1}{n}}={\frac {1}{n}}\,^{b}\!\log x$.

Logaritma dengan basis lain

Logaritma natural

• $\ln 1=0$
• $\ln e=1$
• $\ln e^{x}=x$
• $e^{\ln x}=x$
• $\ln xy=\ln x+\ln y$
• $\ln {\frac {x}{y}}=\ln x-\ln y$

Logaritma dalam kalkulus

Limit

Untuk $b>1$, ketika $x\to 0^{+}$, maka grafik menunjukkan bahwa nilai yang diperoleh menuju $-\infty$ dengan drastis dan ketika $x\to \infty$, maka menuju $\infty$ secara perlahan.

• $\lim _{x\to 0^{+}}\,^{b}\!\log x=-\infty$
• $\lim _{x\to \infty }\,^{b}\!\log x=\infty$

Untuk membuktikan limit tersebut, perhatikan grafik fungsi logaritma basis $b$ sembarang (untuk $b>1$). Sebagai catatan, untuk $0<b<1$,

• $\lim _{x\to 0^{+}}\,^{b}\!\log x=\infty$
• $\lim _{x\to \infty }\,^{b}\!\log x=-\infty$

Pembuktian yang serupa terhadap limit dari fungsi logaritma alami.

• $\lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty$
• $\lim _{x\to \infty }\ln x=\infty$

Sebagai tambahan, berikut adalah identitas logaritma dalam limit.

• $\lim _{x\to 0^{+}}x^{c}\cdot \,^{b}\!\log x=0$ jika $c>0$
• $\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {^{b}\!\log x}{x^{c}}}=0$ jika $c>0$

Turunan

Turunan logaritma dalam kalkulus dapat dirumuskan sebagai

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log _{b}(x)={\frac {1}{x\ln(b)}}$, dengan $x>0$, $b>0$, dan $b\neq 1$.

Klik 'tampil' untuk melihat bukti
Perhatikan bahwa $y=\log _{b}x$ jika dan hanya jika $x=b^{y}$, maka kita memperoleh $\ln x=y\cdot \ln b$. Dengan substitusi kembali, diperoleh $\log _{b}x={\frac {\ln x}{\ln b}}$. Jika kita turunkan, maka kita mendapatkan ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log _{b}(x)={\frac {1}{x\ln(b)}}$

Turunan dalam basis lain, antara lain

• ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln x={\frac {1}{x}}$

Integral

Integral logaritma dalam kalkulus dapat dirumuskan sebagai

$\int \log _{b}(x)\,dx=x\log _{b}(x)-{\frac {x}{\ln(b)}}+C=x\left(\log _{b}(x)-{\frac {1}{\ln(b)}}\right)+C$

Integral dalam basis lain, antara lain

• $\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C\,$

Klik 'tampil' untuk melihat bukti
Buktinya dapat kita pakai identitas integral terhadap logaritma, dengan memisalkan $b=e$. Ada bukti lain, ialah integrasi parsial. Dengan memisalkan $u=\ln x$, $\mathrm {d} v=\mathrm {d} x$, $\mathrm {d} u={\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x$ dan $v=x$, maka $\int \ln x\,\mathrm {d} x=(\ln x)(x)-\int (x)\left({\frac {1}{x}}\right)\,\mathrm {d} x=x\ln x-\int \,\mathrm {d} x=x\ln x-x+C$. $\blacksquare$

Deret

• $\ln(1+x)=\sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n}}$

Pendekatan logaritma

• $\log x\approx {\frac {x^{x}-1}{x}}$
• $\log(1+x)\approx x$

Bentuk pecahan berlanjut

Logaritma alami

• $\ln(1+x)={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}$

• $\ln \left(1+{\frac {x}{y}}\right)={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}$