Titik stasioner

Dalam ilmu matematika (khususnya dalam bidang kalkulus), titik stasioner atau titik kritis suatu fungsi yang dapat diturunkan adalah suatu titik di dalam grafik dengan turunan kurva pertama yang sama dengan nol.^[1]^[2]^[3] Dalam kata lain, titik stasioner merupakan titik di mana fungsi "berhenti" naik atau turun.

Untuk fungsi beberapa variabel riil yang dapat diturunkan, titik stasioner adalah titik di permukaan grafik dengan turunan parsial nol.

Titik stasioner mudah digambarkan di dalam suatu grafik fungsi dengan satu variabel karena titik tersebut terletak di titik dengan garis tangen horizontal (paralel dengan $sumbu x$ ). Untuk fungsi dengan dua variabel, titik ini sama dengan titik di grafik dengan bidang tangen yang paralel dengan bidang $xy$ .

Klasifikasi

Titik stasioner fungsi riil $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ bernilai $C^{1}$ dapat digolongkan menjadi empat berdasarkan uji turunan pertama:

Minimum lokal adalah titik ketika turunan fungsi berubah dari negatif menjadi positif;
Maksimum lokal adalah titik ketika turunan fungsi berubah dari positif menjadi negatif
Titik belok yang naik adalah titik ketika turunan fungsi bernilai positif di kedua sisi titik stasioner
Titik belok yang turun adalah titik ketika turunan fungsi bernilai negatif di kedua sisi titik stasioner;

Pilihan pertama dan kedua disebut "ekstrema lokal". Sementara itu, titik yang merupakan maksimum atau minimum global/absolut disebut ekstremum global/absolut. Dua pilihan terakhir yang bukan merupakan ekstremum lokal disebut titik sadel.

Penggambaran kurva

Penentuan posisi dan sifat titik stasioner membantu proses penggambaran kurva fungsi yang dapat diturunkan. Penyelesaian persamaan f'(x) = 0 menghasilkan koordinat x semua titik stasioner; koordinat y adalah nilai fungsi di koordinat x tersebut. Sifat suatu titik stasioner di x dapat ditentukan dengan melihat turunan kedua f''(x):

Jika f''(x) < 0, titik stasioner di x merupakan ekstremum maksimum
Jika f''(x) > 0, titik stasioner di x merupakan ekstremum minimum
Jika f''(x) = 0, sifat titik stasioner harus ditentukan dengan cara lain

Cara yang lebih mudah adalah dengan mencari nilai fungsi di antara titik stasioner (jika fungsi didefinisikan dan tidak terputus).

Referensi

^ Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (edisi ke-3rd). New York: McGraw-Hill. hlm. 236. ISBN 0-07-010813-7.
^ Saddler, David; Shea, Julia; Ward, Derek (2011), "12 B Stationary Points and Turning Points", Cambridge 2 Unit Mathematics Year 11, Cambridge University Press, hlm. 318, ISBN 9781107679573
^ "Turning points and stationary points". TCS FREE high school mathematics 'How-to Library',. Diakses tanggal 30 October 2011.

Pranala luar

Inflection Points of Fourth Degree Polynomials — a surprising appearance of the golden ratio at cut-the-knot

[1] Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (edisi ke-3rd). New York: McGraw-Hill. hlm. 236. ISBN 0-07-010813-7.

[Saddler-2] Saddler, David; Shea, Julia; Ward, Derek (2011), "12 B Stationary Points and Turning Points", Cambridge 2 Unit Mathematics Year 11, Cambridge University Press, hlm. 318, ISBN 9781107679573

[TCS-3] "Turning points and stationary points". TCS FREE high school mathematics 'How-to Library',. Diakses tanggal 30 October 2011.

[1]

[2]

[3]