Antiisomorfisme

Dalam teori kategori, cabang dari matematika, sebuah antiisomorfisme (atau anti-isomorfisme) antara struktur himpunan A dan B adalah isomorfisme dari A ke berlawanan dari B (atau setara dari kebalikan dari A ke B ). Jika terdapat antiisomorfisme antara dua struktur, maka itu disebut antiisomorfik.

Secara intuitif, mengatakan bahwa dua struktur matematika "antiisomorfik" berarti mengatakan bahwa mereka pada dasarnya berlawanan satu sama lain.

Konsep ini sangat berguna dalam pengaturan aljabar, seperti misalnya ketika diterapkan pada gelanggang.

Contoh sederhana

Misalkan A adalah relasi biner (atau graf berarah) yang terdiri dari elemen {1,2,3} dan relasi biner $\rightarrow$ yang didefinisikan sebagai berikut:

• $1\rightarrow 2,$
• $1\rightarrow 3,$
• $2\rightarrow 1.$

Misalkan B adalah himpunan relasi biner yang terdiri dari elemen {a,b,c} dan relasi biner $\Rightarrow$ yang didefinisikan sebagai berikut:

• $b\Rightarrow a,$
• $c\Rightarrow a,$
• $a\Rightarrow b.$

Perhatikan bahwa lawan dari B (dilambangkan B^op) adalah himpunan elemen yang sama dengan relasi biner yang berlawanan $\Leftarrow$ (yaitu, membalikkan semua busur dari grafik berarah):

• $b\Leftarrow a,$
• $c\Leftarrow a,$
• $a\Leftarrow b.$

Jika kita mengganti a, b, dan c dengan 1, 2, dan 3, masing-masing kita melihat bahwa setiap aturan pada B^op sama dengan beberapa aturan A. Artinya, kita dapat mendefinisikan isomorfisme $\phi$ dari A ke B^op dengan $\phi (1)=a,\phi (2)=b,\phi (3)=c$. $\phi$ merupakan antiisomorfisme antara A dan B.

Gelanggang anti-isomorfisme

Khusus bahasa umum teori kategori untuk topik aljabar gelanggang, kita memiliki: Apabila R dan S sebagai gelanggang dan f: R → S sebagai bijeksi. Maka f adalah gelanggang anti-isomorfisme if

$f(x+_{R}y)=f(x)+_{S}f(y)\ \ \ {\text{dan}}\ \ \ f(x\cdot _{R}y)=f(y)\cdot _{S}f(x)\ \ \ {\text{untuk semua }}x,y\in R.$

Jika R = S lalu f adalah gelanggang anti-automorphism.

Contoh gelanggang anti-automorfisme diberikan oleh pemetaan konjugat kuaternion:

$x_{0}+x_{1}\mathbf {i} +x_{2}\mathbf {j} +x_{3}\mathbf {k} \ \ \mapsto \ \ x_{0}-x_{1}\mathbf {i} -x_{2}\mathbf {j} -x_{3}\mathbf {k} .$

Referensi

• Baer, Reinhold (2005) [1952], Linear Algebra and Projective Geometry, Dover, ISBN 0-486-44565-8 
• Jacobson, Nathan (1948), The Theory of Rings, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1502-4 
• Pareigis, Bodo (1970), Categories and Functors, Academic Press, ISBN 0-12-545150-4