Fungsi partisi (mekanika statistika)

Fungsi partisi merupakan suatu fungsi yang menjelaskan sifat-sifat statistika suatu sistem dalam kesetimbangan termodinamika. Fungsi ini bergantung pada suhu dan parameter-parameter lainnya, seperti volum dan tekanan gas. Kebanyakan variabel-variabel termodinamika dari suatu sistem, seperti energi, energi bebas, entropi, dan tekanan dapat diekspresikan dalam bentuk fungsi partisi atau turunannya.

Terdapat beberapa jenis fungsi partisi, masing-masing berhubungan dengan jenis ensembel statistika atau energi bebas yang berbeda. Fungsi partisi kanonik diaplikasikan pada ensembel kanonik, dimana sistem dapat mempertukarkan panas dengan lingkungan pada suhu, volum, dan jumlah partikel tetap. Fungsi partisi kanonik agung diaplikasikan pada ensembel kanonik agung, dimana sistem dapat mempertukarkan panas maupun partikel dengan lingkungan pada suhu, volum, dan potensial kimia tetap. Jenis lain dari fungsi partisi dapat didefinisikan untuk masing-masing keadaan yang berbeda.

Fungsi partisi kanonik

Definisi

Sebagai asumsi awal, dibuat sebuah sistem yang besar secara termodinamika yang memiliki kontak yang konstan secara termal dengan lingkungan, dengan suhu T, serta dengan volum dan jumlah partikel tetap. Jenis sistem tersebut disebut ensembel kanonik. Mari kita tandai dengan  s  ( s = 1, 2, 3, ...) sebagai keadaan eksak (keadaan mikro) yang dapat terpenuhi oleh sistem. Energi total sistem ketika keadaan mikro s terpenuhi kita sebut sebagai  E_s . Secara umum, keadaan mikro dapat dikatakan analog dengan keadaan diskrit (kuantum) suatu sistem.

Fungsi partisi kanonik adalah

$Z=\sum _{s}e^{-\beta E_{s}}$ ,

dimana "suhu inversi", β, secara konvensional didefinisikan sebagai

$\beta \equiv {\frac {1}{k_{B}T}}$

dengan  k_B  sebagai tetapan Boltzmann.  exp(–β·E_s)  diketahui sebagai faktor Boltzmann. Pada sistem dengan berbagai keadaan kuantum  s  namun memiliki nilai  E_s  yang sama, dapat dikatakan bahwa tingkat energi sistem terdegenerasi. Pada kasus dimana tingkat-tingkat energi terdegenerasi, kita dapat menuliskan fungsi partisi dalam bentuk kontribusi dari tingkat-tingkat enrgi (ditandai dengan j) sebagai berikut:

$Z=\sum _{j}g_{j}\cdot e^{-\beta E_{j}}$ ,

dimana  g_j  merupakan faktor degenerasi, atau jumlah keadaan kuantum s yang memiliki tingkat energi sama,  E_j = E_s .

Perlakuan diatas dapat diaplikasikan pada mekanika statistika kuantum, dimana sistem fisis dalam sebuah kotak dengan ukuran terbatas akan memiliki himpunan keadaan eigen energi yang khas, yang mana dapat kita gunakan seperti keadaan s diatas. Dalam mekanika statistika klasik, belum tentu tepat jika kita mengekspresikan fungsi partisi sebagai jumlah dari keadaan-keadaan diskrit, seperti yang telah kita lakukan sebelumnya pada mekanika statistika kuantum. Dalam mekanika klasik, variabel-variabel posisi dan momentum suatu partikel dapat bervariasi secara kontinyu, jadi himpunan keadaan mikronya tak berhingga. Pada kasus ini kita harus menjelaskan fungsi partisi menggunakan suatu integral dibandingkan dengan cara penjumlahan. Sebagai contoh, fungsi partisi suatu gas dengan jumlah N partikel adalah

$Z={\frac {1}{N!h^{3N}}}\int \,\exp[-\beta H(p_{1}\cdots p_{N},x_{1}\cdots x_{N})]\;\mathrm {d} ^{3}p_{1}\cdots \mathrm {d} ^{3}p_{N}\,\mathrm {d} ^{3}x_{1}\cdots \mathrm {d} ^{3}x_{N}$

dimana

$p_{i}$ adalah momentum partikel

$x_{i}$ adalah posisi partikel

$d^{3}$ adalah notasi singkat yang berfungsi sebagai pengingat bahwa $p_{i}$ dan $x_{i}$ merupakan vektor dalam ruang tiga dimensi, dan

 H  merupakan Hamiltonian klasik.

Alasan untuk faktor N! didiskusikan pada bagian di bawah ini. Untuk penyederhanaan, kita akan menggunakan bentuk diskrit fungsi partisi dari artikel ini. Tujuan kita adalah untuk menerapkan fungsi diskrit ke dalam bentuk kontinyu secara seimbang. Faktor tetapan ekstra ditambahkan pada bagian penyebut. Hal ini disebabkan karena, tidak seperti bentuk diskrit, bentuk kontinyu yang ditampilkan diatas tidak tanpa dimensi. Untuk membuatnya menjadi kuantitas tanpa dimensi, kita harus membaginya dengan $h^{3N}$ dimana  h  adalah tetapan Planck.