Unit imajiner

Unit imajiner atau angka imajiner unit ($i$) adalah solusi untuk persamaan kuadrat $x$² $+1=0$. Meskipun tidak ada bilangan riil dengan properti ini, $i$ dapat digunakan untuk memperluas bilangan riil ke apa yang disebut bilangan kompleks, menggunakan penjumlahan dan perkalian. Contoh sederhana penggunaan $i$ dalam bilangan kompleks adalah $2+3i$.

$i$ terletak di bidang kompleks. Bilangan riil terletak pada sumbu horizontal, dan bilangan imajiner terletak pada sumbu vertikal.

Bilangan imajiner adalah konsep matematika yang penting, yang memperluas sistem bilangan riil ℝ ke sistem bilangan kompleks ℂ, yang pada gilirannya menyediakan setidaknya satu akar fungsi untuk setiap polinomial $P(x)$ yang tidak konstan. Istilah "imajiner" digunakan karena tidak ada bilangan riil yang memiliki kuadrat negatif.

Ada dua akar kuadrat kompleks −1 , yaitu $i$ dan $-i$, sama seperti ada dua akar kuadrat kompleks dari setiap bilangan riil selain nol, yang memiliki satu akar kuadrat ganda.

Dalam konteks di mana $i$ ambigu atau bermasalah, $j$ atau ι Yunani kadang-kadang digunakan. Dalam disiplin teknik elektro dan rekayasa sistem kontrol, unit imajiner biasanya dilambangkan dengan $j$ bukan $i$, karena $i$ biasanya digunakan untuk menunjukkan arus listrik.

Definisi

Nilai siklus perpangkatan dari i :
$...$ (daerah yang berwarna biru menandakan pola berulang)
$i^{-3}=i$
$i^{-2}=-1$
$i^{-1}=-i$
$i^{0}=1$
$i^{1}=i$
$i^{2}=-1$
$i^{3}=-i$
$i^{4}=1$
$i^{5}=i$
$i^{6}=-1$
$...$ (daerah yang berwarna biru menandakan pola berulang)

Bilangan imajiner $i$ didefinisikan hanya dengan menggunakan sifat bahwa akar kuadratnya adalah $-1$: $$i^{2}=-1.$$ Oleh karena itu, $i$ dan $-i$ sama-sama merupakan akar kuadrat dari $-1$.

Operasi bilangan real dapat diperluas ke bilangan imajiner dan bilangan kompleks, dengan memperlakukan $i$ sebagai kuantitas yang tidak diketahui saat memanipulasi ekspresi (dan menggunakan definisi untuk menggantikan $i^{2}$ dengan −1). Perpangkatan dari $i$ yang lebih tinggi dapat digantikan dengan $-i$, $1$, $i$, atau $-1$: $${\begin{aligned}i^{3}&=i^{2}i=(-1)i=-i\\i^{4}&=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1\\i^{5}&=i^{4}i=(1)i=i.\end{aligned}}$$

Hal ini dapat diperlakukan cara yang serupa untuk sebarang bilangan real tak nol: $$i^{0}=i^{1-1}=i^{1}i^{-1}=i^{1}{\frac {1}{i}}=i{\frac {1}{i}}={\frac {i}{i}}=1.$$

Sebagai bilangan kompleks, $i$ dapat dinyatakan dalam sistem koordinat Cartesius berdimensi dua sebagai $0+1i$, yang terdiri dari nol buah komponen real dan satu buah komponen imajiner. Dalam bentuk polar, $i$ dapat dinyatakan sebagai $1\times e^{i\pi /2}$ (atau cukup tulis $e^{i\pi /2}$), dengan nilai mutlak dari 1 dan argumen dari $\pi /2$ radian (dan juga ditambahkan dengan sebarang kelipatan dari $2\pi$) Dalam bilangan kompleks, atau disebut bidang Argand, yang merupakan pandangan bidang Cartesius yang khusus, $i$ adalah titik yang terletak dengan jarak 1 satuan dari titik asal di sepanjang sumbu imajiner.