Frustum

Frustum
Frustum
	Contoh: Frustum kerucut dan Limas
Muka	n trapesium, 2 n-gons
Rusuk	3n
titik sudut	2n
Sifat-sifat	konveks

Dalam geometri, terpancung atau frustum (jamak: frusta atau frustum) adalah bagian dari padatan (biasanya kerucut atau limas atau bola) yang terletak di antara satu atau dua bidang paralel yang memotongnya. Sebuah frustum kanan adalah paralel pemotongan dari limas kanan atau kerucut yang tepat.

Rumus frustum kerucut

Garis pelukis

$s={\sqrt {(r_{1}-r_{2})^{2}+h^{2}}}$

Luas alas

bawah: $L=\pi r_{1}^{2}$

atas: $L=\pi r_{2}^{2}$

Luas selimut

Frustum pada kerucut

model 3D dari kerucut.

Untuk frustum berbentuk kerucut melingkar kanan

{\begin{aligned}L=\pi (r_{1}+r_{2})s=\pi (r_{1}+r_{2}){\sqrt {(r_{1}-r_{2})^{2}+t^{2}}}\end{aligned}}

Luas permukaan

L=L_{ab}+L_{ab}+L_{s}

{\begin{aligned}L=\pi (r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+(r_{1}+r_{2})s)\\=\pi (r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+(r_{1}+r_{2}){\sqrt {(r_{1}-r_{2})^{2}+t^{2}}})\end{aligned}}

di mana r1 dan r2 adalah jari-jari dasar dan atas, dan s adalah ketinggian miring dari frustum.

Luas permukaan dari frustum hak yang basis reguler mirip n- sisi poligon [luas permukaan polihedron sisi-n] adalah

L={\frac {n}{4}}\left[(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})\cot {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {(a_{1}^{2}-a_{2}^{2})^{2}\sec ^{2}{\frac {\pi }{n}}+4t^{2}(a_{1}+a_{2})^{2}}}\right]

Volume

Rumus volume frustum dari piramida kuadrat diperkenalkan oleh matematika Mesir kuno dalam apa yang disebut Moskow Matematika Papirus, yang ditulis dalam dinasti ke-13 (sekitar 1850 SM):

V={\frac {1}{3}}t(a^{2}+ab+b^{2}).

di mana a dan b adalah panjang sisi dasar dan atas dari piramida terpotong, dan t adalah tinggi. Orang Mesir tahu formula yang tepat untuk mendapatkan volume piramida kuadrat terpotong, tetapi tidak ada bukti dari persamaan ini yang diberikan dalam papirus Moskow.

Volume dari frustum kerucut atau limas adalah volume padat sebelum mengiris puncak off, dikurangi volume puncak:

V={\frac {t_{1}B_{1}-t_{2}B_{2}}{3}}

di mana B1 adalah area dari satu basis, B2 adalah area dari basis yang lain, dan t1 , t2 adalah ketinggian tegak lurus dari puncak ke bidang dari dua basis.

Mengingat bahwa

{\frac {B_{1}}{t_{1}^{2}}}={\frac {B_{2}}{t_{2}^{2}}}={\frac {\sqrt {B_{1}B_{2}}}{t_{1}t_{2}}}=\alpha

,

rumus untuk volume dapat dinyatakan sebagai produk proporsionalitas ini α/3 dan perbedaan kubus dengan ketinggian t1 dan t2 saja.

V={\frac {t_{1}\alpha t_{1}^{2}-t_{2}\alpha t_{2}^{2}}{3}}={\frac {\alpha }{3}}(t_{1}^{3}-t_{2}^{3})

Dengan memfaktorkan perbedaan dua kubus $(a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}))$ seseorang mendapat t1 - t2 = t, ketinggian frustum, dan $\alpha {\frac {(t_{1}^{2}+t_{1}t_{2}+t_{2}^{2})}{3}}$ .