The Sand Reckoner

The Sand Reckoner (bahasa Yunani: Ψαμμίτης, Psammites /psa'mitis/) adalah sebuah karya dari Archimedes, seorang matematikawan terkenal dari Yunani Kuno pada abad ke-3 SM. Dalam karya ini Archimedes berusaha memperkirakan dan menentukan batas atas untuk jumlah butiran pasir yang dibutuhkan untuk mengisi alam semesta. Untuk melakukan ini, Archimedes memperkirakan ukuran alam semesta berdasarkan model kontemporer pada masanya, dan menemukan cara untuk menghitung jumlah yang sangat besar.

The Sand Reckoner (Arenarius)

Pengarang	Archimedes
Bahasa	Latin
Genre	Googologi, Astronomi

Karya yang juga dikenal dalam bahasa Latin sebagai Arenarius ini memiliki panjang sekitar delapan halaman dalam bentuk terjemahan dan ditujukan kepada Raja Sirakusa, Gelo II (putra Hiero II). Karya ini dianggap sebagai karya Archimedes yang paling mudah diakses.

Sistem bilangan besar pertama

Periode and orde dengan intervalnya dalam notasi zaman sekarang.
Periode	Orde	Interval	log10 dari interval
1	1	(1, Ơ], dimana unit dari orde keduaberupa, Ơ = 108	(0, 8]
	2	(Ơ, Ơ2]	(8, 16]
	⋅⋅⋅
	k	(Ơk − 1, Ơk]	(8k − 8, 8k]
	⋅⋅⋅
	Ơ	(ƠƠ − 1, Ƥ], yang mana unit dari periode kedua berupa, Ƥ = ƠƠ = 108×108	(8×108 − 8, 8×108] = (799,999,992, 800.000.000]
2	1	(Ƥ, ƤƠ]	(8×108, 8 × (108 + 1)] = (800.000.000. 800.000.008]
	2	(ƤƠ, ƤƠ2]	(8 × (108 + 1), 8 × (108 + 2)]
	⋅⋅⋅
	k	(ƤƠk − 1, ƤƠk]	(8 × (108 + k − 1), 8 × (108 + k)]
	⋅⋅⋅
	Ơ	(ƤƠƠ − 1, ƤƠƠ] = (Ƥ2Ơ−1, Ƥ2]	(8 × (2×108 − 1), 8 × (2×108)] = (1.6×109 − 8, 1.6×109] = (1.599.999.992. 1.600.000.000]
⋅⋅⋅
Ơ	1	(ƤƠ − 1, ƤƠ − 1Ơ]	(8×108 × (108 − 1),  8 × (108 × (108 − 1) + 1)] = (79.999.999.200.000.000.     79.999.999.200.000.008]
	2	(ƤƠ − 1Ơ, ƤƠ − 1Ơ2]	(8 × (108 × (108 − 1) + 1),   8 × (108 × (108 − 1) + 2)]
	⋅⋅⋅
	k	(ƤƠ − 1Ơk − 1, ƤƠ − 1Ơk]	(8 × (108 × (108 − 1) + k − 1), 8 × (108 × (108 − 1) + k)]
	⋅⋅⋅
	Ơ	(ƤƠ − 1ƠƠ − 1, ƤƠ − 1ƠƠ] = (ƤƠƠ−1, ƤƠ]	(8 × (2×108 − 1), 8 × (2×108)] = (8×1016 − 8, 8×1016] = (79.999.999.999.999.992.     80.000.000.000.000.000]

Archimedes menciptakan sistem baru untuk mendapatkan bilangan besarnya sendiri pada Abad ke-3 SM. Pada saat itu sistem bilangan yang digunakan oleh peradaban Yunani Kuno hanya mencapai satu Myriad, atau 10.000 saja. Menggunakan bilangan myriad yang setara dengan $10^{4}$ ini, seseorang dapat mendapatkan bilangan yang lebih besar dengan cara mengalikan bilangan myriad dengan myriad itu sendiri $(10^{4}\times 10^{4}=10^{8})$, Yang akan menghasilkan bilangan 10.000.000 atau bisa disebut dengan Myriad-myriad.

Archimedes menyebut bilangan dibawah $10^{8}$ sebagai bilangan "orde pertama", orde pertama ini juga disebut sebagai "satuan orde kedua" . Kelipatan dari satuan orde kedua$(10^{8})$ ini kemudian dikalikan dengan dirinya sendiri$(10^{8}\times 10^{8}=10^{16})$ hingga menghasilkan "orde kedua". Setelah mengalikan satuan orde kedua dengan dirinya sendiri, bilangan ini disebut sebagai "orde kedua" atau “satuan orde ketiga”$(10^{16})$ yang kelipatan dari dirinya dendiri adalah orde ketiga. Metode multiplikasi orde tertentu dengan dirinya sendiri ini dilakukan terus-menerus hingga mendapatkan satuan orde ke-10.000, yaitu $(10^{8})^{(10^{8})}$.

Setelah melakukan hal ini, Archimedes menyebut orde yang telah ia definisikan ini sebagai "orde periode pertama", dan menyebut orde terakhir dari periode ini, $(10^{8})^{(10^{8})}$ sebagai "unit periode kedua". Dia kemudian menyusun orde periode kedua dengan mengambil kelipatan unit ini dengan metode yang sama dengan metode penyusunan orde periode pertama. Dengan melanjutkan prosedur ini, dia akhirnya sampai pada orde periode ke-myriad-myriad. Angka terbesar yang disebutkan oleh Archimedes adalah angka terakhir dalam periode ini, yaitu $((10^{8})^{(10^{8})})^{(10^{8})}=10^{8\times 10^{16}}$.

Cara lain untuk mendeskripsikan angka ini adalah angka satu yang diikuti oleh (skala pendek) delapan puluh kuadriliun angka nol. atau dapat juga divisualisasikan dengan cara ini $\displaystyle {\underbrace {100\cdots 000} _{(8\times 10^{15})}}$.

Sistem ciptaan Archimedes mengingatkan kita pada sistem angka posisional dengan basis $10^{8}$^, yang luar biasa karena orang Yunani kuno menggunakan sistem yang sangat sederhana untuk menulis angka , yang menggunakan 27 huruf alfabet yang berbeda untuk satuan 1 hingga 9, puluhan 10 hingga 90, dan ratusan 100 hingga 900.