Teori peluang

Teori peluang adalah cabang matematika yang bersangkutan dengan peluang, analisis fenomena acak. Objek utama teori peluang adalah variabel acak, proses stokastik, dan kejadian: abstraksi matematis non-deterministik peristiwa atau kuantitas terukur yang dapat berupa kejadian tunggal atau berkembang dari waktu ke waktu dalam mode tampaknya acak.

Jika satu koin dilemparkan atau sebuah dadu dianggap peristiwa acak, maka jika berkali-kali mengulangi urutan kejadian acak akan menunjukkan pola-pola tertentu, yang dapat dipelajari, dan diprediksi. Dua hasil matematis representatif menggambarkan pola tersebut adalah hukum bilangan besar, dan teorema limit pusat.

Sebagai dasar matematika untuk statistik, teori peluang adalah hal penting untuk kegiatan manusia disebabkan banyak hal yang melibatkan analisis kuantitatif set besar data. Metode teori peluang juga berlaku untuk deskripsi sistem yang kompleks diberikan pengetahuan hanya sebagian dari negara mereka, seperti dalam mekanika statistik. Sebuah penemuan besar fisika abad kedua puluh adalah sifat peluang fenomena fisik pada skala atom, dijelaskan dalam mekanika kuantum.

Sejarah

Teori peluang muncul pada abad ke-17, dimana teori peluang digunakan untuk mencari kemungkinan gagal dan berhasil dalam permainan dadu dan kartu. Selain itu, teori peluang digunakan untuk kegiatan yang bersifat prakiraan seperti prakiraan curah hujan dan kemenangan pertandingan.^[1]

Ruang peluang

Misalkan $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ ruang terukur, yaitu $\Omega$ suatu himpunan dan ${\mathcal {A}}$ sebuah aljabar σ pada $\Omega$ . Himpunan $\Omega$ disebut ruang sampel dan anggota aljabar σ disebut kejadian. Kemudian, misalkan $P$ suatu ukuran pada ${\mathcal {A}}$ , sedemikian sehingga $P(\Omega )=1$ , yaitu $P:{\mathcal {A}}\rightarrow [0,1]$ fungsi yang memenuhi sifat-sifat berikut:

$P(A)\geq 0$ untuk semua $A\in {\mathcal {A}}$ .
$P(\emptyset )=0$ .
$P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i})$ untuk semua $A_{1},A_{2},\ldots \in {\mathcal {A}}$ yang saling asil.
$P(\Omega )=1$ .

Selanjutnya, $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ disebut ruang peluang.

Ruang sampel

setiap dadu memiliki enam sisi kemungkinan

Ruang sampel adalah himpunan yang memuat semua hasil yang berbeda, yang mungkin terjadi dalam suatu percobaan. Notasi dari ruang sampel sebagai berikut:

\Omega =\{e_{1},\dots ,e_{n}\}

dimana $\Omega$ adalah ruang sampel serta $n$ adalah banyaknya hasil (bisa terhingga atau tak terhingga). Misalnya, pelemparan sebuah dadu yang seimbang, semua kemungkinan nilai yang muncul $\Omega$ = $\{1,2,3,4,5,6\}$ . Contoh lainnya, semua kemungkinan nilai yang muncul pelemparan dua buah koin setimbang ialah $\Omega =\{{\text{GG}},{\text{GA}},{\text{AG}},{\text{AA}}\}$ , dimana ${\text{G}}$ dan ${\text{A}}$ masing-masing menyatakan gambar dan angka.

Titik sampel

Titik sampel merupakan elemen atau unsur dalam ruang sampel.^[2] Dalam pelemparan sebuah dadu yang menjadi titik sampelnya yaitu mata dadu dari angka 1 hingga 6 { {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} } maka kemungkinan titik sampel yang akan didapatkan dalam sebuah pelemparan dadu adalah salah satu angka tersebut.

Pada pelemparan sebuah koin atau dua buah koin titik sampelnya adalah bagian angka (A) atau gambar (G) {A} dan {G}. Sementara itu, pada pengocokan seperangkat kartu bridge yang berjumlah 52 titik sampelnya yaitu :

Kartu As atau angka 1 bergambar daun
Kartu As atau angka 1 bergambar wajik
Kartu As atau angka 1 bergambar hati
Kartu As atau angka 1 bergambar semanggi
Kartu poker atau angka 2 bergambar daun
Kartu poker atau angka 2 bergambar wajik
Kartu poker atau angka 2 bergambar hati
Kartu poker atau angka 2 bergambar semanggi
Angka 3 bergambar daun
Angka 3 bergambar wajik
Angka 3 bergambar hati
Angka 3 bergambar semanggi
Angka 4 bergambar daun
Angka 4 bergambar wajik
Angka 4 bergambar hati
Angka 4 bergambar semanggi
Angka 5 bergambar daun
Angka 5 bergambar wajik
Angka 5 bergambar hati
Angka 5 bergambar semanggi
Angka 6 bergambar daun
Angka 6 bergambar wajik
Angka 6 bergambar hati
Angka 6 bergambar semanggi
Angka 7 bergambar daun
Angka 7 bergambar wajik
Angka 7 bergambar hati
Angka 7 bergambar semanggi
Angka 8 bergambar daun
Angka 8 bergambar wajik
Angka 8 bergambar hati
Angka 8 bergambar semanggi
Angka 9 bergambar daun
Angka 9 bergambar wajik
Angka 9 bergambar hati
Angka 9 bergambar semanggi
Angka 10 bergambar daun
Angka 10 bergambar wajik
Angka 10 bergambar hati
Angka 10 bergambar semanggi
Jack daun
Jack wajik
Jack hati
Jack semanggi
Queen daun
Queen wajik
Queen hati
Queen semanggi
King daun
King wajik
King hati
King semanggi

Peluang Kejadian

Kejadian ( ${\mathcal {A}}$ ) adalah himpunan bagian dari ruang sampel yang memiliki karakteristik tertentu. Kejadian biasanya dinotasikan dengan huruf kapital (A, B, ....)

Sebagai contoh, pada pelemparan dua buah koin setimbang maka kejadian munculnya sisi angka adalah ${\mathcal {A}}$ = (GA, GG, AA} sebanyak 3 kejadian.

Frekuensi relatif

Frekuensi relatif adalah besar peluang dari percobaan-percobaan yang telah dilakukan seperti pada ilustrasi seorang anak melempar dadu sebanyak 50 kali, ia mendapatkan angka 3 sebanyak 15 kali.

Frekuensi Relatif atau Fr dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut,

$F_{r}={\frac {n}{a}}$ .

n= banyaknya kejadian yang muncul

a= banyaknya kejadian atau percobaan seluruhnya^[2]^[1]

Lihat pula

Peluang

Referensi

^ ^a ^b Kusumawardani, Linda (2011). Matematika untuk SMP dan MTs. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan Kementrian Pendidikan Nasional. hlm. 184. ISBN 9789790956919.
^ ^a ^b Dris, J. (2011). Matematika Jilid 3 untuk SMP dan MTs Kelas IX. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan Kementrian Pendidikan Nasional. hlm. 145. ISBN 9789790956674.

[:1-1] Kusumawardani, Linda (2011). Matematika untuk SMP dan MTs. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan Kementrian Pendidikan Nasional. hlm. 184. ISBN 9789790956919.

[:0-2] Dris, J. (2011). Matematika Jilid 3 untuk SMP dan MTs Kelas IX. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan Kementrian Pendidikan Nasional. hlm. 145. ISBN 9789790956674.

[1]

[2]