Uji kekonvergenan
Uji kekonvergenan (bahasa Inggris: convergence tests) dalam matematika adalah kumpulan metode untuk melakukan uji yang berkenaan dengan deret konvergen, kekonvergenan bersyarat, kekonvergenan mutlak, kekonvergenan selang atau divergensi suatu deret tak terhingga.
Daftar uji kekonvergenan
Limit dari jinumlah
Jika limit dari jinumlah (atau limit dari yang dijumlahkan) tidak dapat didefinisikan atau bukan nol, yaitu , maka deret tersebut pasti divergen. Dalam hal ini, jumlah parsial merupakan barisan Cauchy hanya jika limit ini ada dan sama dengan nol. Uji ini tidak mempunyai kesimpulan jika limit jumlah semua elemen sama dengan nol.
Uji rasio
Uji ini juga dikenal sebagai kriteria D'Alembert (D'Alembert's criterion). Uji ini mengatakan: Misalkan terdapat sedemikian rupa sehingga
Uji akar
Uji ini juga dikenal sebagai "Uji akar ke-n" (n-th root test)atau kriteria Cauchy (Cauchy's criterion). Misalkan
Uji integral
Suatu deret dapat dibandingkan dengan suatu integral untuk menguji apakah deret tersebut konvergen atau divergen. Misalkan adalah suatu fungsi positif dan menurun secara monoton sedemikian rupa sehingga . Jika
Uji perbandingan langsung
Jika deret merupakan suatu deret konvergen mutlak dan untuk yang cukup besar, maka deret konvergen mutlak.
Uji perbandingan limit
Jika , dan limit ada, merupakan terhingga dan bukan nol, maka konvergen jika dan hanya jika konvergen.
Uji kondensasi Cauchy
Misalkan adalah urutan positif yang tidak meningkat. Maka jumlah adalah konvergen jika dan hanya jika jumlah konvergen. Terlebih lagi, jika jumlah tersebut konvergen, maka berlaku pertidaksamaan .
Uji Abel
Misalnya pernyataan-pernyataan berikut ini benar:
- adalah suatu deret konvergen,
- adalah suatu urutan monoton, dan
- mempunyai batasan (bounded).
Maka juga konvergen.
Uji Raabe–Duhamel
Misalkan { an } > 0.
Definisikan
.
Jika ada, maka ada tiga kemungkinan:
- Jika L > 1 deret itu konvergen
- Jika L < 1 deret itu divergen
- Jika L = 1 tes itu tidak konklusif.
Suatu rumus selang-seling dari uji ini adalah sebagai berikut. Misalkan {an} adalah suatu deret bilangan real. Maka jika b > 1 dan K (sebuah bilangan asli) ada sedemikian sehingga
untuk semua n > K maka deret { an } itu konvergen.
Catatan
- Untuk sejumlah jenis deret tertentu ada tes konvergensi yang lebih khusus, misalnya untuk deret Fourier digunakan uji Dini
Perbandingan
Uji akar lebih kuat dari uji rasio (lebih kuat karena syarat yang dibutuhkan lebih lemah): bilamana uji rasio menentukan suatu deret tak terhingga itu konvergen atau divergen, maka hasil yang sama didapat dari uji akar, tetapi sebaliknya tidak selalu demikian.[1]
Contohnya, untuk deret
- 1 + 1 + 0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.125 + 0.125 + ... = 4
konvergen menurut tes akar tetapi tidak konvergen menurut tes rasio.
Contoh
Pertimbangkan deret
.
Uji kondensasi Cauchy menyiratkan bahwa (*) konvergen hingga jika
secara finit konvergen. Karena
(**) adalah deret geometrik dengan rasio . (**) adalah konvergen hingga jika rasionya kurang dari satu (yaitu ). Jadi, (*) adalah konvergen hingga jika dan hanya jika .
Lihat pula
Referensi
Pranala luar
- Flowchart for choosing convergence test Diarsipkan 2010-08-08 di Wayback Machine.