Penjumlahan Borel

Borel yang masih muda menemukan metode penjumlahan yang dapat menjumlahkan dengan benar sebagian besar deret divergen pada saat itu. Oleh karena penemuannya, ia memutuskan untuk pergi ke Kota Stockholm untuk menemui Mittag-Leffler. Mittag sendiri pada saat itu dijuluki sebagai mahadewa analisis kompleks. Saat Borel menemuinya, Mittag-Leffler menjadi pendengar yang baik. Ia mempersilahkan Borel menjelaskan penemuannya. Selesai mendengarkan penjelasan Borel, Mittag menaruh tangannya dengan penuh keseriusan pada sebuah buku matematika karya Weierstrass, gurunya. Kemudian, ia berucap dalam bahasa Latin, 'Dewaku dan jiwa yang fana ini menyetujui'.

Mark Kac, dikutip oleh (Reed & Simon 1978, hlm. 38)

Dalam matematika, penjumlahan Borel adalah metode penjumlahan untuk menentukan nilai deret-deret divergen. Nama penjumlahan ini diambil dari Émile Borel. Ia pertama kali memperkenalkan metode ini pada tahun 1899. Metode ini berguna dalam menjumlahkan deret divergen yang asimtot. Bahkan, metode ini merupakan cara yang paling baik dalam menjumlahkan deret-deret tersebut. Ada banyak ragam atas metode ini yang memiliki nama yang sama. Untuk perluasannya, dinamakan penjumlahan Mittag-Leffler.

Definisi

Setidaknya, ada tiga bentuk penjumlahan yang memiliki nama Borel. Ketiga metode tersebut memiliki bentuk deret tersendiri yang dapat dijumlahkan. Akan tetapi, ketiga metode tersebut tetap konsisten. Dalam artian lain, ketika metode-metode tersebut menjumlahkan deret yang sama hasilnya juga akan sama.

Untuk menyatakannya, jadikan A(z) sebagai notasi deret pangkat

$A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k},$

Setelah itu, definisikan transformasi Borel dari A sebagai deret eksponensialnya

${\mathcal {B}}A(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}t^{k}.$

Referensi

• Borel, E. (1899), "Mémoire sur les séries divergentes", Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Seri 3, 16: 9–131, doi:10.24033/asens.463