Teorema Lagrange

Dalam teori grup, teorema Lagrange mengatakan bahwa untuk suatu grup hingga $G$ berorde $n$, orde dari setiap subgrup $H\leq G$ haruslah membagi $n$. Teorema ini dinamai berdasarkan seorang matematikawan Prancis, Joseph-Louis de Lagrange.

Bukti

Untuk membuktikan teorema Lagrange, dapat digunakan koset dari suatu subgrup. Akan ditunjukkan bahwa setiap koset suatu subgrup berukuran sama, sehingga haruslah setiap koset dari suatu subgrup $H$ memiliki anggota sebanyak orde dari $H$. Hal ini dapat dilakukan dengan membangun suatu bijeksi $f:aH\to bH$ untuk sebarang $a,b\in G$ dengan $f(x)=ba^{-1}x$. Mudah ditunjukkan bahwa pemetaan tersebut merupakan bijeksi dengan invers $f^{-1}(x)=ab^{-1}x$. Akibatnya, kita dapatkan setiap koset dari subgrup $H$ berukuran sama. Berikutnya, karena koset-koset dari $H$ mempartisi grup $G$ atas akibat dari relasi ekuivalensi $a\sim b\iff aH=bH$, kita dapatkan banyaknya anggota dari $G$ sama dengan banyaknya koset dari $H$ dikali banyaknya anggota dari $H$ (karena semua koset berukuran sama). Akibatnya, kita dapatkan $|G|=[G:H]|H|$ sehingga orde tiap subgrup haruslah membagi orde grupnya. Dengan demikian kita selesai.

Konvers dari Teorema Lagrange

Secara umum, konvers dari teorema Lagrange tidak berlaku. Yakni, jika $n$ membagi orde dari $G$, belum tentu terdapat suatu subgrup dari $G$ yang berorde $n$. Sebagai contoh, grup berayun (yakni grup dari permutasi genap) $A_{4}$ yang berorde 12 tidak memiliki subgrup berorde 6.