Penguraian nilai singular

Dekomposisi nilai singular adalah suatu pemfaktoran matriks dengan mengurai suatu matriks ke dalam dua matriks uniter U dan V, dan sebuah matriks diagonal S yang berisi faktor skala yang disebut dengan nilai singular. Dekomposisi nilai singular dari matriks A dinyatakan sebagai

$A=USV'.$

Setiap nilai singular dalam S bersesuaian dengan suatu citra 2-dimensi yang dibangun oleh satu kolom dari U dan satu baris dari V. Citra hasil rekonstruksi adalah jumlah dari setiap citra parsial yang telah diubah skalanya menggunakan nilai singular yang bersesuaian dalam S.

Kata kunci untuk memampatkan citra dengan metode ini adalah mengidentifikasi bahwa nilai singular terkecil dan citra yang bersesuaian dengan nilai singular ini tidak akan ikut membangun citra asli secara signifikan. Dengan mengabaikan nilai singular yang kecil bersama dengan kolom-kolom pada U dan baris-baris pada V yang telah difaktorkan oleh nilai singular ini, citra asli akan direkonstruksi dengan cukup tepat oleh suatu himpunan data yang jauh lebih kecil dari pada matriks citra aslinya.

Referensi

• Bau III, David; Trefethen, Lloyd N. (1997), Numerical linear algebra, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-361-9 .
• Demmel, J. and Kahan, W. (1990). Computing Small Singular Values of Bidiagonal Matrices With Guaranteed High Relative Accuracy. SIAM J. Sci. Statist. Comput., 11 (5), 873-912.
• Eckart, C., & Young, G. (1936). The approximation of one matrix by another of lower rank. Psychometrika, I, 211-218.
• Golub, Gene H.; Kahan, William (1965), "Calculating the singular values and pseudo-inverse of a matrix", Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics: Series B, Numerical Analysis, 2 (2): 205–224 .
• Golub, G. H. and Van Loan, C. F. (1996). "Matrix Computations". 3rd ed., Johns Hopkins University Press, Baltimore. ISBN 0-8018-5414-8.
• Halldor, Bjornsson and Venegas, Silvia A. (1997). "A manual for EOF and SVD analyses of climate data". McGill University, CCGCR Report No. 97-1, Montréal, Québec, 52pp.
• Hansen, P. C. (1987). The truncated SVD as a method for regularization. BIT, 27, 534-553.
• Horn, Roger A. and Johnson, Charles R (1985). "Matrix Analysis". Section 7.3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-38632-2.
• Horn, Roger A. and Johnson, Charles R (1991). Topics in Matrix Analysis, Chapter 3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46713-6.
• Strang G (1998). "Introduction to Linear Algebra". Section 6.7. 3rd ed., Wellesley-Cambridge Press. ISBN 0-9614088-5-5.
• Stewart, G. W. (1993), "On the Early History of the Singular Value Decomposition", SIAM Review, 35 (4): 551–566, doi:10.1137/1035134 .
• Wall, Michael E., Andreas Rechtsteiner, Luis M. Rocha (2003). "Singular value decomposition and principal component analysis". in A Practical Approach to Microarray Data Analysis. D.P. Berrar, W. Dubitzky, M. Granzow, eds. pp. 91-109, Kluwer: Norwell, MA.

Pranala luar

• MIT Lecture series by Gilbert Strang. See Lecture #29 on the SVD (scroll down to the bottom till you see "Singular Value Decomposition"). The first 17 minutes give the overview. Then Prof. Strang works two examples. Then the last 4 minutes (min 36 to min 40) are a summary. You can probably fast forward the examples, but the first and last are an excellent concise visual presentation of the topic.
• Applications of SVD on PC Hansen's web site.
• Introduction to the Singular Value Decomposition by Todd Will of the University of Wisconsin--La Crosse. This site has animations for the visual minded as well as demonstrations of compression using SVD.
• Los Alamos group's book chapter has helpful gene data analysis examples.
• SVD, another explanation of singular value decomposition
• Javascript script demonstrating the SVD more extensively, paste your data from a spreadsheet.
• Chapter from "Numerical Recipes in C" gives more information about implementation and applications of SVD. (Acrobat DRM plug-in required)
• Online Matrix Calculator Performs singular value decomposition of matrices.
• A simple tutorial on SVD and applications of Spectral Methods
• Matrix and Tensor Decompositions in Genomic Signal Processing
• SVD on MathWorld, with image compression as an example application.