$e$ (konstanta matematika)

Bilangan $e$ (atau, disebut juga sebagai bilangan Euler) adalah konstanta matematika yang di mana aproksimasi nilainya sama dengan 2,71828 dan dikarakterisasi dalam berbagai cara. Bilangan ini termasuk basis dari logaritma alami.^[1]^[2] Bilangan ini adalah limit dari $(1+1/n)^{n}$ dengan $n$ yang mendekati nilai tak hingga, ekspresi yang muncul dalam studi bunga majemuk. Bilangan ini dihitung sebagai jumlah dari deret tak hingga berikut:^[3]^[4]

e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots

Bilangan ini juga merupakan bilangan positif unik $a$ sehingga grafik fungsi $y=a^{x}$ memiliki kemiringan dari 1 pada $x=0$ .^[5]

Fungsi eksponensial alami $f(x)=e^{x}$ adalah fungsi unik $f$ sama dengan turunan-diri dan memenuhi persamaan $f''(0)=1$ ; artinya $e$ juga dapat didefinisikan sebagai $f(1)$ . Logaritma alami atau logaritma dengan basis $e$ , adalah fungsi invers pada fungsi eksponensial alami. Logaritma alami suatu bilangan $k>1$ didefinisikan secara langsung sebagai luas bawah kurva $y=1/x$ antara $x=1$ dan $x=k$ , dalam hal ini $e$ adalah nilai $k$ yang luasnya sama dengan satu (lihat gambar diatas).

$e$ kadang-kadang disebut bilangan Euler, sesuai dengan metematikawan asal Swiss Leonhard Euler (jangan keliru dengan $\gamma$ , konstanta Euler–Mascheroni, terkadang disebut juga sebagai konstanta Euler), atau konstanta Napier.^[4] Namun, pilihan Euler atas simbol $e$ dikatakan sudah dipertahankan untuk menghormatinya.^[6] Konstanta ini ditemukan oleh matematikawan Swiss Jacob Bernoulli saat mempelajari bunga majemuk.^[7]^[8]

Bilangan $e$ sangat penting digunakan dalam bidang matematika,^[9] disamping 0, 1, $\pi$ , dan $\mathrm {i}$ . Kelimanya muncul dalam satu formulasi identitas Euler, dan memainkan peran penting dan berulang di seluruh bidang matematika.^[10]^[11] Seperti konstanta $\pi$ , $e$ adalah irasional (yaitu, tidak dapat direpresentasikan sebagai rasio bilangan bulat) dan transendental (yaitu bukan akar dari polinomial bukan nol dengan koefisien rasional).^[4] Untuk 50 tempat desimal nilai $e$ adalah:

2.71828182845904523536028747135266249775724709369995... (barisan A001113 pada OEIS).

Sejarah

Referensi pertama untuk konstanta $e$ diterbitkan pada tahun 1618 dalam tabel lampiran dari karya tentang logaritma oleh John Napier.^[8] Namun, tabel tersebut tidak berisi konstanta itu sendiri, tetapi hanya daftar logaritma yang dihitung dari konstanta $e$ . Diasumsikan bahwa tabel tersebut ditulis oleh William Oughtred.

Penemuan konstanta itu sendiri dikreditkan ke Jacob Bernoulli pada tahun 1683,^[12]^[13] yang mencoba mencari nilai dari ekspresi berikut (yang sama dengan $e$ ):

\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.

Penggunaan konstanta yang diketahui pertama kali, diawali oleh huruf $b$ adalah dalam korespondensi dari Gottfried Leibniz hingga Christiaan Huygens pada tahun 1690 dan 1691.^[14] Leonhard Euler memperkenalkan huruf $e$ sebagai dasar untuk logaritma alami, ditulis dalam surat kepada Christian Goldbach pada tanggal 25 November 1731.^[15]^[16] Euler mulai menggunakan huruf $e$ untuk konstanta ini pada tahun 1727 atau 1728, dalam sebuah makalah yang tidak diterbitkan tentang kekuatan ledakan dalam meriam,^[17] sedangkan perkenalan pertama $e$ dalam sebuah publikasi adalah Mechanica Euler (1736).^[18] Meskipun beberapa peneliti menggunakan huruf $c$ pada tahun-tahun berikutnya, huruf $e$ lebih umum dan akhirnya menjadi standar.^{[butuh rujukan]}

Dalam matematika, standar penulisannya adalah mengatur konstanta sebagai " $e$ " yang ditulis dalam huruf miring; standar ISO 80000-2:2019 merekomendasikan penulisan konstanta ini dengan pengaturan huruf dalam gaya tegak, tetapi ini belum divalidasikan oleh komunitas ilmiah.^{[butuh rujukan]}

Aplikasi

Bunga majemuk

Pengaruh memperoleh bunga tahunan 20% pada sebuah awal $1,000 investasi pada berbagai frekuensi penggabungan

Jacob Bernoulli menemukan konstanta ini pada tahun 1683, ketika mempelajari pertanyaan tentang bunga majemuk:^[8]

Sebuah akun dimulai dengan $1,00 dan membayar bunga 100 persen per tahun. Jika bunga dikreditkan sekali, pada akhir tahun, nilai akun di akhir tahun adalah $2,00. Apa yang terjadi jika bunga dihitung dan dikreditkan lebih sering sepanjang tahun?

Jika bunga dikreditkan dua kali dalam setahun, tingkat bunga untuk setiap 6 bulan akan menjadi 50%, jadi $ 1 awal dikalikan 1,5 dua kali, menghasilkan $1.00 × 1.5² = $2.25 di akhir tahun. Bunga hasil kuartalan $1.00 × 1.25⁴ = $2.4414..., dan penggabungan hasil bunga bulanan $1.00 × (1 + 1/12)¹² = $2.613035… Bila ada $n$ interval majemuk, bunga untuk setiap interval akan $100%/ n$ dan nilainya pada akhir tahun akan menjadi $1.00 × $(1 + 1/ n) n$ .

Bernoulli memperhatikan bahwa urutan ini mendekati batas (kekuatan minat) dengan nilai $n$ yang lebih besar dan, dengan demikian, interval penggabungan yang lebih kecil. Penggunaan bunga mingguan ( $n = 52$ ) menghasilkan $ 2,692597 ..., sementara penggunaan bunga uang harian ( $n = 365$ ) menghasilkan $ 2,714567 ... (sekitar dua sen lebih). Batasnya sebagai $n$ tumbuh besar adalah jumlah yang kemudian dikenal sebagai $e$ . Artinya, dengan penggabungan kontinu, nilai akun akan mencapai $2.7182818...

Secara lebih umum, akun yang dimulai dari $ 1 dan menawarkan tingkat bunga tahunan sebesar $R$ , setelah itu $t$ tahun, hasil dari $e Rt$ dolar dengan penambahan bunga terus-menerus.

(Perhatikan di sini karena $R$ adalah desimal yang setara dengan suku bunga yang dinyatakan sebagai persentase, jadi untuk bunga 5%, $R = 5/100 = 0.05$ .)

Percobaan-percobaan Bernoulli

Grafik probabilitas P jika not mengamati peristiwa independen masing-masing probabilitas 1/n sesudah n Pengadilan Bernoulli, dan 1 − P vs n ; dapat diamati bahwa ketika n meningkat, probabilitas 1/n peristiwa kebetulan tidak pernah muncul setelah n mencoba dengan cepat menyatu dengan 1/e.

Bilangan dari $e$ itu sendiri juga memiliki aplikasi dalam teori probabilitas, dengan cara yang tidak jelas terkait dengan pertumbuhan eksponensial:

{\binom {10^{6}}{k}}\left(10^{-6}\right)^{k}\left(1-10^{-6}\right)^{10^{6}-k}.

Secara khusus, kemungkinan hadil nol kali ( $k = 0$ ) adalah

\left(1-{\frac {1}{10^{6}}}\right)^{10^{6}}.

yang sangat mendekati batas

\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}={\frac {1}{e}}.

Distribusi normal standar

Distribusi normal dengan rata-rata nol dan deviasi standar satuan dikenal sebagai distribusi normal standar, diberikan oleh fungsi kepadatan probabilitas

\phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.

Batasan varian unit (dan juga deviasi standar unit) menghasilkan 12 dalam eksponen, dan batasan luas total unit di bawah kurva $\phi (x)$ menghasilkan faktor $\textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}$ .^[bukti] Fungsi ini simetris $x = 0$ , di mana ia mencapai nilai maksimumnya $\textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}$ , dan memiliki titik belok di $x = \pm1$ .

Kekacauan

Aplikasi lain dari $e$ , juga ditemukan sebagian oleh Jacob Bernoulli bersama dengan Pierre Raymond de Montmort, Ada dalam masalah kekacauan, juga dikenal sebagai masalah cek topi:^[19] $n$ tamu diundang ke pesta, dan di depan pintu, semua tamu memeriksa topi mereka dengan kepala pelayan, yang pada gilirannya menempatkan topi ke dalam $n$ kotak, masing-masing diberi label dengan nama satu tamu. Tapi kepala pelayan belum menanyakan identitas para tamu, jadi dia menempatkan topi ke dalam kotak yang dipilih secara acak. Masalah de Montmort adalah menemukan probabilitas bahwa tidak ada topi yang dimasukkan ke kotak yang tepat. Probabilitas ini, dilambangkan dengan $p_{n}\!$ , didefinisikan sebagai:

p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.

Dengan $n$ sebagai nilai jumlah tamu cenderung tak terbatas, nilai $p n$ akan semakin mendekati $1 / e$ . Selanjutnya, banyaknya cara penempatan topi ke dalam kotak sehingga tidak ada topi yang berada di kotak yang tepat adalah $n!/ e$ (dibulatkan ke bilangan bulat terdekat untuk setiap bilangan positif $n$ ).^[20]

Masalah perencanaan yang optimal

Nilai maksimum dari ${\textstyle {\sqrt[{x}]{x}}}$ dapat diperoleh saat ${\textstyle x=e}$ . Selain itu, untuk nilai basis ${\textstyle b>1}$ , nilai maksimum dari ${\textstyle {\frac {1}{x}}\log _{b}{x}}$ diperoleh saat ${\textstyle x=e}$ (Permasalahan Steiner).

Dalam permasalahan lain, sebatang blok dengan panjang $L$ dipecah menjadi $n$ bagian yang sama. Nilai dari $n$ yang memaksimalkan produk dari panjang adalah:^[21]

n=\left\lfloor {\frac {L}{e}}\right\rfloor

atau

\left\lfloor {\frac {L}{e}}\right\rfloor

Asimtotik

Angka $e$ terjadi secara alami sehubungan dengan banyak masalah yang melibatkan asimtotik. Contohnya adalah Rumus Stirling untuk asimtotik dari fungsi faktorial, di mana kedua bilangan tersebut $e$ dan $π$ muncul:

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.

Sebagai konsekuensi,

e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.

Lihat pula

Referensi

^ Swokowski, Earl William (1979). Calculus with Analytic Geometry (edisi ke-illustrated). Taylor & Francis. hlm. 370. ISBN 978-0-87150-268-1. Extract of page 370
^ "e - Euler's number". www.mathsisfun.com. Diakses tanggal 2020-08-10.
^ Encyclopedic Dictionary of Mathematics 142.D
^ ^a ^b ^c Weisstein, Eric W. "e". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-10.
^ Marsden, Jerrold; Weinstein, Alan (1985). Calculus I (edisi ke-2nd). Springer. hlm. 319. ISBN 0-387-90974-5.
^ Sondow, Jonathan. "e". Wolfram Mathworld. Wolfram Research. Diakses tanggal 10 May 2011.
^ Pickover, Clifford A. (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics (edisi ke-illustrated). Sterling Publishing Company. hlm. 166. ISBN 978-1-4027-5796-9. Extract of page 166
^ ^a ^b ^c O'Connor, J J; Robertson, E F. "The number e". MacTutor History of Mathematics.
^ Howard Whitley Eves (1969). An Introduction to the History of Mathematics . Holt, Rinehart & Winston. ISBN 978-0-03-029558-4.
^ Wilson, Robinn (2018). Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics (edisi ke-illustrated). Oxford University Press. hlm. (preface). ISBN 9780192514059.
^ Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2004). Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number (edisi ke-illustrated). Prometheus Books. hlm. 68. ISBN 9781591022008.
^ Jacob Bernoulli mempertimbangkan masalah peracikan bunga yang terus-menerus, yang menyebabkan ekspresi seri untuk e. Lihat: Jacob Bernoulli (1690) "Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685" (Beberapa pertanyaan tentang minat, dengan solusi masalah tentang permainan peluang, diusulkan dalam Journal des Savants (Ephemerides Eruditorum Gallicanæ), pada tahun (anno) 1685.**), Acta eruditorum, hal 219–23. On page 222, Bernoulli poses the question: "Alterius naturæ hoc Problema est: Quæritur, si creditor aliquis pecuniæ summam fænori exponat, ea lege, ut singulis momentis pars proportionalis usuræ annuæ sorti annumeretur; quantum ipsi finito anno debeatur?" (Ini adalah masalah jenis lain: Pertanyaannya adalah, jika beberapa pemberi pinjaman menginvestasikan [sebuah] sejumlah uang [dengan] bunga, biarlah itu menumpuk, sehingga setiap saat menerima bagian proporsional dari bunga tahunannya; berapa dia akan terutang [pada] akhir tahun?) Bernoulli menyusun deret pangkat untuk menghitung jawabannya, dan kemudian menulis: " … quæ nostra serie [ekspresi matematika untuk deret geometri] &c. major est. … si a=b, debebitur plu quam 2½a & minus quam 3a." (… yang deret kami [deret geometri] lebih besar [dari]. … jika a=b, [pemberi pinjaman] akan berutang lebih dari 2½a dan kurang dari 3a.) Jika a=b, deret geometri direduksi menjadi deret untuk a × e, jadi 2.5 < e < 3. (** Referensinya adalah pada masalah yang diajukan oleh Jacob Bernoulli dan yang muncul dalam "Journal des Sçavans" tahun 1685 di bagian bawah page 314.)
^ Carl Boyer; Uta Merzbach (1991). A History of Mathematics (edisi ke-2nd). Wiley. hlm. 419. ISBN 9780471543978.
^ Leibniz, Gottfried Wilhelm (2003). "Sämliche Schriften Und Briefe" (PDF) (dalam bahasa Jerman). look for example letter nr. 6
^ Lettre XV. Euler à Goldbach, dated November 25, 1731 in: P.H. Fuss, ed., Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle … (Korespondensi matematis dan fisik dari beberapa ahli geometri terkenal abad ke-18), vol. 1, (St. Petersburg, Rusia: 1843), hal 56–60, lihat terutama p. 58. From p. 58: " … (e denotat hic numerum, cujus logarithmus hyperbolicus est = 1), … " (… (e menunjukkan bilangan yang logaritma hiperboliknya [yaitu, alami] sama dengan 1) …)
^ Remmert, Reinhold (1991). Theory of Complex Functions. Springer-Verlag. hlm. 136. ISBN 978-0-387-97195-7.
^ Euler, Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta. Scribatur pro numero cujus logarithmus est unitas, e, qui est 2,7182817… (Bahasa Indonesia: Ditulis untuk bilangan yang satuan logaritmanya e yaitu 2,7182817...")
^ Leonhard Euler, Mechanica, sive Motus scientia analytice exposita (St. Petersburg (Petropoli), Rusia: Akademi Ilmu Pengetahuan, 1736), vol. 1, Bab 2, Bagian 11, paragraf 171, hal. 68. Dari halaman 68: Erit enim ${\frac {dc}{c}}={\frac {dyds}{rdx}}$ seu $c=e^{\int {\frac {dyds}{rdx}}}$ ubi e denotat numerum, cuius logarithmus hyperbolicus est 1. (Jadi [yaitu, c adalah kecepatannya] sebagai ${\frac {dc}{c}}={\frac {dyds}{rdx}}$ or $c=e^{\int {\frac {dyds}{rdx}}}$ , di mana e menunjukkan bilangan yang logaritma hiperboliknya [yaitu, alami] adalah 1.)
^ Grinstead, C.M. dan Snell, J.L.Introduction to probability theory Diarsipkan 2011-07-27 di Wayback Machine. (diterbitkan secara online di bawah GFDL), p. 85.
^ Knuth (1997) Seni Pemrograman Komputer Volume I, Addison-Wesley, p. 183 ISBN 0-201-03801-3.
^ Steven Finch (2003). Konstanta matematika . Cambridge University Press. hlm. 14.

[1] Swokowski, Earl William (1979). Calculus with Analytic Geometry (edisi ke-illustrated). Taylor & Francis. hlm. 370. ISBN 978-0-87150-268-1. Extract of page 370

[2] "e - Euler's number". www.mathsisfun.com. Diakses tanggal 2020-08-10.

[3] Encyclopedic Dictionary of Mathematics 142.D

[:1-4] Weisstein, Eric W. "e". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-10.

[5] Marsden, Jerrold; Weinstein, Alan (1985). Calculus I (edisi ke-2nd). Springer. hlm. 319. ISBN 0-387-90974-5.

[mathworld-6] Sondow, Jonathan. "e". Wolfram Mathworld. Wolfram Research. Diakses tanggal 10 May 2011.

[Pickover-7] Pickover, Clifford A. (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics (edisi ke-illustrated). Sterling Publishing Company. hlm. 166. ISBN 978-1-4027-5796-9. Extract of page 166

[OConnor-8] O'Connor, J J; Robertson, E F. "The number e". MacTutor History of Mathematics.

[9] Howard Whitley Eves (1969). An Introduction to the History of Mathematics . Holt, Rinehart & Winston. ISBN 978-0-03-029558-4.

[10] Wilson, Robinn (2018). Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics (edisi ke-illustrated). Oxford University Press. hlm. (preface). ISBN 9780192514059.

[11] Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2004). Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number (edisi ke-illustrated). Prometheus Books. hlm. 68. ISBN 9781591022008.

[Bernoulli,_1690-12] Jacob Bernoulli mempertimbangkan masalah peracikan bunga yang terus-menerus, yang menyebabkan ekspresi seri untuk e. Lihat: Jacob Bernoulli (1690) "Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685" (Beberapa pertanyaan tentang minat, dengan solusi masalah tentang permainan peluang, diusulkan dalam Journal des Savants (Ephemerides Eruditorum Gallicanæ), pada tahun (anno) 1685.**), Acta eruditorum, hal 219–23. On page 222, Bernoulli poses the question: "Alterius naturæ hoc Problema est: Quæritur, si creditor aliquis pecuniæ summam fænori exponat, ea lege, ut singulis momentis pars proportionalis usuræ annuæ sorti annumeretur; quantum ipsi finito anno debeatur?" (Ini adalah masalah jenis lain: Pertanyaannya adalah, jika beberapa pemberi pinjaman menginvestasikan [sebuah] sejumlah uang [dengan] bunga, biarlah itu menumpuk, sehingga setiap saat menerima bagian proporsional dari bunga tahunannya; berapa dia akan terutang [pada] akhir tahun?) Bernoulli menyusun deret pangkat untuk menghitung jawabannya, dan kemudian menulis: " … quæ nostra serie [ekspresi matematika untuk deret geometri] &c. major est. … si a=b, debebitur plu quam 2½a & minus quam 3a." (… yang deret kami [deret geometri] lebih besar [dari]. … jika a=b, [pemberi pinjaman] akan berutang lebih dari 2½a dan kurang dari 3a.) Jika a=b, deret geometri direduksi menjadi deret untuk a × e, jadi 2.5 < e < 3. (** Referensinya adalah pada masalah yang diajukan oleh Jacob Bernoulli dan yang muncul dalam "Journal des Sçavans" tahun 1685 di bagian bawah page 314.)

[13] Carl Boyer; Uta Merzbach (1991). A History of Mathematics (edisi ke-2nd). Wiley. hlm. 419. ISBN 9780471543978.

[14] Leibniz, Gottfried Wilhelm (2003). "Sämliche Schriften Und Briefe" (PDF) (dalam bahasa Jerman). look for example letter nr. 6

[15] Lettre XV. Euler à Goldbach, dated November 25, 1731 in: P.H. Fuss, ed., Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle … (Korespondensi matematis dan fisik dari beberapa ahli geometri terkenal abad ke-18), vol. 1, (St. Petersburg, Rusia: 1843), hal 56–60, lihat terutama p. 58. From p. 58: " … (e denotat hic numerum, cujus logarithmus hyperbolicus est = 1), … " (… (e menunjukkan bilangan yang logaritma hiperboliknya [yaitu, alami] sama dengan 1) …)

[16] Remmert, Reinhold (1991). Theory of Complex Functions. Springer-Verlag. hlm. 136. ISBN 978-0-387-97195-7.

[Meditatio-17] Euler, Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta. Scribatur pro numero cujus logarithmus est unitas, e, qui est 2,7182817… (Bahasa Indonesia: Ditulis untuk bilangan yang satuan logaritmanya e yaitu 2,7182817...")

[18] Leonhard Euler, Mechanica, sive Motus scientia analytice exposita (St. Petersburg (Petropoli), Rusia: Akademi Ilmu Pengetahuan, 1736), vol. 1, Bab 2, Bagian 11, paragraf 171, hal. 68. Dari halaman 68: Erit enim ${\frac {dc}{c}}={\frac {dyds}{rdx}}$ seu $c=e^{\int {\frac {dyds}{rdx}}}$ ubi e denotat numerum, cuius logarithmus hyperbolicus est 1. (Jadi [yaitu, c adalah kecepatannya] sebagai ${\frac {dc}{c}}={\frac {dyds}{rdx}}$ or $c=e^{\int {\frac {dyds}{rdx}}}$ , di mana e menunjukkan bilangan yang logaritma hiperboliknya [yaitu, alami] adalah 1.)

[19] Grinstead, C.M. dan Snell, J.L.Introduction to probability theory Diarsipkan 2011-07-27 di Wayback Machine. (diterbitkan secara online di bawah GFDL), p. 85.

[20] Knuth (1997) Seni Pemrograman Komputer Volume I, Addison-Wesley, p. 183 ISBN 0-201-03801-3.

[21] Steven Finch (2003). Konstanta matematika . Cambridge University Press. hlm. 14.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

e (konstanta matematika)