Bilangan rasional

\mathbb {Q}

Simbol yang melambangkan himpunan bilangan rasional yang berasal dari kata bahasa Jerman, lihat Daftar simbol matematika untuk lihat lebih lanjut.

Himpunan bilangan rasional terdiri dari himpunan bilangan bulat.

Bilangan rasional (bahasa Inggris: rational number) adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat $a$ dan $b$ , dengan syarat $b$ tidak boleh sama dengan 0. Himpunan bilangan rasional dapat dilambangkan sebagai $\mathbb {Q}$ ^[1], yang berasal dari kata bahasa Jerman, quotient, yang diterjemahkan sebagai "rasio".^[2] Sebagai contoh, ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$ , $0.8$ adalah contoh-contoh bilangan rasional. Walakin, tidak seperti ${\sqrt {5}}$ dan $\pi$ yang merupakan bilangan irasional. Untuk himpunan bilangan rasional dapat kita rumuskan

\mathbb {Q} =\left\{\left.{\frac {a}{b}}\right|a,b,\in \mathbb {Z} ,b\neq 0\right\}

.

Dengan memisalkan penyebut adalah satu dan pembilang adalah bilangan bulat sembarang, maka bentuknya dapat dinyatakan sebagai bilangan bulat sembarang. Akibatnya, semua bilangan bulat yang merupakan bilangan rasional, menjadi himpunan bilangan bulat.^[3]

Dalam teori himpunan, himpunan bilangan rasional adalah subhimpunan dari himpunan bilangan real, yang berarti himpunan bilangan real terdiri dari himpunan bilangan rasional.^[4] Himpunan bilangan rasional memiliki himpunan-himpunan lainnya, salah satunya adalah himpunan bilangan bulat.^[5]

Notasi himpunan

Beragam notasi himpunan rasional $\mathbb {Q}$ , yakni himpunan bilangan rasional positif, dilambangkan sebagai $\mathbb {Q} _{+}$ dan bilangan rasional negatif sebagai $\mathbb {Q} _{-}$ ^[6]. Beberapa notasi lain yang berkaitan dengan notasi himpunan bilangan rasional, yaitu bilangan aljabar, yang dinotasikan dengan lambang ${\overline {\mathbb {Q} }}$ ^[7], medan bilangan p-adik, dinotasikan $\mathbb {Q} _{p}$ .^[8]

Selain berbagai notasi himpunan bilangan rasional di atas, notasi himpunan rasional, yaitu $\mathbb {Q}$ , juga memiliki kaitan dengan $\mathbb {R}$ , himpunan bilangan real, yaitu penulisan pada himpunan bilangan irasional yang dinotasikan sebagai $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ .^[8]

Sejarah

Sifat aljabar

Berikut adalah sifat-sifat bilangan rasional, antara lain sebagai berikut.

	Penambahan	Perkalian
Ketertutupan	${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}$ adalah bilangan rasional^[9]	${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}$ adalah bilangan rasional^[9]
Asosiatif	$\left({\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}\right)+{\frac {p}{q}}={\frac {a}{b}}+\left({\frac {c}{d}}+{\frac {p}{q}}\right)$ ^[9]	$a\times (b\times c)=(a\times b)\times c$ ^[9]
Komutatif	${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {c}{d}}+{\frac {a}{b}}$ ^[9]	${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {d}{c}}\cdot {\frac {a}{b}}$ ^[9]
Elemen identitas	${\frac {a}{b}}+{\frac {0}{1}}={\frac {a}{b}}$ ^[9]	${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {1}{1}}={\frac {a}{b}}$ ^[9]
Elemen invers	${\frac {a}{b}}+\left(-{\frac {a}{b}}\right)=0$ ^[9]	${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}=1$ ^[9]
Distributif	${\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}+{\frac {p}{q}}\right)={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}+{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {p}{q}}$ ^[9]

Pecahan taktereduksi

Meskipun demikian, bilangan rasional dapat berupa pecahan taktereduksi, dimana setiap pembilang dan penyebut tidak dapat disederhanakan lagi. Sebagai contoh, ${\textstyle {\frac {3}{8}}}$ adalah salah satu contoh pecahan yang tidak dapat disederhanakan lagi karena $3$ bukan merupakan faktor dari $8$ .

Representasi bilangan desimal

Bilangan rasional merupakan bilangan desimal yang berulang atau berhenti. Sebagai contoh, ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$ merupakan bilangan rasional. Kita dapat mengkonversinya dalam bentuk desimal, yaitu $0.5$ . Bilangan lain, seperti ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ merupakan bilangan rasional dapat dikonversi dalam bentuk desimal $0.333\dots$ atau $0.{\bar {3}}$ . Representasi desimal ${\textstyle {\frac {a}{b}}}$ dapat dikatakan berhenti jika dan hanya jika terdapat bilangan asli $n$ dan $c_{i}\in \{0,\dots ,9\}$ , dengan $c_{n}\neq 0$ sehingga

{\frac {a}{b}}=0.c_{1}c_{2}c_{3}\dots c_{n}000

.

Sedangkan, representasi desimal ${\textstyle {\frac {a}{b}}}$ dapat dikatakan berulang jika dan hanya jika terdapat bilangan asli $n$ dan $N$ sehingga

{\frac {a}{b}}=0.c_{1}\dots c_{N}c_{N+1}\dots c_{N+b}c_{N+b+1}\dots

.^[10]

Teorema Midy

Teorema Midy, dinamai dari E. Midy, adalah pernyataan mengenai ekspansi desimal berulang (dengan periode genap) dari pecahan ${\frac {a}{p}}$ , dimana $a$ adalah bilangan bulat dan $p$ adalah bilangan prima sehingga

{\frac {a}{p}}=0.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{n}\dots a_{2n}}}

.

Aplikasi

Bilangan rasional dapat kita terapkan dalam kehidupan sehari-hari, sepertinya harga belanja di suatu toko yang berupakan desimal, yang termasuk bilangan rasional.^{[butuh rujukan]} Selain itu, bilangan rasional juga dapat diterapkan dalam takaran suatu satuan.^{[butuh rujukan]}

Lihat juga

Referensi

^ "Comprehensive List of Algebra Symbols | Math Vault" (dalam bahasa Inggris). 2020-03-25EDT16:23:50-04:00. Diakses tanggal 2021-11-14.
^ Weisstein, Eric W. "Rational Number". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-16.
^ Jusmawati, S.Pd, M.Pd, Bilangan Rasional, hlm. 6.
^ "Number Systems: Naturals, Integers, Rationals, Irrationals, Reals, and Beyond". www.varsitytutors.com. Diakses tanggal 2021-11-16.
^ "Intermediate Algebra, Tutorial 3: Sets of Numbers". www.wtamu.edu. Diakses tanggal 2021-11-15.
^ "Set of Rational Numbers | Lexique de mathématique" (dalam bahasa Inggris). 2018-10-12. Diakses tanggal 2021-11-16.
^ Weisstein, Eric W. "Algebraic Number". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-14.
^ ^a ^b "Comprehensive List of Algebra Symbols | Math Vault" (dalam bahasa Inggris). 2020-03-25EDT16:23:50-04:00. Diakses tanggal 2021-11-14.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k Bilangan Rasional dan Desimal, hlm. 4–5.
^ Moh. Affaf, Desimal Berulang Untuk Suatu Numerator, hlm. 20.

Artikel bertopik matematika ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya.

[1] "Comprehensive List of Algebra Symbols | Math Vault" (dalam bahasa Inggris). 2020-03-25EDT16:23:50-04:00. Diakses tanggal 2021-11-14.

[2] Weisstein, Eric W. "Rational Number". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-16.

[3] Jusmawati, S.Pd, M.Pd, Bilangan Rasional, hlm. 6.

[4] "Number Systems: Naturals, Integers, Rationals, Irrationals, Reals, and Beyond". www.varsitytutors.com. Diakses tanggal 2021-11-16.

[:6-5] "Intermediate Algebra, Tutorial 3: Sets of Numbers". www.wtamu.edu. Diakses tanggal 2021-11-15.

[6] "Set of Rational Numbers | Lexique de mathématique" (dalam bahasa Inggris). 2018-10-12. Diakses tanggal 2021-11-16.

[7] Weisstein, Eric W. "Algebraic Number". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-14.

[:1-8] "Comprehensive List of Algebra Symbols | Math Vault" (dalam bahasa Inggris). 2020-03-25EDT16:23:50-04:00. Diakses tanggal 2021-11-14.

[:0-9] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k Bilangan Rasional dan Desimal, hlm. 4–5.

[10] Moh. Affaf, Desimal Berulang Untuk Suatu Numerator, hlm. 20.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]