Unit imajiner

Unit imajiner atau bilangan imajiner unit ($i$) adalah solusi untuk persamaan kuadrat $x$² $+1=0$. Meskipun tidak ada bilangan riil dengan sifat ini, $i$ dapat digunakan untuk memperluas bilangan riil menjadi bilangan kompleks, bilangan yang menggunakan operasi penambahan dan perkalian; contoh sederhananya adalah $2+3i$.

$i$ terletak di bidang kompleks. Bilangan riil terletak pada sumbu horizontal, dan bilangan imajiner terletak pada sumbu vertikal.

Bilangan imajiner adalah konsep matematika yang penting, sebab bilangan ini memperluas sistem bilangan riil $\mathbb {R}$ ke sistem bilangan kompleks $\mathbb {C}$, dan pada sistem bilangan tersebut setidaknya terdapat satu buah akar fungsi untuk setiap polinomial $P(x)$ yang tak konstan. Istilah "imajiner" digunakan karena tidak ada bilangan riil yang memiliki kuadrat negatif.

Terdapat dua buah akar kuadrat kompleks dari −1, yaitu $i$ dan $-i$, sama seperti terdapat dua buah akar kuadrat kompleks dari setiap bilangan riil selain nol, yang memiliki satu buah akar kuadrat berganda.

Bilangan kompleks $j$ yang juga terkadang digunakan untuk menggantikan $i$, sebab $i$ dapat bermakna ambigu. Sebagai contoh, dalam ilmu teknik listrik dan teknik kendali, unit imajiner biasanya dilambangkan dengan $j$ alih-alih $i$, karena $i$ biasanya digunakan untuk menyatakan arus listrik.

Definisi

Nilai siklus perpangkatan dari i :
$...$ (daerah yang berwarna biru menandakan pola berulang)
$i^{-3}=i$
$i^{-2}=-1$
$i^{-1}=-i$
$i^{0}=1$
$i^{1}=i$
$i^{2}=-1$
$i^{3}=-i$
$i^{4}=1$
$i^{5}=i$
$i^{6}=-1$
$...$ (daerah yang berwarna biru menandakan pola berulang)

Bilangan imajiner $i$ didefinisikan hanya dengan menggunakan sifat bahwa akar kuadratnya adalah $-1$: $$i^{2}=-1.$$ Oleh karena itu, $i$ dan $-i$ sama-sama merupakan akar kuadrat dari $-1$.

Operasi bilangan real dapat diperluas ke bilangan imajiner dan bilangan kompleks, dengan memperlakukan $i$ sebagai kuantitas yang tidak diketahui saat memanipulasi ekspresi (dan menggunakan definisi untuk menggantikan $i^{2}$ dengan −1). Perpangkatan dari $i$ yang lebih tinggi dapat digantikan dengan $-i$, $1$, $i$, atau $-1$: $${\begin{aligned}i^{3}&=i^{2}i=(-1)i=-i\\i^{4}&=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1\\i^{5}&=i^{4}i=(1)i=i.\end{aligned}}$$

Hal ini dapat diperlakukan cara yang serupa untuk sebarang bilangan real tak nol: $$i^{0}=i^{1-1}=i^{1}i^{-1}=i^{1}{\frac {1}{i}}=i{\frac {1}{i}}={\frac {i}{i}}=1.$$

Sebagai bilangan kompleks, $i$ dapat dinyatakan dalam sistem koordinat Cartesius berdimensi dua sebagai $0+1i$, yang terdiri dari nol buah komponen real dan satu buah komponen imajiner. Dalam bentuk polar, $i$ dapat dinyatakan sebagai $1\times e^{i\pi /2}$ (atau cukup tulis $e^{i\pi /2}$), dengan nilai mutlak dari 1 dan argumen dari $\pi /2$ radian (dan juga ditambahkan dengan sebarang kelipatan dari $2\pi$). Dalam bilangan kompleks, atau disebut bidang Argand, yang merupakan pandangan bidang Cartesius yang khusus, $i$ adalah titik yang terletak dengan jarak 1 satuan dari titik asal di sepanjang sumbu imajiner.

Sifat

Akar kuadrat dan akar kubik

Dua buah akar kuadrat dari $i$ dalam bidang kompleks

Tiga buah akar kubik dari $i$ dalam bidang kompleks

Sama seperti semua bilangan kompleks tak nol, $i$ mempunyai dua buah akar kuadrat, yaitu

$$\pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).$$

Dengan menguadratkan kedua ekspresi tersebut, akan menghasilkan: $${\begin{aligned}\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ &=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\ \\&=i.\end{aligned}}$$

Dengan mengakarkuadratkan kedua ruas, akan didapatkan $${\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).$$

Tiga buah akar kubik dari $i$ adalah: $$\left(-i,{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}},-{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}}\right).$$

Sama seperti semua akar dari 1, semua akar dari $i$ adalah titik sudut poligon beraturan yang terletak di dalam lingkaran satuan di bidang kompleks.