Partisi (teori bilangan)

Dalam teori bilangan dan kombinatorik, partisi dari bilangan bulat positif n adalah suatu cara menulis bilangan n sebagai jumlah dari bilangan bulat positif. Ini juga dikenal sebagai partisi bilangan bulat. Dua penjumlahan yang berbeda dalam urutan tinambahnya dianggap memiliki partisi yang sama.

Contoh

Misalkan, 5 dapat dipartisi dalam tujuh cara:

5

4 + 1

3 + 2

3 + 1 + 1

2 + 2 + 1

2 + 1 + 1 + 1

1 + 1 + 1 + 1 + 1

Ada beberapa penulis yang memperlakukan partisi sebagai barisan tijumlah yang menurun daripada menggunakan ekspresi dengan tanda tambah (+). Sebagai contoh, partisi 2 + 2 + 1 dituliskan sebagai rangkap $(2,2,1)$ atau bahkan dalam bentuk yang lebih kompak $(2^{2},1)$. Pada notasi terakhir, superskrip mengartikan jumlah pengulangannya.

Sebagai gantinya, notasi kelipatan tersebut dapat ditulis sebagai $1^{m_{1}}2^{m_{2}}3^{m_{3}}\cdots$, dengan $m_{1}$ melambangkan jumlah bilangan 1, $m_{2}$ melambangkan jumlah bilangan 2, dan begitu seterusnya. Sebagai contoh, partisi dari $n=5$ ditulis $5^{1},1^{1}4^{1},2^{1}3^{1},1^{2}3^{1},1^{1}2^{2},1^{3}2^{1},1^{5}$. Karena representasi tersebut, maka dapat ditulis langsung menggunakan rumus fungsi pembangkit berikut:$$\sum _{n\geq 0}p(n)q^{n}=\prod _{i\geq 1}\sum _{m\geq 0}q^{im}=\prod _{i\geq 1}{\frac {1}{1-q^{i}}}.$$