Funktor fogetful

Dalam matematika, di bidang teori kategori, funktor fogetful (juga dikenal sebagai funktor pengupasan atau funktor pelupa) 'foget' atau menjatuhkan beberapa atau semua struktur atau sifat 'sebelum' memetakan ke luar. Untuk struktur aljabar dari tanda tangan tertentu, ini dapat diekspresikan dengan membatasi tanda tangan: tanda tangan baru adalah bentuk yang diedit dari yang lama. Jika tanda tangan dibiarkan sebagai daftar kosong, funktor hanya mengambil himpunan dasar dari sebuah struktur. Karena banyak struktur dalam matematika terdiri dari himpunan dengan tambahan struktur tambahan, fungsi fogetful yang memetakan ke himpunan yang mendasarinya adalah kasus yang paling umum.

Ikhtisar

Sebagai contoh, ada beberapa fungsi pelupa dari kategori gelanggang komutatif. (Unital) gelanggang, dijelaskan dalam bahasa aljabar universal, adalah tupel (R, +, ×, a, 0, 1) memenuhi aksioma tertentu, di mana "+" dan "×" adalah fungsi biner pada himpunan R , a adalah operasi unary yang sesuai dengan pembalikan aditif, dan 0 dan 1 adalah operasi nol yang memberikan identitas. Menghapus 1 memberikan functor pelupa ke kategori gelanggang tanpa satuan; pada "fogetful". Menghapus "×" dan 1 menghasilkan sebuah funktor ke kategori grup abelian, yang menetapkan ke setiap gelanggang R grup abelian aditif yang mendasari dari R . Untuk setiap morfisme gelanggang fungsi sebagai morfisme penambahan antara grup yang mendasari. Menghapus semua operasi akan memberikan funktor ke himpunan yang mendasari R .

Hal ini bermanfaat untuk membedakan antara fungsi pelupa yang "struktur foget" dengan yang "sifat foget". Misalnya, dalam contoh gelanggang komutatif di atas, selain fungsi yang menghapus beberapa operasi, ada juga fungsi yang melupakan beberapa aksioma. Ada seorang funktor dari kategori CGelanggang untuk Grlanggang yang melupakan aksioma komutatif, tetapi tetap menjalankan semua operasi. Kadang objek mungkin termasuk himpunan ekstra yang tidak didefinisikan secara ketat dalam hal set yang mendasarinya (dalam hal ini, bagian mana yang mempertimbangkan himpunan yang mendasari adalah masalah selera, meskipun dalam praktiknya ini jarang ambigu). Untuk objek ini, ada fungsi pelupa yang melupakan set ekstra yang lebih umum.

Objek yang paling umum dipelajari dalam matematika dibangun sebagai himpunan yang mendasari bersama dengan himpunan tambahan dari struktur pada himpunan tersebut (operasi pada himpunan yang mendasari. Untuk objek ini, functor yang sering dianggap pelupa adalah sebagai berikut. Maka ${\mathcal {C}}$ menjadi kategori apa pun berdasarkan himpunan, misalnya grup pada himpunan elemen, atau ruang topologi pada himpunan 'titik'. Seperti biasa, tulislah $\operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$ untuk objek dari ${\mathcal {C}}$ dan $\operatorname {Fl} ({\mathcal {C}})$ untuk morfisme yang sama. Pertimbangkan aturannya:

Untuk $A$ pada $\operatorname {Ob} ({\mathcal {C}}),A\mapsto |A|=$ himpunan dasar $A,$

Untuk $u$ pada $\operatorname {Fl} ({\mathcal {C}}),u\mapsto |u|=$ morfisme, $u$, sebagai peta himpunan.

Functor $|\cdot |$ kemudian adalah funktor foget dari ${\mathcal {C}}$ ke Himpunan, kategori himpunan.

Functor yang lupa hampir selalu setia. Kategori konkret memiliki fungsi pelupa pada kategori himpunan, memang mereka mungkin didefinisikan sebagai kategori yang menerima fungsi setia pada kategori tersebut.

Fungsional pelupa yang hanya melupakan aksioma setia, karena setiap morfisme yang menghormati struktur antara objek yang memenuhi aksioma secara otomatis juga menghormati aksioma. Fungsional pelupa yang melupakan struktur tidak perlu penuh; beberapa morfisme tidak menghormati struktur. Fungsinya adalah tetap setia namun karena morfisme berbeda yang menghormati struktur masih berbeda ketika struktur dilupakan. Funktor himpunan foget ekstra tidak perlu setia, karena morfisme berbeda yang menghormati struktur set ekstra tersebut mungkin tidak dapat dibedakan pada himpunan yang mendasarinya.

Ujung kiri dari funktor foget

Functor yang lupa cenderung memiliki adjoint kiri, yang merupakan konstruksi 'bebas'. Sebagai contoh:

• modul bebas: functor pelupa dari $\mathbf {Mod} (R)$ (kategori modul-$R$) ke $\mathbf {Set}$ pada adjoin $\operatorname {Bebas} _{R}$, with $X\mapsto \operatorname {Bebas} _{R}(X)$, modul $R$ bebas dengan basis $X$.
• grup bebas
• kisi bebas
• aljabar tensor
• kategori bebas, terhubung ke fungsi pelupa dari kategori ke kuivers

kategori bebas, terhubung ke fungsi pelupa dari kategori ke kuivers

• aljabar pembungkus universal

Untuk daftar yang lebih lengkap, lihat (Mac Lane 1997).

$X\to |M|$ ke peta modul $\operatorname {Bebas} _{R}(X)\to M$: setiap peta himpunan menghasilkan peta modul, dan setiap peta modul berasal dari peta himpunan.

Dalam kasus ruang vektor, ini diringkas sebagai: "Sebuah peta antara ruang vektor ditentukan oleh dimana basis, dan basis dapat dipetakan ke apa saja."

Secara simbolis:

$\operatorname {Hom} _{\mathbf {Mod} _{R}}(\operatorname {Bebas} _{R}(X),M)=\operatorname {Hom} _{\mathbf {Himpunan} }(X,\operatorname {Foget} (M)).$

unit dari adjungsi bebas adalah "penyertaan basis": $X\to \operatorname {Free} _{R}(X)$.

Fld, kategori bidang, memberikan contoh fungsi foget tanpa adjoin. Tidak ada bidang yang memenuhi sifat universal gratis untuk himpunan tertentu.

Lihat pula

• Funktor adjoin
• Funktor

Referensi

• Mac Lane, Saunders. Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics 5, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1997. ISBN 0-387-98403-8
• Forgetful functor di nLab