Perkalian

Perkalian adalah operasi matematika penskalaan satu bilangan dengan bilangan lain. Operasi ini adalah salah satu dari empat operasi dasar di dalam aritmetika dasar (yang lainnya adalah perjumlahan, perkurangan, dan perbagian).

3 × 4 = 12, jadi dua belas titik dapat disusun di dalam tiga baris dari empat lajur (atau empat lajur yang berisi tiga baris).

Perkalian terdefinisi untuk seluruh bilangan di dalam suku-suku perjumlahan yang diulang-ulang; misalnya, 3 dikali 4 (seringkali dibaca "3 kali 4") dapat dihitung dengan menjumlahkan 3 salinan dari 4 bersama-sama:

$3\times 4=4+4+4=12.\!\,$

Perkalian bilangan rasional (pecahan) dan bilangan real didefinisi oleh perumumam gagasan dasar ini.

Satu sifat utama dari perkalian adalah hasilnya tidak bergantung pada peletakan faktor yang berulang (sifat komutatif). 3 dikali 4 dapat pula dihitung dengan cara menambahkan 3 sebanyak 4 kali:

$3\times 4=3+3+3+3=12.\!\,$ Sesuai gambar di samping.

Perkalian dapat juga digambarkan sebagai pencacahan objek yang disusun di dalam persegi panjang (untuk semua bilangan) atau seperti halnya penentuan luas persegi panjang yang sisi-sisinya memberikan panjang (untuk bilangan secara umum). Balikan dari perkalian adalah perbagian: ketika 3 kali 4 sama dengan 12, maka 12 dibagi 3 sama dengan 4.

Perkalian diperumum ke jenis bilangan lain (misalnya bilangan kompleks) dan ke konstruksi yang lebih abstrak seperti matriks.

Sifat-sifat

Untuk nyata dan kompleks, yang meliputi misalnya bilangan natural, bilangan bulat dan fraksi perkalian memiliki sifat tertentu:

Sifat komutatif

Urutan di mana dua nomor dikalikan tidak menjadi masalah:

$x\cdot y=y\cdot x$.

Sifat asosiatif

Pernyataan hanya melibatkan perkalian atau penambahan bersifat tetap terhadap urutan operasi:

$(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$

Sifat Distributif

Identitas ini adalah sangat penting dalam menyederhanakan ekspresi aljabar:

$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$

Unsur Identitas

Identitas perkalian adalah 1; apa dikalikan dengan satu itu sendiri. Hal ini dikenal sebagai properti identitas:

$x\cdot 1=x$

Elemen nol

Setiap angka dikalikan dengan nol adalah nol. Hal ini dikenal sebagai perkalian nol:

$x\cdot 0=0$

Ada sejumlah sifat perkalian lainnya yang tidak selalu berlaku untuk semua jenis bilangan.

Negasi

Negatif satu kali sama dengan penambahan terbalik dari jumlah itu.

$(-1)\cdot x=(-x)$

Negatif satu kali negatif satu adalah positif.

$(-1)\cdot (-1)=1$

Unsur Balikan

Setiap angka x , kecuali nol, memiliki perkalian invers, ${\frac {1}{x}}$, seperti pada $x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1$

Urut-urutan

Perkalian dengan angka positif mempertahankan urutan:

jika a > 0, maka jika b > c maka ab > ac.

perkalian dengan bilangan negatif membalikkan urutan:

jika a < 0 dan b > c maka ab < ac.

bilangan kompleks tidak memiliki urutan predikat.

Sistem matematika lainnya yang mencakup operasi perkalian mungkin tidak memiliki semua sifat ini. Misalnya, perkalian tidak komutatif untuk matrik.

Aksioma

Artikel utama: Peano axioms

Dalam buku Arithmetices principia, nova methodo exposita, Giuseppe Peano mengajukan aksioma untuk aritmatika berdasarkan aksiomanya untuk bilangan natural. Aritmatika Peano dimulai dengan dua aksiom sederhana untuk perkalian:

$x\times 0=0$

$x\times S(y)=(x\times y)+x$

Di sini S(y) merepresentasikan successor dari y, atau angka natural yang melanjutkan y. Beragam sifat seperti asosiatif dapat dibuktikan dari hal ini dan dari aksioma aritmatika peano lainnya termasuk induction. Sebagai contoh S(0). di anggap sebagai 1, adalah perkalian identitas sebab:

$x\times 1=x\times S(0)=(x\times 0)+x=0+x=x$

Lihat pula

• (Inggris)Kontroversi pedagogi soal perkalian sebagai konsep penambahan berulang

Referensi

• Boyer, Carl B. (revised by Merzbach, Uta C.) (1991). History of Mathematics. John Wiley and Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7. Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link)

Pranala luar

• Mempraktikkan dan Mengkaji Perkalian
• Operasi Perkalian dan Aritmetika di dalam Berbagai Sistem Bilangan
• Teknik Perkalian Cina Modern pada sebuah Sempoa
• Permainan Matematika untuk Perkalian