Bilangan alef

Bilangan alef (bahasa Inggris: aleph number) dalam teori himpunan (suatu bidang matematika) adalah suatu urutan bilangan yang digunakan untuk melambangkan kardinalitas (atau ukuran) dari himpunan tak terhingga (infinite set). Dinamakan menurut simbol yang dipakai, yaitu huruf Ibrani "alef" ($\aleph$).

Alef-nol (aleph-null), bilangan kardinal tak terhingga terkecil

Kardinalitas bilangan asli adalah $\aleph _{0}$ (dibaca "alef-nol" (aleph-null), atau kadangkala dalam bahasa Inggris juga disebut aleph-naught atau aleph-zero). Kardinalitas berikutnya yang lebih besar adalah "alef-satu" (aleph-one) $\aleph _{1}$, kemudian $\aleph _{2}$ dan seterusnya. Jika terus dilanjutkan, dimungkinkan untuk mendefinisikan suatu bilangan kardinal $\aleph _{\alpha }$ untuk setiap bilangan ordinal α, sebagaimana dinyatakan di bawah.

Konsep ini berasal dari Georg Cantor, yang mendefinisikan pengertian kardinalitas dan menyadari bahwa himpunan tak terhingga dapat mempunyai kardinalitas yang berbeda.

Alef-nol

$\aleph _{0}$ adalah kardinalitas dari semua bilangan asli, dan merupakan suatu kardinal tak terhingga. Himpunan semua bilangan ordinal finit, dinamakan ω atau ω₀, mempunyai kardinalitas $\aleph _{0}$. Suatu himpunan mempunyai kardinalitas $\aleph _{0}$ jika dan hanya jika bilangan itu terhitung sebagai tak terhingga, yaitu, ada bijeksi (kesesuaian satu lawan satu) di antaranya dan bilangan-bilangan asli. Contoh-contoh himpunan semacam itu adalah:

• himpunan semua bilangan kuadrat, himpunan semua bilangan kubik, himpunan semua bilangan pangkat empat, ...
• himpunan semua pangkat sempurna, himpunan semua pangkat prima,
• himpunan semua bilangan genap, himpunan semua bilangan ganjil,
• himpunan semua bilangan prima, himpunan semua bilangan komposit,
• himpunan semua bilangan bulat,
• himpunan semua bilangan rasional,
• himpunan semua bilangan aljabar,
• himpunan semua bilangan komputabel,
• himpunan semua bilangan definabel,
• himpunan semua string biner dengan panjang finit, dan
• himpunan semua subset finit dari semua himpunan yang dapat terhitung sebagai tak terhingga.

Lihat pula

• Alef
• Ananta
• Bilangan kardinal

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Aleph-zero", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Aleph-0". MathWorld.