Persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah

$y=ax^{2}+bx+c\,\!$

dengan

$a\neq 0\,\!$

Huruf-huruf a, b dan c disebut sebagai koefisien: koefisien kuadrat a adalah koefisien dari $x^{2}$, koefisien linier b adalah koefisien dari x, dan c adalah koefisien konstan atau disebut juga suku bebas.

Arti nilai a, b, dan c

Variasi nilai a

Variasi nilai b

Variasi nilai c

Nilai-nilai a, b dan c menentukan bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.

• a menentukan seberapa cekung/cembung parabola yang dibentuk oleh fungsi kuadrat. Nilai a > 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke atas, sedangkan nilai a < 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke bawah.
• b menentukan kira-kira posisi x puncak parabola, atau sumbu simetri cermin dari kurva yang dibentuk. Posisi tepatnya adalah -b/2a.
• c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk dengan sumbu y atau saat x = 0.

Ilustrasi grafik-grafik persamaan kuadrat dengan berbagai variasi nilai a. b dan c dapat dilihat pada gambar di di atas.

Rumus Kuadratis (Rumus abc)

y = 0.75 (x + 3.333) (x - 6-000)

Rumus kuadratis dikenal pula dengan nama 'rumus abc karena digunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud memiliki bentuk

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Rumus ini digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa

$y=0\,\!$.

Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam bentuk

$y=ax^{2}+bx+c\,\!$

dapat dituliskan menjadi

$y=a(x-x_{1})(x-x_{2})\,\!$.

Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang telah umum dikenal, yaitu

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}\,\!$

dan

$x_{1}\cdot x_{2}={\frac {c}{a}}\,\!$.

Ilustrasi dapat dilihat pada gambar.

Pembuktian rumus kuadrat

Dari bentuk umum persamaan kuadrat,

$ax^{2}+bx+c=0\,\!$

bagi kedua ruas untuk mendapatkan $a=1$

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0,\,\!$

Pindahkan ${\frac {c}{a}}$ ke ruas kanan

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}\,\!$

sehingga teknik melengkapkan kuadrat bisa digunakan di ruas kiri.

$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}=-{\frac {c}{a}}\,\!$

Pindahkan $-{\frac {b^{2}}{4ac}}$ ke ruas kanan

$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}\,\!$

lalu samakan penyebut di ruas kanan.

$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\,\!$

Kedua ruas diakar (dipangkatkan setengah), sehingga tanda kuadrat di ruas kiri hilang, dan muncul tanda plus-minus di ruas kanan.

$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}$

Pindahkan $-{\frac {b}{2a}}$ ke ruas kanan

$x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}$

sehingga didapat rumus kuadrat

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$

Diskriminan/determinan

Akar-akar dan nilai D.

Dalam rumus kuadrat di atas, terdapat istilah yang berada dalam tanda akar:

$b^{2}-4ac,\,\!$

yang disebut sebagai diskriminan atau juga sering disebut determinan suatu persamaan kuadrat. Kadang dituliskan sebagai D.

Suatu persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat memiliki hanya sebuah akar atau dua buah akar yang berbeda, di mana akar-akar yang dimaksud dapat berbentuk bilangan riil atau kompleks. Dalam hal ini dikriminan menentukan jumlah dan sifat dari akar-akar persamaan kuadrat. Terdapat tiga kasus yang mungkin:

• Jika diskriminan bersifat positif, akan terdapat dua akar berbeda yang kedua-duanya merupakan bilangan riil. Untuk persamaan kuadrat dengan koefisien berupa bilangan bulat, apabila diskriminan merupakan suatu kuadrat sempurna, maka akar-akarnya merupakan bilangan rasional -- sebaliknya dapat pula merupakan bilangan irrasional kuadrat.

• Jika diskriminan bernilai nol, terdapat eksak satu akar, dan akar yang dimaksud merupakan bilangan riil. Hal ini kadang disebut sebagai akar ganda, di mana nilainya adalah:

$x=-{\frac {b}{2a}}.\,\!$

• Jika diskriminan bernilai negatif, tidak terdapat akar riil. Sebagai gantinya, terdapat dua buah akar kompleks (tidak-real), yang satu sama lain merupakan konjugat kompleks:

$x_{+}={\frac {-b}{2a}}+i\left({\frac {\sqrt {4ac-b^{2}}}{2a}}\right)$

dan

$x_{-}={\frac {-b}{2a}}-i\left({\frac {\sqrt {4ac-b^{2}}}{2a}}\right)$

Jadi akar-akar akan berbeda, jika dan hanya jika diskriminan bernilai tidak sama dengan nol, dan akar-akar akan bersifat riil, jika dan hanya jika diskriminan bernilai tidak negatif.

Akar riil dan kompleks

Persamaan kuadrat dapat memiliki sebuah akar (akar ganda) atau dua buah akar yang berbeda, yang terakhir ini dapat bersifat riil atau kompleks bergantung dari nilai diskriminannya. Akar-akar persamaan kuadrat dapat pula dipandang sebagai titik potongnya dengan sumbu x atau garis y = 0.

Titik potong dengan garis y = d

Dengan cara pandang ini, rumus persamaan kuadrat dapat digunakan apabila diinginkan untuk mencari titik potong antara suatu persamaan kuadrat ($y_{1}=ax^{2}+bx+c\!$) dengan suatu garis mendatar ($y_{2}=d\!$). Hal ini dapat dilakukan dengan mengurangi persamaan kuadrat tersebut dengan persamaan garis yang titik potong antar keduanya ingin dicari dan menyamakannya dengan nol.

$\!$

Intepretasi yang sama pun berlaku, yaitu bila:

• diskriminan positif, terdapat dua titik potong antara $y_{1}\!$ dan $y_{2}\!$,
• diskriminan nol, terdapat hanya satu titik potong antara $y_{1}\!$ dan $y_{2}\!$, dan
• diskriminan negatif, tidak terdapat titik potong antara kedua kurva, $y_{1}\!$ dan $y_{2}\!$.

Nilai-nilai y

Akar-akar suatu persamaan kuadrat menentukan rentang x di mana nilai-nilai y berharga positif atau negatif. Harga-harga ini ditentukan pul

1. REDIRECT [[
2. REDIRECT Nama halaman tujuan

]]

y_1 - y_2 = ax^2 + bx + c - d = 0a oleh nilai konstanta kuadrat a:

Harga-harga y

	$a>0\!$			$a<0\!$
	$x<x_{1}\!$	$x_{1}<x<x_{2}\!$	$x>x_{2}\!$	$x<x_{1}\!$	$x_{1}<x<x_{2}\!$	$x>x_{2}\!$
$D>0\!$	$y>0\!$	$y<0\!$	$y>0\!$	$y<0\!$	$y>0\!$	$y<0\!$
$D=0\!$	$y>0\!$	$-\!$	$y>0\!$	$y<0\!$	$-\!$	$y<0\!$
$D<0\!$	$y>0\!$	$-\!$	$y>0\!$	$y<0\!$	$-\!$	$y<0\!$

dengan $x_{1}<x_{2}\!$ merupakan akar-akar persamaan kuadrat. Dalam tabel di atas, apabila $x,x_{1},x_{2}\!$bersifat kompleks, maka yang dimaksud adalah $\Re \ x$ (nilai riil)-nya.

Geometri

Untuk fungsi kuadrat:
f(x) = x² − x − 2 = (x + 1)(x − 2), dengan variabel x adalah bilangan riil. koordinat-x dari titik-titik di mana kurva menyentuh sumbu-x, x = −1 dan x = 2, adalah akar-akar dari persamaan kuadrat : x² − x − 2 = 0.

Akar-akar dari persamaan kuadrat

$ax^{2}+bx+c=0,\,$

adalah juga pembuat nol dari fungsi kuadrat tersebut:

$f(x)=ax^{2}+bx+c,\,$

dikarenakan akar-akar tersebut merupakan nilai $x\,\!$ yang memberikan

$f(x)=0.\,$

Jika a, b, dan c adalah bilangan riil, dan domain dari $f\,\!$ adalah himpunan bilangan riil, maka pembuat nol dari $f\,\!$ adalah eksak koordinat-x di saat titik-titik tersebut menyentuh sumbu-x.

Mengikuti pernyataan di atas, bahwa jika diskriminan berharga positif, kurva persamaan kuadrat akan menyentuh sumbu-x pada dua buah titik (dua buah titik potong), jika berharga nol, akan menyentuh di satu titik dan jika berharga negatif, kurva tidak akan menyentuh sumbu-x.

Lihat pula

• persamaan pangkat tiga

Pranala luar

Persamaan kuadrat

• (Indonesia) Program untuk Mencari Akar Persamaan Kuadrat.
• (Indonesia) Menyelesaikan persamaan kuadrat.
• (Indonesia) Penentuan akar persamaan kuadrat (root finding). Di sini metode pencarian akar untuk fungsi yang lebih umum, bukan hanya persamaan kuadrat.
• (Indonesia) Menyusun persamaan kuadrat.
• (Indonesia) Contoh program Java menyelesaiakan persamaan kuadrat. Lihat bagian Langkah.
• (Indonesia) Saol latihan persamaan kuadrat.
• (Inggris) QuadraticEquation.
• (Inggris) Quadratic equation solver, plus solvers for cubic and quartic equations.
• (Inggris) Quadratic equation solver.
• (Inggris) Solve quadratic equations, see work shown and draw graphs.
• (Inggris) 101 uses of a quadratic equation part I Part II.
• (Inggris) Quadratic graphical explorer Applet interaktif. Ubah-ubah nilai a, b, c untuk melihat efeknya pada sebuah grafik.
• (Inggris) Kode FORTRAN untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

Pertidaksamaan kuadrat

• (Indonesia) Jenis-jenis pertidaksamaan
• (Indonesia) Aplikasi sederhana untuk memahami pertidaksamaan kuadrat