Notasi anak panah atas Knuth

Dalam matematika, notasi anak panah Knuth adalah salah satu cara untuk melambangkan bilangan bulat dengan nilai yang besar, diciptakan oleh Donald Knuth tahun 1976. Dalam makalahnya tahun 1947,  R. L. Goodstein memperkenalkan urutan operasi spesifik yang sekarang disebut hiperoperasi, di mana contohnya perkalian dianggap sebagai iterasi atau perulangan dari penjumlahan, perpangkatan adalah iterasi dari perkalian, iterasi selanjutnya adalah tetrasi, kemudian pentasi, dan seterusnya, di mana notasi anak panah Knuth dapat digunakan. misalnya:

• Anak panah tunggal $\displaystyle (\uparrow )$ mewakili eksponenisasi yang merupakan perkalian berulang.

${\displaystyle 2\uparrow 4=H_{3}(2,4)=2\times (2\times (2\times 2))=2^{4}=16}$

• Anak panah ganda $\displaystyle (\uparrow \uparrow )$ mewakili tetrasi yang merupakan eksponenisasi yang berulang.

${\displaystyle 2\uparrow 4=H_{3}(2,4)=2\times (2\times (2\times 2))=2^{4}=16}$

• Anak panah tripel $\displaystyle (\uparrow \uparrow \uparrow )$ mewakili pentasi yang merupakan tetrasi yang berulang.${\displaystyle {\begin{aligned}2\uparrow \uparrow \uparrow 4=H_{5}(2,4)=2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow 2))\\&=2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow (2\uparrow 2))\\&=2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow 4)\\&=\underbrace {2\uparrow (2\uparrow (2\uparrow \dots ))} \;=\;\underbrace {\;2^{2^{\cdots ^{2}}}} \\&\;\;\;\;\;2\uparrow \uparrow 4{\mbox{ copies of }}2\;\;\;\;\;{\mbox{65,536 2s}}\\\end{aligned}}}$

Definisi umum dari notasi anak panah adalah sebagai berikut, dimana ${\displaystyle {{\mbox{dimana }}(a\geq 0,n\geq 1,b\geq 0)}}$:

${\displaystyle a\uparrow ^{n}b=H_{n+2}(a,b)=a[n+2]b.}$

Disini, $\displaystyle \uparrow ^{n}$ merupakan singkatan dari anak panah yang berjumlah n sebagai contoh:

${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=2\uparrow ^{4}3.}$

dan kurung siku adalah notasi lain dari hiperoperasi

Pengenalan

Hiperoperasi secara alami memperluas operasi aritmetika dari operasi yang lebih kecil seperti Perkalian yang merupakan iterasi, lelaran, perulangan atau Rekursi dari penjumlahan. yang direpresentasikan dengan notasi dibawah ini:

Penambahan dengan bilangan asli didefinisikan dengan penjumlahan yang berulang

$\displaystyle {H_{1}(a,b)=a+b=\underbrace {a+1+\cdots +1} _{b\ kali}}$

Misalnya

$\displaystyle {5+3=5+1+1+1=8}$

Perkalian merupakan iterasi atau perulangan dari penjumlahan

$\displaystyle {H_{2}(a,b)=a\times b=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{b\ kali}}$

Misalnya:

$4\times 3=3+3+3+3=12$

Perpangkatan adalah iterasi dari perkalian, dalam notasi Knuth dilambangkan dengan satu anak panah:

$H_{3}(a,b)=a\uparrow b=a^{b}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{b\ kali}$

Misalnya:

$4\uparrow 3=4^{3}={4\times 4\times 4}$

Tetrasi merupakan Iterasi dari perpangkatan, yang merupakan perpangkatan yang berulang, dilambangkan dengan dua anak panah:

$H_{4}(a,b)=a\uparrow \uparrow b=\ ^{b}\!a=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.^{.^{a}}}}}}} _{b\ kali}=\underbrace {a\uparrow (a\uparrow ({...\uparrow a))}} _{b\ kali}$

Misalnya:

${\displaystyle {\begin{matrix}H_{4}(a,b)=4\uparrow \uparrow 3=&\underbrace {4^{4^{4}}} &=&\underbrace {4\uparrow (4\uparrow 4)} &=&4^{256}&\approx &1.34078079\times 10^{154}&\\&{\mbox{4 sebanyak 3 tingkat}}&&{\mbox{3 angka 4}}\end{matrix}}}$

Berdasarkan definisi ini dapat diketahui bahwa anak panah ganda $(\uparrow \uparrow )$ ini mewakili perpangkatan dengan tingkat sebanyak n tingkat, maka

$3\uparrow \uparrow 2=3^{3}=27$

$3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7.625.597.484.987$

$3\uparrow \uparrow 4=3^{3^{3^{3}}}=3^{7625597484987}\approx 1,2580143\times 10^{3638334640024}$

$3\uparrow \uparrow 5=3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{3^{27}}}=3^{3^{7625597484987}}=3^{1,2580143\times 10^{3638334640024}}$

Dan seterusnya, Walaupun bilangan ini sudah terlihat sangat besar. Hiperoperasi tidak berhenti disitu. Iterasi selanjutnya seperti pentasi, heksasi, dan lain-lain dilakukan dengan menambah jumlah anak panah pada notasi anak panah knuth :

Pentasi, mendefinisikan iterasi dari tetrasi. Direpresentasikan dengan panah tripel atau rangkap tiga $(\uparrow \uparrow \uparrow )$:

$H_{5}(a,b)=a\uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (...\uparrow \uparrow a))} _{b\ kali}$

Heksasi mendefinisikan iterasi dari pentasi. Direpresentasikan dengan panah tripel atau rangkap empat $(\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow )$:

$H_{6}(a,b)=a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow (...\uparrow \uparrow \uparrow a))} _{b\ kali}$

Jadi, notasi anak panah-$n$ didefinisikan sebagai deret anak panah ($n-1$):

$a\underbrace {\uparrow \uparrow ...\uparrow } _{n}b=\underbrace {a\underbrace {\uparrow ...\uparrow } _{n-1}(a\underbrace {\uparrow ...\uparrow } _{n-1}(...\underbrace {\uparrow ...\uparrow } _{n-1}a))} _{b\ kali}$

Sebagai contoh:

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow 2=3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}$

${\displaystyle {\begin{matrix}3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow 3)=3\uparrow \uparrow (3\uparrow 3\uparrow 3)=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&3{\mbox{ sebanyak }}3\uparrow 3\uparrow 3\end{matrix}}{\begin{matrix}=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&{\mbox{3 sebanyak 7,625,597,484,987 tingkat}}\end{matrix}}{\begin{matrix}=&\underbrace {3^{3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}}}} \\&{\mbox{3 sebanyak 7,625,597,484,987 tingkat}}\end{matrix}}}$

Notasi

Terdapat notasi versi simpel yang lebih pendek, dengan menggunakan $a\uparrow ^{n}b$, contohnya $a\uparrow ^{4}b=a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=H_{6}(a,b)$. Tapi perlu diingat bentuk ini tidak sama dengan notasi hiperoperasi, misalnya dalam hiperoperasi contoh tersebut seharusnya bernama tetrasi karena n-nya adalah empat, bukan heksasi yang n-nya enam. Dalam hiperoperasi notasi tersebut berbentuk $a\uparrow ^{n-2}b$, contohnya $a\uparrow ^{5}b=a\uparrow \uparrow \uparrow b=H_{7}(a,b)$, dan diberinama pentasi sesuai dengan n-nya yaitu lima.

Notasi anak panah dipilih karena beberapa hal seperti bahasa pemrograman dan e-mail berupa teks tidak mendukung simbol pangkat. Jika suatu pengodean karakter tidak memiliki simbol anak panah dapat digunakan simbol "caret" atau Superskrip (^).

Notasi alternatif lainnya adalah notasi anak panah berantai yang diciptakan John Horton Conway dan digunakan untuk melambangkan angka yang sangat besar, lebih besar dari notasi Knuth:

$a\uparrow ^{n}b=a\rightarrow b\rightarrow n$

Merepresentasi notasi anak panah knuth dalam bentuk menara daya

Menuliskan $a\uparrow \uparrow b$ akan menghasilkan menara daya, atau tetrasi yang berarti a pangkat a sebanyak b kali.

${\displaystyle a\uparrow \uparrow 4=a\uparrow (a\uparrow (a\uparrow a))=a^{a^{a^{a}}}}$

Menambahkan satu anak panah lagi akan menghasilkan menara daya bertumpuk yang menunjukkan jumlah anak panah untuk ingkat yang lebih tinggi diatasnya.

${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow a))=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{a}}}}$

Melanjutkan dari notasi ini, $a\uparrow \uparrow \uparrow b$ bisa digambar dengan titik diantara menara dengan informasi tambahan mengenai berapa jumlah tingkat menara yang sisigkat menjadi titik.

${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}b}$

Lebih-lebih lagi, anak panah 4. $a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b$ dapat ditulis dengan menumpuk menara anak panah tripel sebanyak b kali.

${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow a))=\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}a}$

Dan lebih lanjut lagi secara umum:

${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\cdots \right\}a} _{b}}$

Cara ini dapat terus dilakukan untuk merepresentasi $(a\uparrow )^{n}b$ sebagai eksponenisasi iterasi dari eksponenisasi untuk a,b dan n. Meskipun ini akan semakin sulit dilakukan.

Pranala luar

• Weisstein, Eric W. "Arrow Notation". MathWorld. 
• Robert Munafo, Large Numbers