Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 12

Ilustrasi teorema apit, dengan fungsi berwarna biru, diapit oleh fungsi berwarna hijau dan merah.

Teorema apit dalam bidang analisis matematika, yakni analisis real dan kalkulus, merupakan teorema yang melibatkan limit pada suatu fungsi, dimana terdapat sebuah fungsi yang diapit oleh dua fungsi sehingga ketiga fungsi tersebut memiliki nilai limit yang sama.^[1] Sebagai ilustrasi, perhatikan pada gambar di samping bahwa terdapat fungsi berwarna biru, yang diapit oleh fungsi berwarna hijau dan merah.

Teorema apit mengagak-agihkan sebagai berikut.^[2]

Misal $f$ , $g$ dan $h$ adalah fungsi-fungsi sehingga $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ .untuk semua $x$ di dalam selang terbuka yang memuat $c$ . Sebagai eksepsi mungkin di $c$ , jika $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}h(x)=L$ , maka $\lim _{h\to 0}g(x)=L$ .

Teorema di atas merupakan teorema apit dengan satu variabel.

Bukti

Untuk membuktikan teorema ini, kita dapat menggunakan definisi limit (ε, δ). Perhatikan bahwa misalkan $\varepsilon$ lebih besar dari nol, pilih $\delta _{1}$ , $\delta _{2}$ , $\delta _{3}$ yang juga lebih besar dari nol sehingga

{\begin{aligned}0<\left|x-c\right|<\delta _{1}&\Longrightarrow L-\varepsilon <f(x)<L+\varepsilon \\0<\left|x-c\right|<\delta _{2}&\Longrightarrow L-\varepsilon <f(x)<L+\varepsilon \\0<\left|x-c\right|<\delta _{3}&\Longrightarrow f(x)\leq g(x)\leq h(x)\\\end{aligned}}

Sekarang, pilih $\delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2},\delta _{3}\}$ sehingga

0<\left|x-c\right|<\delta \Longrightarrow L-\varepsilon <f(x)\leq g(x)\leq h(x)<L+\varepsilon

Arkian, kita konklusikan bahwa terbukti $\lim _{x\to c}g(x)=L$ .. $\blacksquare$ ^[3]

Teorema apit untuk barisan

Teorema apit untuk barisan, juga mengagak-agihkan untuk barisan, yakni sebagai berikut.^[4]^[5]

Misalkan $\{a_{n}\}$ , $\{b_{n}\}$ , dan $\{c_{n}\}$ adalah barisan sehingga $a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}$ dan terdapat $N$ bilangan bulat positif sehingga $n>N$ . Bila $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }c_{n}=L$ , maka $\lim _{n\to \infty }b_{n}=L$ .

Bukti dapat dikerjakan dengan serupa (seperti di atas). Misal $\varepsilon >0$ , terdapat bilangan bulat positif $N_{1}$ sehingga jika $n\geq N_{1}$ , maka $L-\varepsilon <a_{n}<L+\varepsilon$ . Hal yang serupa untuk $N_{2}$ sehingga $L-\varepsilon <c_{n}<L+\varepsilon$ . Jadi, jika $n\geq \max\{N_{1},N_{2}\}$ , maka kita memperoleh $L-\varepsilon <a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}<L+\varepsilon$ ^[4] sehingga dikonklusikan bahwa $\lim _{n\to \infty }b_{n}=L$ . $\blacksquare$

Rujukan

^ "World Web Math: The Squeeze Theorem". web.mit.edu. Diakses tanggal 2021-12-07.
^ "Teorema Apit Limit Fungsi Satu Peubah – Kalkulus dan Aplikasinya" (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-12-08.
^ Dale Varberg, Edward Purcell, Steve Rigdon (2006). Kalkulus Edisi Kesembilan, Jilid 1. hlm. 72. (Penerjemah: I Nyoman Susila, Ph. D, Penerbit Erlangga)
^ ^a ^b Johnsonbaugh, Richard; Pfaffenberger, W. E. (2012-09-11). Foundations of Mathematical Analysis (dalam bahasa Inggris). Courier Corporation. ISBN 978-0-486-13477-2.
^ Rossi, Richard J. (2011-10-05). Theorems, Corollaries, Lemmas, and Methods of Proof (dalam bahasa Inggris). John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-03057-8.

[1] "World Web Math: The Squeeze Theorem". web.mit.edu. Diakses tanggal 2021-12-07.

[2] "Teorema Apit Limit Fungsi Satu Peubah – Kalkulus dan Aplikasinya" (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-12-08.

[3] Dale Varberg, Edward Purcell, Steve Rigdon (2006). Kalkulus Edisi Kesembilan, Jilid 1. hlm. 72. (Penerjemah: I Nyoman Susila, Ph. D, Penerbit Erlangga)

[:0-4] Johnsonbaugh, Richard; Pfaffenberger, W. E. (2012-09-11). Foundations of Mathematical Analysis (dalam bahasa Inggris). Courier Corporation. ISBN 978-0-486-13477-2.

[5] Rossi, Richard J. (2011-10-05). Theorems, Corollaries, Lemmas, and Methods of Proof (dalam bahasa Inggris). John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-03057-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]