Bola pejal (matematika)

Dalam matematika, bola pejal (atau bola pepet) adalah bangunan ruang yang dibatasi volume bola, yang disebut juga sebagai bola padat.^[1] Bola dapat dikatakan sebagai bola tertutup (bahasa Inggris: open ball), yang mencakup titik batas yang membentuk bola) atau disebut sebagai bola terbuka (bahasa Inggris: closed ball), yang mengecualikan titik batas yang membentuk bola.

Dalam ruang Euklides

Dalam ruang Euklides ke- $n$ , bola pejal- $n$ (terbuka) dengan jari-jari $r$ dan pusat $x$ merupakan himpunan dari semua titik dengan jarak kurang dari $r$ yang jauh dari $x$ . Sedangkan bola pejal- $n$ tertutup dengan jari-jari $r$ merupakan himpunan dari semua titik dengan jarak kurang dari atau sama dengan nilai $r$ yang jauh dari $x$ .

Volume

Dalam ruang Euklides berdimensi- $n$ , volume berdimensi- $n$ dari bola pejal Euklides dengan jari-jari $R$ dirumuskan sebagai:^[2]

V_{n}(R)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}R^{n},

dengan $Γ$ merupakan fungsi gamma Leonhard Euler (yang dapat dipandang sebagai perluasan dari fungsi faktorial hingga ke argumen fraksional. Menggunakan rumus eksplisit nilai khusus dari fungsi gamma di bilangan bulat dan setengah bilangan bulat, memberikan rumus volume dari bola pejal Euklides yang tanpa menggunakan perhitungan fungsi gamma. Rumus tersebut adalah:

{\begin{aligned}V_{2k}(R)&={\frac {\pi ^{k}}{k!}}R^{2k}\,,\\V_{2k+1}(R)&={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={\frac {2(k!)(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}\,.\end{aligned}}

Dalam rumus volume berdimensi ganjil, faktorial ganda $(2 k + 1)!!$ didefinisikan untuk bilangan bulat ganjil $2 k + 1$ sebagai

(2k+1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot \cdots \cdot (2k-1)\cdot (2k+1).

Lihat pula

Referensi

^ Japan, Mathematical Society of; Sūgakkai, Nihon (1993). Encyclopedic Dictionary of Mathematics (dalam bahasa Inggris). MIT Press. ISBN 978-0-262-59020-4.
^ Equation 5.19.4, NIST Digital Library of Mathematical Functions. http://dlmf.nist.gov/,^{[pranala nonaktif permanen]} Release 1.0.6 of 2013-05-06.

[1] Japan, Mathematical Society of; Sūgakkai, Nihon (1993). Encyclopedic Dictionary of Mathematics (dalam bahasa Inggris). MIT Press. ISBN 978-0-262-59020-4.

[2] Equation 5.19.4, NIST Digital Library of Mathematical Functions. http://dlmf.nist.gov/,^{[pranala nonaktif permanen]} Release 1.0.6 of 2013-05-06.

[1]

[2]