Pengguna:Dedhert.Jr/Bak pasir/Botol Klein

Dalam topologi, cabang dari matematika, Lubang Klein atau Botol Klein (/ˈklaɪn/) adalah contoh dari tidak berorientasi dari permukaan; ini adalah dua dimensi manifold yang dengannya sistem untuk menentukan vektor normal tidak dapat didefinisikan secara konsisten. Secara informal, ini adalah permukaan satu sisi yang, jika dilalui, dapat diikuti kembali ke titik asal sambil membalikkan pengelana secara terbalik. Objek non-orientasi terkait lainnya termasuk pita Möbius dan bidang proyektif nyata. Sedangkan pita Möbius adalah permukaan dengan batas, botol Klein tidak memiliki batas. Sebagai perbandingan, bola adalah permukaan yang dapat diorientasikan tanpa batas.

Lubang Klein pertama kali dijelaskan pada tahun 1882 oleh matematikawan asal Jerman Felix Klein. Mungkin awalnya dinamai Kleinsche Fläche ("Permukaan Klein") dan kemudian disalahartikan sebagai Kleinsche Flasche ("Lubang klein"), yang pada akhirnya mungkin telah menyebabkan adopsi istilah ini terdapat dalam bahasa Jerman.^[1]

Konstruksi

Persegi berikut adalah poligon fundamental dari lubang Klein. Idenya adalah untuk 'merekatkan' tepi warna yang sesuai dengan panah yang cocok, seperti pada diagram di bawah ini. Perhatikan bahwa ini adalah perekatan "abstrak" dalam arti bahwa mencoba mewujudkan hal ini dalam tiga dimensi akan menghasilkan lubang Klein yang berpotongan sendiri.

Untuk membuat botol Klein, rekatkan panah merah dari kotak menjadi satu (sisi kiri dan kanan) maka setelah itu akan menghasilkan tabung. Untuk merekatkan kedua ujung tabung sehingga panah pada lingkaran cocok, salah satu ujungnya akan melewati sisi tabung. Ini menciptakan lingkaran perpotongan diri, maka ini adalah immersi dari lubang Klein dalam tiga dimensi.

Immersi ini berguna untuk memvisualisasikan banyak properti lubang Klein. Misalnya, lubang Klein tidak memiliki batas, di mana permukaannya berhenti tiba-tiba, dan itu orientasi, seperti yang tercermin dalam pencelupan satu sisi.

Lubang Klein yang dibenamkan di Museum Sains di London

Lubang Klein buatan tangan

Model fisik umum dari botol Klein adalah konstruksi yang serupa. Museum Sains di London memamerkan koleksi botol Klein dari kaca yang ditiup dengan tangan, menunjukkan banyak variasi pada tema topologi ini. Botol tersebut berasal dari tahun 1995 dan dibuat untuk museum oleh Alan Bennett.^[2]

Lubang Klein, benar, tidak berpotongan sendiri. Meskipun demikian, ada cara untuk membayangkan lubang Klein terkandung dalam empat dimensi. Dengan menambahkan dimensi keempat ke ruang tiga dimensi, perpotongan diri dapat dihilangkan. Dorong dengan hati-hati sepotong tabung yang berisi persimpangan di sepanjang dimensi keempat. Sebuah analogi yang berguna adalah dengan mempertimbangkan kurva yang berpotongan sendiri pada bidang; persimpangan sendiri dapat dihilangkan dengan mengangkat satu untai dari bidang.

Evolusi waktu sosok Klein di xyzt pada angkasa

Properti

Seperti pita Möbius, luabng Klein adalah manifold dua dimensi yang bukan dari orientasi. Berbeda dengan pita Möbius, lubang Klein adalah bagian manifold dengan pita tertutup, yang berarti manifold tersebut dengan kompak tanpa batas. Sementara strip Möbius dapat disematkan dalam ruang Euklides tiga dimensi R³ ke R⁴.

Lubang Klein dapat dilihat sebagai bundel serat di atas lingkaran S¹, dengan serat S¹, sebagai berikut: seseorang jika persegi sisi modulo dengan sudut yang mengidentifikasi hubungan ekivalen dari atas menjadi E sebagai ruang total, sedangkan ruang dasar B diberikan oleh interval satuan dalam y sebagai modulo 1~0. Proyeksi π:E→B maka akan diberikan oleh π([x, y]) = [y].

Botol Klein dapat dibuat (dalam ruang empat dimensi, karena dalam ruang tiga dimensi tidak dapat dilakukan tanpa membiarkan permukaannya berpotongan sendiri) dengan menggabungkan tepi dua strip Mbius menjadi satu, seperti yang dijelaskan dalam limerick oleh Leo Moser:^[3]

Seorang matematikawan bernama Klein
Pikir band Mbius itu ilahi.
Katanya:"Jika Anda merekatkan
Tepi dua,
Anda akan mendapatkan botol aneh seperti milik saya."

Konstruksi awal botol Klein dengan mengidentifikasi sisi berlawanan dari persegi menunjukkan bahwa botol Klein dapat diberi struktur CW kompleks dengan satu sel 0 P, dua sel 1 C₁, C₂ dan satu 2-sel D . Karena itu Karakteristik Euler adalah 1 − 2 + 1 = 0. Homomorfisme batas diberikan oleh ∂D = 2C₁ dan ∂C₁ = ∂C₁ = 0, menghasilkan bagian kelompok homologi dari lubang Klein K to be H₀(K, Z) = Z, H₁(K, Z) = Z×(Z/2Z) dan H_n(K, Z) = 0 for n > 1.

Ada 2-1 peta penutup dari torus ke luabng Klein, karena dua salinan dari wilayah dasar dari botol Klein, yang satu ditempatkan di samping bayangan cermin yang lain, menghasilkan wilayah fundamental torus. Penutup universal dari torus dan botol Klein adalah bidangnya R².

Grup fundamental dari lubang Klein dapat ditentukan sebagai grup transformasi dek dari penutup universal dan memiliki ⟨a, b | ab = b⁻¹a⟩.

Enam warna cukup untuk mewarnai peta mana pun di permukaan botol Klein; ini adalah satu-satunya pengecualian untuk dugaan Heawood, sebuah generalisasi dari teorema empat warna, yang akan membutuhkan tujuh.

Botol Klein bersifat homeomorfik terhadap jumlah terhubung dari dua bidang proyektif. Ini juga merupakan homeomorfik bagi sebuah bola ditambah dua cross cap.

Saat tertanam di ruang Euclidean, botol Klein memiliki satu sisi. Namun, ada 3 ruang topologi lainnya, dan dalam beberapa contoh yang tidak dapat diorientasikan, botol Klein dapat disematkan sedemikian rupa sehingga dua sisi, meskipun karena sifat ruangnya, botol tersebut tetap tidak dapat diorientasikan.^[4]

Pembedahan

Membedah hasil lubang Klein di strip Möbius.

Membedah lubang Klein menjadi dua bagian sepanjang bidang simetri menghasilkan dua bayangan cermin Möbius strip, yaitu satu dengan putaran setengah tangan kiri dan yang lainnya dengan putaran setengah tangan kanan (salah satunya digambarkan di sebelah kanan). Ingatlah bahwa persimpangan dalam gambar sebenarnya tidak ada.

Kurva tertutup sederhana

Salah satu penjelasan tentang tipe kurva tertutup sederhana yang mungkin muncul pada permukaan botol Klein diberikan dengan menggunakan kelompok homologi pertama botol Klein yang dihitung dengan koefisien bilangan bulat. Kelompok ini disebut isomorfik Z×Z₂. Sampai pembalikan orientasi, satu-satunya kelas homologi yang mengandung kurva tertutup-sederhana adalah sebagai berikut: (0,0), (1,0), (1,1), (2,0), (0,1). Sampai pembalikan orientasi kurva tertutup sederhana, jika terletak di dalam salah satu dari dua crosscaps yang membentuk botol Klein, maka itu berada di kelas homologi (1,0) atau (1,1); jika botol Klein dipotong menjadi dua strip Möbius, maka itu termasuk dalam kelas homologi (2,0); jika itu memotong botol Klein menjadi annulus, kemudian di kelas homologi (0,1); dan jika membatasi disk, maka itu berada di kelas homologi (0,0).

Parametriisasi

Perendaman "angka 8" dari lubang Klein.

Penampang bagel klein menggunakan kurva angka delapan (lemniscate dari Gerono).

Angka 8 perendaman

Untuk membuat "gambar 8" atau "bagel" immersi dari lubang Klein, seseorang dapat memulai dengan Möbius strip dan menggulungnya untuk membawa tepi ke tengah; karena hanya ada satu tepi, ia akan bertemu dengan sendirinya di sana, melewati garis tengah. Ini memiliki parametriisasi yang sangat sederhana sebagai torus "angka-8" dengan setengah putaran:

{\begin{aligned}x&=\left(r+\cos {\frac {\theta }{2}}\sin v-\sin {\frac {\theta }{2}}\sin 2v\right)\cos \theta \\y&=\left(r+\cos {\frac {\theta }{2}}\sin v-\sin {\frac {\theta }{2}}\sin 2v\right)\sin \theta \\z&=\sin {\frac {\theta }{2}}\sin v+\cos {\frac {\theta }{2}}\sin 2v\end{aligned}}

for 0 ≤ θ < 2π, 0 ≤ v < 2π and r > 2.

Dalam pencelupan ini, lingkaran perpotongan diri (di mana sin(v) adalah nol) adalah lingkaran geometri pada bidang xy. Konstanta positif r adalah jari-jari lingkaran ini. Parameter θ memberikan sudut pada bidang xy serta rotasi gambar 8, and v specifies the position around the 8-shaped cross section. Dengan parameterisasi di atas, penampang melintang adalah 2:1 kurva Lissajous.

4-D tidak berpotongan

Parameterisasi 4-D yang tidak berpotongan dapat dimodelkan setelah parameter torus datar:

\ {\begin{aligned}x&=R\left(\cos {\frac {\theta }{2}}\cos v-\sin {\frac {\theta }{2}}\sin 2v\right)\\y&=R\left(\sin {\frac {\theta }{2}}\cos v+\cos {\frac {\theta }{2}}\sin 2v\right)\\z&=P\cos \theta \left(1+{\epsilon }\sin v\right)\\w&=P\sin \theta \left(1+{\epsilon }\sin v\right)\end{aligned}}

di mana R dan P adalah konstanta yang menentukan rasio aspek, θ dan v mirip dengan yang didefinisikan di atas. v menentukan posisi di sekitar gambar-8 serta posisi di bidang x-y. θ juga menentukan sudut rotasi gambar-8 dan posisi di sekitar bidang z-w. ε adalah sembarang konstanta kecil dan ε sinv adalah kecil v tergantung tonjolan di ruang z-w untuk menghindari perpotongan diri. Tonjolan v menyebabkan gambar-8 2-D / planar yang berpotongan sendiri menyebar menjadi "keripik kentang" bergaya 3-D atau bentuk pelana di tepi ruang yang dilihat x-y-w dan x-y. Ketika ε = 0 perpotongan sendiri berbentuk lingkaran pada bidang z-w <0, 0, cosθ, sinθ>.

Tabung torus / Möbius 4D terjepit 3D

Torus pencelupan botol Klein yang terjepit.

Torus yang terjepit mungkin merupakan parametrikisasi botol klein yang paling sederhana dalam tiga dan empat dimensi. Itu adalah torus yang, dalam tiga dimensi, rata dan melewati dirinya sendiri di satu sisi. Sayangnya, dalam tiga dimensi parameter ini memiliki dua titik jepit, yang membuatnya tidak diinginkan untuk beberapa aplikasi. Dalam empat dimensi, amplitudo z berputar menjadi amplitudo w dan tidak ada persimpangan sendiri atau titik jepit.

{\begin{aligned}x(\theta ,\varphi )&=(R+r\cos \theta )\cos {\varphi }\\y(\theta ,\varphi )&=(R+r\cos \theta )\sin {\varphi }\\z(\theta ,\varphi )&=r\sin \theta \cos \left({\frac {\varphi }{2}}\right)\\w(\theta ,\varphi )&=r\sin \theta \sin \left({\frac {\varphi }{2}}\right)\end{aligned}}

Seseorang dapat melihat ini sebagai tabung atau silinder yang membungkus, seperti pada torus, tetapi penampang melingkar terbalik dalam empat dimensi, menampilkan "bagian belakang" saat terhubung kembali, seperti penampang strip Möbius berputar sebelum menyambung kembali. Proyeksi ortogonal 3D ini adalah torus terjepit yang ditunjukkan di atas. Sama seperti strip Möbius adalah bagian dari torus padat, tabung Möbius adalah bagian dari spherinder tertutup toroid (padat spheritorus).

Bentuk lubang

Parameterisasi pencelupan 3 dimensi botol itu sendiri jauh lebih rumit.

Lubang Klein dengan sedikit transparansi

{\begin{aligned}x(u,v)=-&{\frac {2}{15}}\cos u\left(3\cos {v}-30\sin {u}+90\cos ^{4}{u}\sin {u}\right.-\\&\left.60\cos ^{6}{u}\sin {u}+5\cos {u}\cos {v}\sin {u}\right)\\y(u,v)=-&{\frac {1}{15}}\sin u\left(3\cos {v}-3\cos ^{2}{u}\cos {v}-48\cos ^{4}{u}\cos {v}+48\cos ^{6}{u}\cos {v}\right.-\\&60\sin {u}+5\cos {u}\cos {v}\sin {u}-5\cos ^{3}{u}\cos {v}\sin {u}-\\&\left.80\cos ^{5}{u}\cos {v}\sin {u}+80\cos ^{7}{u}\cos {v}\sin {u}\right)\\z(u,v)=&{\frac {2}{15}}\left(3+5\cos {u}\sin {u}\right)\sin {v}\end{aligned}}

untuk 0 ≤ u < π dan 0 ≤ v < 2π.

Kelas homotopi

Embeddings 3D reguler dari botol Klein terbagi dalam tiga kelas homotopi reguler (empat jika seseorang mengecatnya).^[5] Ketiganya diwakili oleh

Lubang Klein "tradisional"
Lubang Klein angka-8 tangan kiri
Lubang Klein angka-8 tangan kanan

Penyematan botol Klein tradisional adalah akhiral. Gambar-8 embedding adalah kiral (embedding torus terjepit di atas tidak teratur karena memiliki titik jepit sehingga tidak relevan dalam hal ini). Ketiga embeddings di atas tidak dapat diubah dengan mulus menjadi satu sama lain dalam tiga dimensi. Jika lubang Klein tradisional dipotong memanjang, botol tersebut akan terdekonstruksi menjadi dua, sebaliknya strip Möbius kiral.

Jika lubang Klein Angka 8 tangan kiri dipotong, ia akan mendekonstruksi menjadi dua strip Mbius tangan kiri, dan juga untuk lubang Klein Angka 8 tangan kanan.

Jika lubang Klein tradisional dicat dengan dua warna, hal ini akan menyebabkan chirality di atasnya, menciptakan empat kelas homotopi.

Generalisasi

Generalisasi lubang Klein ke genus yang lebih tinggi diberikan dalam artikel di poligon fundamental.

Dalam urutan ide yang lain, dengan membuat 3-manifold, diketahui bahwa botol Klein padat adalah homeomorfik terhadap produk Kartesius dari Möbius strip dan interval tertutup. Lubang Klein padat adalah versi non-orientable dari solid torus, setara dengan $D^{2}\times S^{1}.$

Permukaan Klein

Permukaan Klein adalah, seperti untuk Permukaan Riemann, permukaan dengan atlas yang memungkinkan peta transisi untuk disusun menggunakan konjugasi kompleks.