Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 17

Memperkirakan dimensi menghitung-kotak dari pesisir Britania Raya

Dalam geometri fraktal, dimensi Minkowski–Bouligand (bahasa Inggris: Minkowski–Bouligand dimension), atau dikenal sebagai dimensi Minkowski (bahasa Inggris: Minkowski dimension)atau dimensi menghitung-kotak (bahasa Inggris: box-counting dimension), merupakan cara menentukan dimensi fraktal himpunan $S$ dalam ruang Euklides $\mathbb {R} ^{n}$, atau lebih umumnya dalam ruang metrik $(X,d)$. Dimensi ini dinamai dari orang matematikawan asal Polandia bernama Hermann Minkowski dan dari asal Prancis bernama Georges Bouligand.

Untuk menghitung dimensi ini untuk bangunan fraktal $S$, bayangkan suatu bangunan fraktal diletakkan pada bidang dengan kisi yang berjarakkan sama dan menghitung ada berapa banyak kotak yang diperlukan untuk menutupi himpunan tersebut. Cara menghitung dimensi ini adalah dengan melihat bagaimana jumlah kotaknya berubah saat menggambarkan kisinya menjadi lebih kecil dengan menggunakan algoritma box-counting.

Definisi

Misalkan $N(\varepsilon )$ adalah jumlah kotak dari panjang sisi $\varepsilon$ yang dipakai untuk menutupi suatu himpunan. Maka dimensi menghitung-kotak didefinisikan sebagai

$\dim _{\text{box}}(S):=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log(1/\varepsilon )}}.$

Secara garis besar, ini mengartikan bahwa dimensinya merupakan eksponen $d$ sehingga $N\left({\tfrac {1}{n}}\right)=Cn^{d}$, yang dipandang sebagai kasus trivial untuk $S$ yang merupakan ruang manifold mulus berdimensi bilangan bulat $d$.