Uji kekonvergenan

Tes konvergensi (Uji konvergensi; bahasa Inggris: convergence tests) dalam matematika adalah kumpulan metoda untuk melakukan tes berkenaan dengan deret konvergen, konvergensi bersyarat, konvergensi mutlak, interval konvergensi atau divergensi suatu deret tak terhingga.

Daftar tes

Tes elemen

Jika limit dari summand (jumlah semua elemen) tidak dapat didefinisikan atau bukan nol, yaitu $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$, maka deret itu pastilah divergen. Dalam hal ini, jumlah parsial merupakan Cauchy hanya jika limit ini ada dan sama dengan nol. Tes ini tidak mempunyai kesimpulan (inconclusive) jika limit jumlah semua elemen sama dengan nol.

Tes rasio

Juga dikenal sebagai "Kriteria D'Alembert" (D'Alembert's criterion). Misalnya ada $r$ sedemikian sehingga

$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.$

Jika r < 1, maka deret itu konvergen.

Jika r > 1, maka deret itu divergen.

Jika r = 1, tes rasio tidak konklusif, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen.

Tes akar

Juga dikenal sebagai "Test akar ke-n" (nth root test atau "Kriteria Cauchy", Cauchy's criterion). Diketahui r didefinisikan sebagai berikut:

$r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},$

di mana "lim sup" melambangkan batas atas limit (mungkin ∞; jika ada limit, maka itulah nilainya).

Jika r < 1, maka deret itu konvergen.

Jika r > 1, maka deret itu divergen.

Jika r = 1, tes akar tidak konklusif, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen.

Tes integral

Deret itu dapat dibandingkan dengan suatu integral untuk menguji apakah konvergen atau divergen. ]</ref>

For example, for the series

1 + 1 + 0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.125 + 0.125 + ...=4

convergence follows from the root test but not from the ratio test.

Examples

Consider the series

$(*)\;\;\;\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}$.

Cauchy condensation test implies that (*) is finitely convergent if

$(**)\;\;\;\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }$

is finitely convergent. Since

$\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n-n\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{(1-\alpha )n}$

(**) is geometric series with ratio $2^{(1-\alpha )}$. (**) is finitely convergent if its ratio is less than one (namely $\alpha >1$). Thus, (*) is finitely convergent if and only if $\alpha >1$.

Convergence of products

While most of the tests deal with the convergence of infinite series, they can also be used to show the convergence or divergence of infinite products. This can be achieved using following theorem: Let $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ be a sequence of positive numbers. Then the infinite product $\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})$ converges if and only if the series $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ converges. Also similarly, if $0<a_{n}<1$ holds, then $\prod _{n=1}^{\infty }(1-a_{n})$ approaches a non-zero limit if and only if the series $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ converges .

This can be proved by taking logarithm of the product and using limit comparison test. -->

Lihat pula

• Kaidah L'Hôpital
• Kaidah geser

Pranala luar

• Flowchart for choosing convergence test