Polinomial

Untuk aspek yang kurang mendasar dari subjek, lihat Gelanggang polinomial.

Dalam matematika, polinomial atau suku banyak (juga ditulis sukubanyak) adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien. Sebuah polinomial dalam satu variabel dengan koefisien konstan memiliki bentuk seperti berikut:

grafik dari fungsi polinom dengan derajat 3

$a_{n}x^{n}+\ldots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$

Pangkat tertinggi pada suatu polinomial menunjukkan orde atau derajat dari polinomial tersebut.

Grafik polinomial

Sebuah fungsi polinomial dalam satu variabel real dapat dinyatakan dalam grafik fungsi.

• Grafik dari polinomial nol

f(x) = 0

adalah sumbu x.

• Grafik dari polinomial berderajat nol

f(x) = a₀, dimana a₀ ≠ 0,

adalah garis horizontal dengan y memotong a₀

• Grafik dari polinomial berderajat satu (atau fungsi linear)

f(x) = a₀ + a₁x, dengan a₁ ≠ 0,

adalah berupa garis miring dengan y memotong di a₀ dengan kemiringan sebesar a₁.

• Grafik dari polinomial berderajat dua

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x², dengan a₂ ≠ 0

adalah berupa parabola.

• Grafik dari polinomial berderajat tiga

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x², + a₃x³, dengan a₃ ≠ 0

adalah berupa kurva pangkat 3.

• Grafik dari polinomial berderajat dua atau lebih

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_nxⁿ, dengan a_n ≠ 0 and n ≥ 2

adalah berupa kurva non-linear.

Ilustrasi dari grafik-grafik tersebut adalah di bawah ini.

• 
  Polinomial berderajat 2:
  f(x) = x² - x - 2 = (x+1)(x-2)
• 
  Polinomial berderajat 3:
  f(x) = x³/4 + 3x²/4 - 3x/2 - 2 = 1/4 (x+4)(x+1)(x-2)
• 
  Polinomial berderajat 4:
  f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5
• 
  Polinomial berderajat 5:
  f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2
• 
  Polinomial berderajat 6:
  f(x) = 1/30 (x+3.5)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3)(x-4) + 2
• 
  Polinomial berderajat 7:
  f(x) = (x-3)(x-2)(x-1)(x)(x+1)(x+2)(x+3)

Polinomial dan kalkulus

Artikel utama: Kalkulus dengan polinomial

Untuk menghitung turunan dan integral dari polinomial tidaklah terlalu sulit. Untuk fungsi polinomial

$\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$

maka turunan terhadap x adalah

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}ix^{i-1}$

dan integral tak tentu terhadap x adalah

$\sum _{i=0}^{n}{a_{i} \over i+1}x^{i+1}+c.$

Pembagian Polinomial

Bentuk umum adalah $F(x)=P(x)\cdot H(x)+S(x)$

• Keterangan:

1. F(x): suku banyak (yang dibagi)
2. P(x): pembagi
3. H(x): hasil bagi
4. S(x): sisa

Teorema sisa

Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – k) maka sisanya adalah F(k).

Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (ax – b) maka sisanya adalah F(b/a).

Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – a)(x - b) maka sisanya adalah ${\frac {F(a)-F(b)}{a-b}}x+{\frac {aF(b)-bF(a)}{a-b}}$.

Contoh

Berapa sisa dari F(x): $x^{2}-7x+10$ dibagi dengan P(x): $x-3$?

F(x - 3) maka F(3)

F(x): $x^{2}-7x+10$

F(3): $(3)^{2}-7(3)+10=9-21+10=-2$

pembuktian sesuai dengan di atas:

$x-3$	$x^{2}$	$-7x$	$+10$	$x-4$
	$x^{2}$	$-3x$
		$-4x$	$+10$
		$-4x$	$+12$
			$-2$

Suatu F(x) dibagi x - 2 bersisa 4, dibagi x - 3 bersisa 7. suatu G(x) dibagi x - 2 bersisa 3, dibagi x - 3 bersisa 2. Jika $H(x)=F(x)\cdot G(x)$ maka berapa sisa jika H(x) dibagi $x^{2}-5x+6$?

$h(x)=P(x)\cdot H(x)+S(x)$

$h(x)=(x^{2}-5x+6)\cdot H(x)+S(x)$

$h(x)=(x-2)(x-3)\cdot H(x)+S(x)$

karena variabel pembagi derajat dua maka variabel sisa derajat satu yaitu $S(x)=ax+b$

$h(x)=(x-2)(x-3)\cdot H(x)+ax+b$

persamaan pertama

$h(2)=S_{f(x)}(2)\cdot S_{g(x)}(2)$

$(2-2)(2-3)\cdot H(x)+2a+b=4\cdot 3$

$2a+b=12$

persamaan kedua

$h(3)=S_{f(x)}(3)\cdot S_{g(x)}(3)$

$(3-2)(3-3)\cdot H(x)+3a+b=7\cdot 2$

$3a+b=14$

dari persamaan pertama dan kedua dihitung menggunakan metode eliminasi maka menjadi a = 2 dan b = 8

jadi sisa tersebut adalah 2x + 8.

Metode

Metode ada 3 jenis yaitu:

Biasa

Contoh

Berapa hasil dan sisa dari F(x): $x^{3}+x^{2}-9x+3$ dibagi dengan P(x): $x^{2}+2x-8$?

$x^{2}+2x-8$	$x^{3}$	$+x^{2}$	$-9x$	$+3$	$x-1$
	$x^{3}$	$+2x^{2}$	$-8x$
		$-x^{2}$	$-x$	$+3$
		$-x^{2}$	$-2x$	$+8$
			$x$	$-5$

H(x) = $x-1$

S(x) = $x-5$

Berapa hasil dan sisa dari F(x): $2x^{3}+19x^{2}+33x-26$ dibagi dengan P(x): $2x^{2}+5x-3$?

$2x^{2}+5x-3$	$2x^{3}$	$+19x^{2}$	$+33x$	$-26$	$x+7$
	$2x^{3}$	$+5x^{2}$	$-3x$
		$14x^{2}$	$+36x$	$-26$
		$14x^{2}$	$+35x$	$-21$
			$x$	$-5$

H(x) = $x+7$

S(x) = $x-5$

Horner

cara ini dapat digunakan untuk pembagi berderajat 1 atau pembagi yang dapat difaktorkan menjadi pembagi-pembagi berderajat 1.

Cara:

• Tulis koefisiennya saja → harus runtut dari koefisien xn, xn – 1, … hingga konstanta (jika ada variabel yang tidak ada, maka koefisiennya ditulis 0)

Contoh: untuk $4x^{3}-1$, koefisien-koefisiennya adalah 4, 0, 0, dan -1 (untuk x3, x2, x, dan konstanta)

Jika koefisien derajat tertinggi P(x) ≠ 1, maka hasil baginya harus dibagi dengan koefisien derajat tertinggi P(x)

Jika pembagi dapat difaktorkan, maka

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1 dan P2, maka S(x) = P1.S2 + S1

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, maka S(x) = P1.P2.S3 + P1.S2 + S1

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, P4, maka S(x) = P1.P2.P3.S4 + P1.P2.S3 + P1.S2 + S1 dan seterusnya

Jika hasil bagi adalah bukan bilangan pecahan maka proses rumus tetap. Contoh:

Berapa hasil dan sisa dari F(x): $x^{3}+x^{2}-9x+3$ dibagi dengan P(x): $x^{2}+2x-8$?

misalkan P: $x^{2}+2x-8=(x-2)(x+4)$ maka:

P1: $x-2=0->x=2$

P2: $x+4=0->x=-4$

2	1	1	-9	3
	0	2	6	-6
-4	1	3	-3	-3 (S1)
	0	-4	4
	1	-1	1 (S2)

H(x) = $x-1$

S(x) = P1.S2 + S1 = $(x-2)\cdot 1+(-3)=x-5$

Jika hasil bagi adalah bilangan pecahan maka ada dua jenis yang ditentukan sbb:

posisi suku banyak tidak berubah maka hasil bagi harus dibagi konstanta dari faktor hasilnya. Contoh

Berapa hasil dan sisa dari F(x): $2x^{3}+19x^{2}+33x-26$ dibagi dengan P(x): $2x^{2}+5x-3$?

Pilihan A

misalkan P: $2x^{2}+5x-3=(x+3)(2x-1)$ maka:

P1: $x+3=0->x=-3$

P2: $2x-1=0->x={\frac {1}{2}}$

-3	2	19	33	-26
	0	-6	-39	18
1/2	2	13	-6	-8 (S1)
	0	1	7
	2	14	1 (S2)

H(x) = $2x+14$ harus bagi 1/2 menjadi $x+7$

S(x) = P1.S2 + S1 = $(x+3)\cdot 1+(-8)=x-5$

Pilihan B

misalkan P: $2x^{2}+5x-3=(x+3)(2x-1)$ maka:

P1: $2x-1=0->x={\frac {1}{2}}$

P2: $x+3=0->x=-3$

1/2	2	19	33	-26
	0	1	10	43/2
-3	2	20	43	-9/2 (S1)
	0	-6	-42
	2	14	1 (S2)

H(x) = $2x+14$ harus bagi 1/2 menjadi $x+7$

S(x) = P1 S2 + S1 = $(x-{\frac {1}{2}})\cdot 1+(-{\frac {9}{2}})=x-{\frac {10}{2}}=x-5$

posisi suku banyak dibagi konstanta dari variabel berpangkat tinggi maka sisa harus dikali konstanta dari faktor hasilnya. Contoh

Berapa hasil dan sisa dari F(x): $2x^{3}+19x^{2}+33x-26$ dibagi dengan P(x): $2x^{2}+5x-3$?

Pilihan A

misalkan P: $2x^{2}+5x-3=(x+3)(2x-1)$ maka:

P1: $x+3=0->x=-3$

P2: $2x-1=0->x={\frac {1}{2}}$

$2x^{3}+19x^{2}+33x-26$ dibagi 1/2 menjadi $x^{3}+{\frac {19}{2}}x^{2}+{\frac {33}{2}}x-13$

-3	1	19/2	33/2	-13
	0	-3	-39/2	9
1/2	1	13/2	-3	-4 (S1)
	0	1/2	7/2
	1	7	1/2 (S2)

H(x) = $x+7$

S(x) = P1.S2 + S1 = $(x+3)\cdot {\frac {1}{2}}+(-4)={\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{2}}-4={\frac {1}{2}}x-{\frac {5}{2}}$ harus kali 2 menjadi $x-5$

Pilihan B

misalkan P: $2x^{2}+5x-3=(x+3)(2x-1)$ maka:

P1: $2x-1=0->x={\frac {1}{2}}$

P2: $x+3=0->x=-3$

$2x^{3}+19x^{2}+33x-26$ dibagi 1/2 menjadi $x^{3}+{\frac {19}{2}}x^{2}+{\frac {33}{2}}x-13$

1/2	1	19/2	33/2	-13
	0	1/2	5	43/4
-3	1	10	43/2	-9/4 (S1)
	0	-3	-21
	1	7	1/2 (S2)

H(x) = $x+7$

S(x) = P1.S2 + S1 = $(x-{\frac {1}{2}})\cdot {\frac {1}{2}}+(-{\frac {9}{4}})={\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{4}}-{\frac {9}{4}}={\frac {1}{2}}x-{\frac {10}{4}}={\frac {1}{2}}x-{\frac {5}{2}}$ harus kali 2 menjadi $x-5$

Koefisien tak tentu

Contoh

Berapa hasil dan sisa dari F(x): $x^{3}+x^{2}-9x+3$ dibagi dengan P(x): $x^{2}+2x-8$?

Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka

H(x) berderajat 3 – 2 = 1

S(x) berderajat 2 – 1 = 1

Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = cx + d

maka:

$x^{3}+x^{2}-9x+3=(x^{2}+2x-8)(ax+b)+(cx+d)$

$x^{3}+x^{2}-9x+3=ax^{3}+2ax^{2}-8ax+bx^{2}+2bx-8b+cx+d$

$x^{3}+x^{2}-9x+3=ax^{3}+(2a+b)x^{2}+(-8a+2b+c)x+(-8b+d)$

samakan pada koefisien:

$x^{3}->1=a$

$x^{2}->1=2(1)+b->b=-1$

$x->-9=-8(1)+2(-1)+c->c=1$

$k->3=-8(-1)+d->d=-5$

Jadi

H(x) = ax + b = x - 1

S(x) = cx + d = x - 5

Berapa hasil dan sisa dari F(x): $2x^{3}+19x^{2}+33x-26$ dibagi dengan P(x): $2x^{2}+5x-3$?

Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka

H(x) berderajat 3 – 2 = 1

S(x) berderajat 2 – 1 = 1

Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = cx + d

maka:

$2x^{3}+19x^{2}+33x-26=(2x^{2}+5x-3)(ax+b)+(cx+d)$

$2x^{3}+19x^{2}+33x-26=2ax^{3}+5ax^{2}-3ax+2bx^{2}+5bx-3b+cx+d$

$2x^{3}+19x^{2}+33x-26=2ax^{3}+(5a+2b)x^{2}+(-3a+5b+c)x+(-3b+d)$

samakan pada koefisien:

$x^{3}->2=2a->a=1$

$x^{2}->19=5(1)+2b->2b=14->b=7$

$x->33=-3(1)+5(7)+c->c=1$

$k->-26=-3(7)+d->d=-5$

Jadi

H(x) = ax + b = x + 7

S(x) = cx + d = x - 5

Teorema faktor

Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x – k) adalah 0)

Catatan: jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x)

Beberapa memungkinkan yang diketahui:

• Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1.
• Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka pasti salah satu akarnya adalah x = -1.
• Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstanta dibagi faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi yang akan memberikan sisa = 0. Contohnya:

untuk $x^{3}-2x^{2}-x+2=0$, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2

untuk $4x^{3}-2x^{2}-x+2=0$, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1, ±2, ±4. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1, ±2, ±1/2, ±1/4

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari $x^{3}-2x^{2}-5x+6=0$!

apakah salah satu akarnya adalah 1? $(1)^{3}-2(1)^{2}-5(1)+6=1-2-5+6=0$

Ya

faktorkan tersebut

1	1	-2	-5	6
	0	1	-1	-6
	1	-1	-6	0

$x^{3}-2x^{2}-5x+6=0$

$(x-1)(x^{2}-x-6)=0$

$(x-1)(x-3)(x+2)=0$

$x_{1}=1\lor x_{2}=3\lor x_{3}=-2$

jadi himpunan penyelesaian adalah {-2, 1, 3}

Sifat Akar-akar Suku Banyak

Pada persamaan berderajat 3: ax3 + bx2 + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3

dengan sifat-sifat:

Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 = – b/a

Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a

Hasil kali 3 akar: x1.x2.x3 = – d/a

Pada persamaan berderajat 4: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3, x4

dengan sifat-sifat:

Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 + x4 = – b/a

Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/a

Jumlah 3 akar: x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x2.x3.x4 = – d/a

Hasil kali 4 akar: x1.x2.x3.x4 = e/a

Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk persamaan berderajat 5 dan seterusnya. (amati pola: –b/a, c/a, –d/a, e/a, …)

Contoh:

Diberikan persamaan $x^{3}-3x^{2}-10x+p=0$ dengan akar-akarnya x1, x2 x3. Jika 2x1 = -x2-x3. Carilah nilai p dan akar-akarnya!

$2x_{1}=-x_{2}-x_{3}=-(x_{2}+x_{3})$

$x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}}$

$x_{1}-2x_{1}=-{\frac {b}{a}}$

$-x_{1}=-{\frac {-3}{1}}$

$x_{1}=-3$

$x^{3}-3x^{2}-10x+p=0$

$(-3)^{3}-3(-3)^{2}-10(-3)+p=0$

$-27-27+30+p=0$

$p=24$

$x^{3}-3x^{2}-10x+24=0$

-3	1	-3	-10	24
	0	-3	18	-24
	1	-6	8	0

$x^{3}-3x^{2}-10x+24=0$

$(x+3)(x^{2}-6x+8)=0$

$(x+3)(x-2)(x-4)=0$

$x_{1}=-3\lor x_{2}=2\lor x_{3}=4$

Pembagian istimewa

Ada 3 jenis yaitu:

• Jika n adalah bilangan asli maka:

${\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}=a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+....+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}$

• Jika 2n adalah bilangan genap maka:

${\frac {a^{2n}-b^{2n}}{a+b}}=a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^{2}-....-a^{2}b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1}$

• Jika 2n + 1 adalah bilangan ganjil maka:

${\frac {a^{2n+1}+b^{2n+1}}{a+b}}=a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^{2}-....+a^{2}b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n}$

Bacaan lebih lanjut

• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-503-3.  (Indonesia)

Pranala luar

• (Inggris)Polynomial Artikel tentang polinomial di Wolfram MathWorld