Eksponensiasi

Eksponen adalah perkalian yang diulang-ulang. Orang menulis eksponen dengan indeks di atas, yang akan terlihat sebagai berikut: $x^{y}$. Terkadang hal itu tak mungkin. Kemudian orang menulis eksponen menggunakan tanda ^: 2^3 berarti $2^{3}$.

Latar belakang dan terminologi

Ekspresi b² = b·b disebut square dari b karena area suatu bujursangkar dengan panjang sisi b adalah b². Diucapkan "b kuadrat" atau "b pangkat dua" (bahasa Inggris: b squared).

Ekspresi b³ = b·b·b disebut cube dari b karena volume suatu kubus dengan panjang sisi b adalah b³. Diucapkan "b pangkat tiga" (bahasa Inggris: b cubed).

Eksponen menyatakan berapa banyak salinan dari basis yang dilipatgandakan atau dikalikan bersama-sama. Misalnya, 3⁵ = 3·3·3·3·3 = 243. Basis 3 muncul 5 kali dalam perkalian berulang, karena eksponennya adalah 5. Di sini, 3 adalah basis, 5 adalah eksponen, dan 243 adalah (hasil) pangkat atau, lebih spesifik, pangkat lima dari 3, 3 dipangkatkan lima atau 3 pangkat lime (bahasa Inggris: 3 to the power of 5).

Kata "dipangkatkan" biasanya disingkat hanya menjadi "pangkat", sehingga 3⁵ biasanya diucapkan "tiga pangkat lima" (bahasa Inggris: three to the fifth atau three to the five). Eksponensiasi bⁿ dapat dibaca b dipangkatkan n kali, atau b dipangkatkan n, atau b dipangkatkan dengan eksponen n, atau singkatnya b pangkat n (bahasa Inggris: b to the n).

Eksponensiasi dapat digeneralisasi dari eksponen integer ke jenis-jenis umum bilangan lainnya.

Kata "eksponen" (exponent) diperkenalkan pada tahun 1544 oleh Michael Stifel.

Notasi eksponensiasi modern diperkenalkan oleh René Descartes dalam karyanya Géométrie pada tahun 1637.

Eksponen integer

Bilangan $x$ disebut bilangan pokok, dan bilangan $y$ disebut eksponen. Sebagai contoh, pada $2^{3}$, 2 adalah bilangan pokok dan 3 eksponen.

Untuk menghitung $2^{3}$ seseorang harus mengalikan 3 kali terhadap angka 2. Sehingga $2^{3}=2\cdot 2\cdot 2$. Hasilnya adalah $2\cdot 2\cdot 2=8$. Apa yang dikatakan persamaan bisa juga dikatakan dengan cara ini: 2 pangkat 3 sama dengan 8.

Contoh:

• $5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125$
• $x^{2}=x\cdot {}x$
• $1^{x}=1$ untuk setiap bilangan x

Jika eksponen sama dengan 2, maka disebut persegi karena area persegi dihitung menggunakan $a^{2}$. Sehingga

$x^{2}$ adalah persegi dari $x$

Jika eksponen sama dengan 3, maka disebut kubik karena volume kubus dihitung dengan $a^{3}$. Sehingga

$x^{3}$ adalah kubik $x$

Jika eksponen sama dengan -1 orang harus menghitung inversi bilangan pokok. Sehingga:$x^{-1}={\frac {1}{x}}$ Jika eksponen adalah integral dan kurang dari 0, orang harus membalik bilangan dan menghitung pangkat. Sebagai contoh:

$2^{-3}=({\frac {1}{2}})^{3}={\frac {1}{8}}$

Jika eksponen sama dengan ${\frac {1}{2}}$ hasilnya adalah akar persegi bilangan pokok. Sehingga $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.$ Contoh:

$4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$

Dengan cara yang sama, jika eksponen ${\frac {1}{n}}$ hasilnya adalah akar ke-n, sehingga:

$a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

Jika eksponen merupakan bilangan rasional ${\frac {p}{q}}$, hasilnya adalah akar ke-q bilangan pokok yang dipangkatkan p, sehingga:

$a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}$

Eksponen bisa juga tak rasional. Untuk menjadikan bilangan pokok a menjadi pangkat ke-x yang tak rasional, kita menggunakan rangkaian ketidakterhinggaan bilangan rasional (x_i), yang limitnya adalah x:

$x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

seperti ini:$a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}$

Ada beberapa aturan yang membantu menghitung pangkat:

• $\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}$
• $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0$
• $a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}$
• ${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0$
• $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$
• $\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}$
• $a^{0}=1,\quad a\neq 0$: Bila bilangan pokok lebih besar daripada 1 dan eksponen 0, jawabannya 1. Jika bilangan pokok dan pangkat sama dengan 0, jawabannya tak terdefinisikan.

Ekponen matriks bisa pula dihitung. Matriks itu harus persegi. Sebagai contoh: $I^{2}=I\cdot I=I$.

Daftar eksponensial bilangan bulat

n	n2	n3	n4	n5	n6	n7	n8	n9	n10
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1,024
3	9	27	81	243	729	2,187	6,561	19,683	59,049
4	16	64	256	1,024	4,096	16,384	65,536	262,144	1,048,576
5	25	125	625	3,125	15,625	78,125	390,625	1,953,125	9,765,625
6	36	216	1,296	7,776	46,656	279,936	1,679,616	10,077,696	60,466,176
7	49	343	2,401	16,807	117,649	823,543	5,764,801	40,353,607	282,475,249
8	64	512	4,096	32,768	262,144	2,097,152	16,777,216	134,217,728	1,073,741,824
9	81	729	6,561	59,049	531,441	4,782,969	43,046,721	387,420,489	3,486,784,401
10	100	1,000	10,000	100,000	1,000,000	10,000,000	100,000,000	1,000,000,000	10,000,000,000

Lihat pula

• Peluruhan eksponensial

Pranala luar

• sci.math FAQ: What is 0⁰?
• Introducing 0th power, PlanetMath.org.
• Laws of Exponents with derivation and examples
• What does 0^0 (zero to the zeroth power) equal? on AskAMathematician.com