Faktor persekutuan terbesar

Dalam matematika, khususnya teori bilangan, faktor persekutuan terbesar atau dikenal juga sebagai persekutuan bilangan terbesar (dilambangkan $\operatorname {FPB}$ atau $\operatorname {PBT}$ dalam bahasa Indonesia, dan $\gcd$ dalam bahasa Inggris, abreviasi dari kata greatest common divisor) terhadap dua bilangan adalah bilangan bulat terbesar yang membagi setiap bilangan bulat.

Sebagai contoh, diberikan bilangan bulat $12$ dan $20$. Maka, $\operatorname {FPB} (12,20)=4$. Mengenai cara-cara dan metode akan dijelaskan di bawah.

Dua buah bilangan dikatakan saling prima jika dan hanya jika FPB dari kedua bilangan tersebut bernilai 1.

Notasi

Untuk $a$ dan $b$ bilangan bulat sembarang, notasi faktor persekutuan terbesar dinotasikan sebagai $\operatorname {FPB} (a,b)$ atau $\operatorname {PBT} (a,b)$. Dalam versi bahasa Inggris, dinotasikan sebagai $\gcd(a,b)$ atau $\operatorname {GCD} (a,b)$. Ada beberapa penulisan notasi faktor persekutuan terbesar, yaitu $\operatorname {g.c.d} (a,b)$ atau $(a,b)$.

Contoh

Cara sederhana dapat digunakan untuk mencari FPB dari 2 atau 3 bilangan yang tidak terlalu besar, namun untuk bilangan yang lebih besar dapat digunakan cara pemfaktoran.

Cara sederhana

Mencari FPB dari 12 dan 20:

• Faktor dari 12 = 1, 2, 3, 4, 6 dan 12
• Faktor dari 20 = 1, 2, 4, 5, 10 dan 20
• FPB dari 12 dan 20 adalah faktor sekutu (sama) yang terbesar, yaitu 4.

Mencari FPB dari 15 dan 25:

• Faktor dari 15 = 1, 3, 5, dan 15
• Faktor dari 25 = 1, 5, dan 25
• FPB dari 15 dan 25 adalah faktor sekutu (sama) yang terbesar, yaitu 5.

Cara pemfaktoran

Mencari FPB dari bilangan 147, 189 dan 231:

• Buat pohon faktor dari masing-masing bilangan:

             147         189             231
              /\          /\              /\
             3 49        3  63           3  77
               /\           /\              /\
              7  7         7  9            7  11
                              /\
                             3  3

• Susun bilangan dari pohon faktor untuk mendapatkan faktorisasinya:

Faktorisasi 147 = 3¹ x 7²

Faktorisasi 189 = 3³ x 7¹

Faktorisasi 231 = 3¹ x 7¹ x 11¹

• Ambil faktor-faktor yang sekutu (sama) dari ketiga faktorial tersebut, dalam hal ini 3 dan 7.
• Kalikan faktor-faktor sekutu yang memiliki pangkat terkecil, dalam hal ini 3¹ x 7¹ = 21.
• Maka FPB dari bilangan 147, 189 dan 231 adalah 21. Dengan kata lain, tidak ada bilangan yang lebih besar dari 21 yang dapat membagi habis bilangan 147, 189 dan 231.
• Contoh soal
  • Ibu Rogu memiliki 96 buah rambutan, 48 buah mangga serta 72 buah apel. Buah-buahan dibagikan secara rata-rata kepada teman-teman Rogu. Berapa banyak anak mendapatkan buah-buahan secara rata? berapa jumlah masing-masing buah yang dibagikan kepada anak-anak?

96 = 2⁵ x 3

48 = 2⁴ x 3

72 = 2³ x 3³

FPB dari 48, 72 dan 96 adalah 2³ x 3 = 24 anak

jadi banyak anak mendapatkan buah-buahan secara rata adalah 24.

untuk masing-masing buah

96/24 = 4; 48/24 = 2; 72/24 = 3

jadi jumlah masing-masing buah yang dibagikan kepada anak-anak adalah 4 buah rambutan, 2 buah mangga serta 3 buah apel.

Untuk pembahasan mengenai materi KPK dan FPB kelas 4 secara lengkap, bisa anda baca ditautan ini.

Contoh soal cerita yang berkaitan dengan FPB

1. Untuk lauk buka nanti sore Ibu menggoreng 15 tempe dan 25 tahu. Setelah itu tempe dan tahu goreng diletakkan di atas piring dengan jumlah yang sama. Maka Ibu harus menyediakan pring sebanyak . . . buah.
2. Ratna membuat rangkaian bunga dari 60 tangkai mawar merah, 90 tangkai mawar putih, dan 105 tangkai mawar merah muda. Setiap rangkaian bunga terdiri dari bunga mawar merah, mawar putih, dan mawar merah muda dengan jumlah yang sama banyak. Maka rangkaian bunga paling banyak yang dapat dibuat Ratna adalah . . .  buah.

Jawaban:

1. 15 = 3 x 5

25 = 5 x 5 atau 5²

Maka FPB dari 15 dan 25 adalah 5. Jadi jumlah piring yang harus disediakan oleh ibu adalah 5 buah piring.

2. 60 = 2 x 2 x 3 x 5 atau 2² x 3 x 5

90 = 2 x 3 x 3 x 5 atau 2 x 3² x 5

105 = 3 x 5 x 7

Maka FPB dari 60, 90 dan 105 adalah 3 x 5 = 15. Jadi jumlah rangkaian bunga paling banyak yang dapat dibuat Ratna adalah 15 buah.

Algoritme Euklidean

Cara lain untuk mencari FPB adalah dengan menggunakan algoritme Euklidean. Misalkan a dan b adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka algoritme Euklidean adalah sebagai berikut:

• a₁ = maximum(a,b)-minimum(a,b)

b₁ = minimum(a,b)

• a₂ = maximum(a₁,b₁)-minimum(a₁,b₁)

b₂ = minimum(a₁,b₁)

.

.

.

• a_i = maximum(a_i-1,b_i-1)-minimum(a_i-1,b_i-1)

b_i = minimum(a_i-1,b_i-1)

Algoritme tersebut berhenti hingga diperoleh a_i = b_i.

FPB dari a dan b adalah a_i = b_i.

Algoritme ini dapat lebih jauh disederhanakan lagi dengan pembagian Euklidean, yang dideskripsikan sebagai berikut:

$\gcd(a,0)=0$

$\gcd(a,b)=\gcd(b,a\,\mathrm {mod} \,b)$

dengan $a\,\mathrm {mod} \,b$ adalah operasi modulus.

Pencarian algoritme Euklid dengan pembagian memerlukan sekitar $O(\log(\min(a,b)))$ pembagian.

Lihat pula

• Kelipatan persekutuan terkecil (KPK)