Bilangan prima Wolstenholme

Dalam teori bilangan, bilangan prima Wolstenholme (bahasa Inggris: Wolstenholme prime) merupakan jenis bilangan prima spesial yang memenuhi teorema Wolstenholme yang lebih kuat. Teorema Wolstenholme melibatkan relasi kekongruenan yang dipenuhi oleh semua bilangan prima yang lebih besar daripada 3. Bilangan prima Wolstenholme dinamai dari seorang matematikawan yang bernama Joseph Wolstenholme, yang pertama kali menjelaskan teorema ini pada abad ke-19.

Bilangan prima Wolstenholme

Dinamai dari	Joseph Wolstenholme
Tahun terbitan	1995
Penulis	McIntosh, R. J.
Jumlah suku pada barisan yang diketahui	2
Jumlah suku pada barisan yang diduga	Tak berhingga banyaknya
Merupakan subbarisan dari	Bilangan prima tak beraturan
Suku pertama	16843, 2124679
Suku terbesar yang diketahui	2124679
OEIS	A088164 Wolstenholme primes: primes p such that binomial(2p-1,p-1) == 1 (mod p^4)

Masalah yang belum terpecahkan dalam matematika:

Adakah bilangan prima Wolstenholme selain 16843 dan 2124679?

(lebih banyak masalah yang belum terpecahkan dalam matematika)

Bilangan prima ini menjadi banyak perhatian karena memiliki kaitannya dengan Teorema Terakhir Fermat. Selain itu, bilangan prima Wolstenholme juga berkaitan dengan jenis kelas bilangan spesial lainnya, yang dikaji dengan harapan dapat memperumum suatu bukti kebenaran teorema untuk semua bilangan bulat positif yang lebih besar daripada dua.

Dua bilangan prima Wolstenholme yang diketahui hanyalah 16843 dan 2124679 (barisan A088164 pada OEIS). Tiada bilangan prima Wolstenholme yang lebih kecil daripada 10⁹.

Definisi

Bilangan prima Wolstenholme dapat didefinisikan sebagai bilangan prima $p>7$ yang memenuhi kekongruenan:$${2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{4}}}.$$ Disini, ekspresi di ruas kiri melambangkan koefisien binomial. Sebagai perbandingan, teorema Wolstenholme menyatakan bahwa untuk setiap bilangan prima $p>3$, maka berlaku kekongruenan: $${2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{3}}}.$$

Bilangan prima Wolstenholme didefinisikan sebagai bilangan prima $p$ yang membagi pembilang dari bilangan Bernoulli $B_{p-3}$. Karena itu, bilangan prima Wolstenholme membentuk subhimpunan dari bilangan prima tak beraturan. Bilangan prima Wolstenholme merupakan bilangan prima $p$ sehingga $(p,p-3)$ merupakan pasangan tak beraturan.

Bilangan prima Wolstenholme adalah bilangan prima $p$ sehingga $$H_{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{3}}}.$$ Ini berarti, pembilang dari bilangan harmonik $H_{p-1}$ yang dinyatakan dalam suku terkecil dapat dibagi oleh $p^{3}$.

Referensi

• Buhler, J.; Crandall, R.; Ernvall, R.; Metsänkylä, T. (1993), "Irregular Primes and Cyclotomic Invariants to Four Million" (PDF), Mathematics of Computation, 61 (203): 151–153, Bibcode:1993MaCom..61..151B, doi:10.2307/2152942 , JSTOR 2152942 

• Clarke, F.; Jones, C. (2004), "A Congruence for Factorials" (PDF), Bulletin of the London Mathematical Society, 36 (4): 553–558, doi:10.1112/S0024609304003194  Diarsipkan 2 Januari 2011 di WebCite

• Johnson, W. (1975), "Irregular Primes and Cyclotomic Invariants" (PDF), Mathematics of Computation, 29 (129): 113–120, doi:10.2307/2005468 , JSTOR 2005468  Diarsipkan 20 December 2010 di WebCite

• McIntosh, R. J. (1995), "On the converse of Wolstenholme's Theorem" (PDF), Acta Arithmetica, 71 (4): 381–389, doi:10.4064/aa-71-4-381-389   Diarsipkan 8 November 2010 di WebCite

• Zhao, J. (2007), "Bernoulli numbers, Wolstenholme's theorem, and p⁵ variations of Lucas' theorem" (PDF), Journal of Number Theory, 123: 18–26, doi:10.1016/j.jnt.2006.05.005   Diarsipkan 12 November 2010 di WebCite

• Zhao, J. (2008), "Wolstenholme Type Theorem for Multiple Harmonic Sums" (PDF), International Journal of Number Theory, 4 (1): 73–106, doi:10.1142/s1793042108001146  Diarsipkan 27 November 2010 di WebCite

Bacaan lebih lanjut

• Babbage, C. (1819), "Demonstration of a theorem relating to prime numbers", The Edinburgh Philosophical Journal, 1: 46–49 
• Krattenthaler, C.; Rivoal, T. (2009), "On the integrality of the Taylor coefficients of mirror maps, II", Communications in Number Theory and Physics, 3 (3): 555–591, arXiv:0907.2578 , Bibcode:2009arXiv0907.2578K, doi:10.4310/CNTP.2009.v3.n3.a5 
• Wolstenholme, J. (1862), "On Certain Properties of Prime Numbers", The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, 5: 35–39