Faktoradik

Faktoradik adalah sebuah sistem bilangan yang setiap posisi angka memiliki basis sesuai dengan faktorial dari posisinya. Sistem bilangan ini memungkinkan untuk membangkitkan permutasi dalam urutan leksikografik.

Faktoradik memiliki bentuk deretan bilangan a_n...a₄a₃a₂a₁a₀, dengan setiap bilangan a_i bersifat:

$a_{i}\in \mathbb {N}$

dan

$0\leq a_{i}\leq i$

Nilai faktoradik

Nilai sebuah faktoradik a_n...a₄a₃a₂a₁a₀ dapat dengan mudah didapat menggunakan formula:

$\sum _{i=0}^{n}a_{i}.i!$

Sebagai contoh, bilangan 2,1,1,1,0

Posisi setiap bilangan, sama seperti pada sistem bilangan posisional lainnya, dinomori mulai dari 0 dari sebelah kanan.

Bilangan ke	5	4	3	2	1	0
Bilangan	0	2	1	1	1	0
Faktorial	120	24	6	2	1	1

Sehingga nilainya adalah sebesar: 2×4! + 1×3! + 1×2! + 1×1! + 0×0! = 57

Di bawah ini adalah daftar 24 faktoradik pertama beserta nilainya:

Faktoradik	Nilai	Faktoradik	Nilai	Faktoradik	Nilai	Faktoradik	Nilai
0, 0, 0, 0	0	1, 0, 0, 0	6	2, 0, 0, 0	12	3, 0, 0, 0	18
0, 0, 1, 0	1	1, 0, 1, 0	7	2, 0, 1, 0	13	3, 0, 1, 0	19
0, 1, 0, 0	2	1, 1, 0, 0	8	2, 1, 0, 0	14	3, 1, 0, 0	20
0, 1, 1, 0	3	1, 1, 1, 0	9	2, 1, 1, 0	15	3, 1, 1, 0	21
0, 2, 0, 0	4	1, 2, 0, 0	10	2, 2, 0, 0	16	3, 2, 0, 0	22
0, 2, 1, 0	5	1, 2, 1, 0	11	2, 2, 1, 0	17	3, 2, 1, 0	23

Mendapatkan Faktoradik dari Sembarang Bilangan

Suatu faktoradik bisa diperoleh dari sembarang bilangan $n$ dengan algoritma sebagai berikut:

1. Cari $i!$ terbesar di mana $i!<n$
2. Bagi $n$ dengan $i!$, akan didapatkan hasil bagi $d$ dan sisa bagi $m$.
3. $d$ adalah digit faktoradik ke-$i$, yaitu $a_{i}$
4. Ulangi dari langkah kedua, dengan $m$(sisa bagi) menggantikan $n$, dan $i-1$ menggantikan $i$.
5. Algoritma selesai jika i sudah mencapai 0.

Ketika berakhir, algoritma ini akan menghasilkan deretan faktoradik a_n...a₄a₃a₂a₁a₀.

Kode program untuk membangkitkan faktoradik

Pascal

 FMax = CariFaktorialTerbesar(Bilangan);
 Sisa := Bilangan;
 for i := FMax downto 0 do
 begin
   f := Faktorial(i);
   A[i] := Sisa div f;
   Sisa := Sisa mod f;
 end;