1 − 2 + 3 − 4 + ⋯: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Add 1 book for Wikipedia:Pemastian (20231209)) #IABot (v2.0.9.5) (GreenC bot |
Saya menambahkan lebih banyak informasi dan tetap setia pada versi Wikipedia bahasa Inggris. Tag: kemungkinan perlu pemeriksaan terjemahan |
||
Baris 1:
[[Berkas:Pm1234 Ground.png|jmpl|250px|15.000 jumlah parsial pertama dari 0 + 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯]]
Dalam [[matematika]], '''1 − 2 + 3 − 4 + ⋯''' adalah [[deret (matematika)|deret tak hingga]] yang suku-sukunya
<math display=block>\sum_{n=1}^m n(-1)^{n-1}.</math>
Deret tak hingga [[Deret divergen|divergen]], artinya barisan jumlah parsialnya, {{nowrap|(1, −1, 2, −2, 3, ...)}}, tidak cenderung menuju [[Limit barisan|batas]] berhingga. Meskipun demikian, pada pertengahan abad ke-18, [[Leonhard Euler]] menulis apa yang dia akui sebagai persamaan yang paradoks:
<math display=block>1-2+3-4+\cdots=\frac{1}{4}.</math>
Penjelasan yang tepat mengenai persamaan ini baru dapat diperoleh beberapa waktu kemudian. Mulai tahun 1890, [[Ernesto Cesàro]], [[Émile Borel]], dan lainnya menyelidiki metode yang terdefinisi dengan baik untuk menetapkan jumlah umum ke deret yang berbeda—termasuk interpretasi baru atas upaya Euler. Banyak dari metode penjumlahan ini dengan mudah menetapkan {{nowrap|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} sebuah "nilai" {{sfrac|1|4}}. Penjumlahan Cesàro adalah salah satu dari sedikit metode yang tidak menjumlahkan {{nowrap|1 − 2 + 3 − 4 + ...}}, sehingga deret tersebut merupakan contoh yang memerlukan metode yang sedikit lebih kuat, seperti penjumlahan Abel.
Deret 1 − 2 + 3 − 4 + ... berkaitan erat dengan [[deret Grandi]] {{nowrap|1 − 1 + 1 − 1 + ...}}. Euler memperlakukan keduanya sebagai kasus khusus dari deret yang lebih umum {{nowrap|1 − 2<sup>''n''</sup> + 3<sup>''n''</sup> − 4<sup>''n''</sup> + ...}}, dimana {{nowrap|1=''n'' = 1}} dan {{nowrap|1=''n'' = 0}} masing-masing. Penelitian ini memperluas karyanya pada masalah Basel dan mengarah pada [[persamaan fungsional]] yang sekarang dikenal sebagai [[fungsi eta Dirichlet]] dan [[fungsi zeta Riemann]].
==Divergensi==
Suku-suku deret tersebut {{nowrap|(1, −2, 3, −4, ...)}} tidak mendekati [[0 (angka)|0]]; oleh karena itu {{nowrap|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} menyimpang menurut istilah pengujian. Divergensi juga dapat ditunjukkan langsung dari definisinya: suatu deret tak hingga konvergen jika dan hanya jika barisan jumlah parsialnya konvergen ke limit, dalam hal ini limitnya adalah nilai deret tak hingga tersebut. Jumlah parsial dari 1 − 2 + 3 − 4 + ... adalah:{{sfn|Hardy|1949|p=8}}
{{block indent|left=1.6|1 = '''1''',<br/>
1 − 2 = '''−1''',<br/>
1 − 2 + 3 = '''2''',<br/>
1 − 2 + 3 − 4 = '''−2''',<br/>
1 − 2 + 3 − 4 + 5 = '''3''',<br/>
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = '''−3''',<br/>
...}}
Barisan penjumlahan parsial menunjukkan bahwa deret tersebut tidak konvergen ke suatu bilangan tertentu: untuk setiap limit yang diusulkan ''x'', terdapat suatu titik yang diluarnya semua penjumlahan parsial berikutnya berada di luar interval {{nowrap|[''x''−1, ''x''+1]}}, jadi {{nowrap|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} menyimpang.
Jumlah parsial mencakup setiap bilangan bulat tepat satu kali—bahkan 0 jika seseorang menghitung [[Jumlah kosong|jumlah parsial yang kosong]]—dan dengan demikian menetapkan keterhitungan himpunan <math>\mathbb{Z}</math> [[bilangan bulat]].{{sfn|Beals|2004|p=23}}
==Heuristik untuk penjumlahan==
===Stabilitas dan linearitas===
Karena suku {{nowrap|1, −2, 3, −4, 5, −6, ...}} mengikuti pola yang sederhana, deret {{nowrap|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} dapat dimanipulasi dengan menggeser dan suku demi suku penjumlahan untuk menghasilkan nilai numerik. Jika masuk akal untuk menulis {{nowrap|1=''s'' = 1 − 2 + 3 − 4 + ...}} untuk beberapa bilangan biasa ''s'', manipulasi berikut menyatakan {{nowrap|1=''s'' = {{frac|1|4}}:}}<ref>{{harvnb|Hardy|1949|p=6}} menyajikan penurunan ini bersamaan dengan evaluasi [[deret Grandi]] {{nowrap|1 − 1 + 1 − 1 + ...}}.</ref>
<math display=block>
\begin{alignat}{5}
4s&= &&(1-2+3-\cdots) \ \ &&{}+(1-2+3-4+\cdots) && {}+(1-2+3-4+\cdots) &&{}+(1-2+3-4+\cdots) \\
&= &&(1-2+3-\cdots) && +1 {}+(-2+3-4+\cdots) \ \ && {}+1+(-2+3-4+\cdots) \ \ &&{}+1-2+(3-4+\cdots) \\
&=\ 1+{} &&(1-2+3-\cdots) && {}+(-2+3-4+\cdots) && {}+(-2+3-4+\cdots) &&{}+(3-4+5-\cdots) \\
&=\ 1+{}[\ &&(1-2-2+3) && {}+(-2+3+3-4) && {}+(3-4-4+5) &&{}+\cdots \ ] \\
&=\ 1+{}[\ && 0+0+0+\cdots\ ] \\
4s&=\ 1
\end{alignat}
</math>
[[File:Pm1234 linearity.svg|thumb|right|Menambahkan 4 salinan dari {{nowrap|1 − 2 + 3 − 4 + ...,}} hanya menggunakan shift dan penjumlahan suku demi suku, menghasilkan 1. Sisi kiri dan kanan masing-masing menunjukkan dua salinan dari {{nowrap|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} menjumlahkan {{nowrap|1 − 1 + 1 − 1 + ....}}]] Jadi <math>s=\frac{1}{4}</math>.
Meskipun {{nowrap|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} tidak memiliki jumlah seperti biasanya, persamaan {{nowrap|1=''s'' = 1 − 2 + 3 − 4 + ... = {{frac|1|4}}}} dapat didukung sebagai jawaban paling alami jika jumlah seperti itu harus didefinisikan. Definisi [[Generalisasi|digeneralisasikan]] dari "penjumlahan" deret divergen disebut [[Deret divergen|metode penjumlahan]]. Ada banyak metode yang berbeda dan diharapkan metode tersebut memiliki beberapa sifat penjumlahan biasa. Apa yang sebenarnya dibuktikan oleh manipulasi di atas adalah sebagai berikut: Mengingat metode penjumlahan apa pun yang linier dan stabil serta menjumlahkan deret {{nowrap|1 − 2 + 3 − 4 + ...}}, jumlah yang dihasilkannya adalah {{frac|1|4}}.{{sfn|Hardy|1949|p=6}} Terlebih lagi, sejak itu
<math display=block>
\begin{alignat}{5}
2s&= &&(1-2+3-4+\cdots) \ \ &&{}+(1-2+3-4+5-\cdots) \\
&= && 1 {}+(-2+3-4+\cdots) \ \ &&{}+1-2+(3-4+5-\cdots) \\
&=\ 0+{} &&(-2+3-4+\cdots) &&{}+(3-4+5-\cdots) \\
&=\ 0+{}[\ &&(-2+3) \quad {}+(3-4) && {}+(-4+5) \quad +\cdots \ ] \\
2s&=\ && 1-1+1-1+\cdots
\end{alignat}
</math>
metode seperti itu juga harus menjumlahkan [[deret Grandi]] sebagai {{nowrap|1=1 − 1 + 1 − 1 + ... = {{frac|1|2}}.}}{{sfn|Hardy|1949|p=6}}
===Produk Cauchy===
Pada tahun 1891, Ernesto Cesàro mengungkapkan harapannya bahwa deret divergen akan dimasukkan ke dalam [[kalkulus]] dengan tegas, dengan menyatakan, "Kita sudah menulis {{nowrap|1=(1 − 1 + 1 − 1 + ...)<sup>2</sup> = 1 − 2 + 3 − 4 + ...}} dan menegaskan bahwa kedua sisinya sama dengan {{frac|1|4}}."{{sfn|Ferraro|1999|p=130}} Bagi Cesàro, persamaan ini merupakan penerapan dari teorema yang telah diterbitkannya tahun sebelumnya, yang merupakan teorema pertama dalam sejarah deret divergen yang dapat dijumlahkan.{{sfn|Hardy|1949|p=8}} Detail metode penjumlahannya ada di [[#Cesàro and Hölder|bawah]]; ide utamanya adalah {{nowrap|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} adalah hasil kali Cauchy (konvolusi diskrit) dari {{nowrap|1 − 1 + 1 − 1 + ...}} dengan {{nowrap|1 − 1 + 1 − 1 + ...}}.
Hasil kali Cauchy dari dua deret tak hingga dapat didefinisikan meskipun keduanya divergen. Dalam kasus di mana ''a''<sub>''n''</sub> = ''b''<sub>''n''</sub> = (−1)<sup>''n''</sup>, suku-suku hasil kali Cauchy diberikan oleh jumlah diagonal berhingga
<math display=block>\begin{align}
c_n & = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}=\sum_{k=0}^n (-1)^k (-1)^{n-k} \\
& = \sum_{k=0}^n (-1)^n = (-1)^n(n+1).
\end{align}</math>
Seri produknya kemudian
<math display=block>\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(n+1) = 1-2+3-4+\cdots.</math>
Jadi, metode penjumlahan yang mengikuti hasil kali Cauchy dari dua deret — dan menugaskan ke deret {{nowrap|1=1 − 1 + 1 − 1 + ... }} jumlah 1/2 — juga akan menetapkan ke deret {{nowrap|1=1 − 2 + 3 − 4 + ... }} jumlahnya 1/4. Dengan hasil pada bagian sebelumnya, hal ini menyiratkan adanya kesetaraan antara penjumlahan {{nowrap|1 − 1 + 1 − 1 + ...}} dan {{nowrap|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} dengan metode yang linier, stabil, dan menghormati Cauchy produk.
Teorema Cesàro adalah contoh halus. Deret {{nowrap|1=1 − 1 + 1 − 1 + ...}} dapat dijumlahkan Cesàro dalam arti yang paling lemah, disebut {{nowrap|(C, 1)-dapat dijumlahkan,}} dapat dijumlahkan, sedangkan {{nowrap|1=1 − 2 + 3 − 4 + ...}} memerlukan bentuk teorema Cesàro yang lebih kuat,{{sfnm
| 1a1 = Hardy | 1y = 1949 | 1p = 3
| 2a1 = Weidlich | 2y = 1950 | 2pp = 52–55
}} menjadi {{nowrap|(C, 2)-dapat dijumlahkan.}} Karena semua bentuk teorema Cesàro linier dan stabil,{{sfn|Alabdulmohsin|2018}} nilai penjumlahannya seperti yang dihitung di atas.
==Metode khusus==
===Cesàro dan Hölder===
[[File:Pm1234 means.svg|thumb|right|Data tentang (H, 2) jumlah {{frac|1|4}}]]
Untuk mencari jumlah (C, 1) Cesàro dari 1 − 2 + 3 − 4 + ..., jika ada, kita perlu menghitung [[rata-rata aritmetika]] dari jumlah parsial deret tersebut. Jumlah sebagiannya adalah:
{{Block indent|left=1.6|1, −1, 2, −2, 3, −3, ...,}}
dan cara aritmatika dari jumlah parsial ini adalah:
{{Block indent|left=1.6|1, 0, {{frac|2|3}}, 0, {{frac|3|5}}, 0, {{frac|4|7}}, ....}}
Urutan mean ini tidak konvergen, jadi 1 − 2 + 3 − 4 + ... tidak dapat dijumlahkan oleh Cesàro.
Ada dua generalisasi penjumlahan Cesàro yang terkenal: yang secara konseptual lebih sederhana adalah barisan metode (H, ''n'') untuk [[bilangan asli]] ''n''. Jumlah (H, 1) adalah penjumlahan Cesàro, dan metode yang lebih tinggi mengulangi penghitungan mean. Di atas mean genap konvergen ke {{frac|1|2}}, sedangkan mean ganjil semuanya sama dengan 0, sehingga mean ''dari mean'' konvergen ke rata-rata 0 dan {{frac|1|2}} yaitu {{frac|1|4}}.<ref>{{harvnb|Hardy|1949|p=9}}. Untuk detail perhitungan selengkapnya, lihat {{harvnb|Weidlich|1950|pp=17–18}}.</ref> Jadi {{nowrap|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} adalah (H, 2) dapat dijumlahkan menjadi {{frac|1|4}}.
Huruf "H" adalah singkatan dari [[Otto Hölder]], yang pertama kali membuktikan pada tahun 1882 apa yang sekarang dianggap oleh para ahli matematika sebagai hubungan antara penjumlahan Abel dan penjumlahan (H, ''n''); {{nowrap|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} adalah contoh pertamanya.<ref>{{harvnb|Ferraro|1999|p=118}}; {{harvnb|Tucciarone|1973|p=10}}. Ferraro mengkritik penjelasan Tucciarone (p. 7) tentang bagaimana Hölder sendiri memikirkan hasil umum, tetapi penjelasan kedua penulis mengenai perlakuan Hölder terhadap 1 − 2 + 3 − 4 + ... serupa.</ref> Fakta bahwa {{frac|1|4}} adalah (H, 2) jumlah dari {{nowrap|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} menjamin bahwa itu adalah jumlah Abel juga; ini juga akan dibuktikan langsung di bawah ini.
Generalisasi penjumlahan Cesàro yang umum dirumuskan adalah urutan metode (C, ''n''). Terbukti penjumlahan (C, ''n'') dan penjumlahan (H, ''n'') selalu memberikan hasil yang sama, namun mempunyai latar belakang sejarah yang berbeda. Pada tahun 1887, Cesàro nyaris menyatakan definisi penjumlahan (C, ''n''), namun ia hanya memberikan sedikit contoh. Secara khusus, dia menjumlahkan {{nowrap|1 − 2 + 3 − 4 + ...,}} menjadi {{frac|1|4}} dengan metode yang dapat diulangi menjadi (C, ''n'') tetapi tidak dibenarkan pada saat itu. Dia secara formal mendefinisikan metode (C, n) pada tahun 1890 untuk menyatakan teoremanya bahwa produk Cauchy dari deret yang dapat dijumlahkan (C, ''n'') dan deret yang dapat dijumlahkan (C, ''m'') adalah (C, ''m'' + ''n'' + 1)-dapat diringkas.{{sfn|Ferraro|1999|pp=123–128}}
===Penjumlahan Habel===
[[File:Pm1234 Abel.svg|thumb|left|upright=0.5|Beberapa bagian dari 1 − 2''x'' + 3''x''<sup>2</sup> + ...; 1/(1 + ''x'')<sup>2</sup>; dan batas pada 1]]
Dalam laporan tahun 1749, [[Leonhard Euler]] mengakui bahwa rangkaian tersebut berbeda tetapi tetap bersiap untuk menjumlahkannya:
{{blockquote|1=... ketika dikatakan bahwa jumlah deret 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 dst. adalah {{frac|1|4}}, hal itu pasti tampak paradoks. Karena dengan menjumlahkan 100 suku pada deret ini, kita mendapatkan −50, namun jumlah 101 suku menghasilkan +51, yang sangat berbeda dari {{frac|1|4}} dan menjadi lebih besar lagi jika jumlah sukunya ditambah. Tetapi saya telah memperhatikan di waktu sebelumnya, bahwa kata ''jumlah'' perlu diberi arti yang lebih luas ...<ref>{{harvnb|Euler|Willis|Osler|2006|p=2}}. Meskipun makalah tersebut ditulis pada tahun 1749, namun baru diterbitkan pada tahun 1768.</ref>}}
Euler beberapa kali mengusulkan generalisasi kata "jumlah". Dalam kasus {{nowrap|1 − 2 + 3 − 4 + ...}}, gagasannya mirip dengan apa yang sekarang dikenal sebagai penjumlahan Abel:
{{blockquote|1=... tidak diragukan lagi bahwa jumlah deret 1 − 2 + 3 − 4 + 5 dst. adalah {{frac|1|4}}; karena muncul dari perluasan rumus {{frac|1|(1+1)<sup>2</sup>}}, yang nilainya tidak dapat disangkal {{frac|1|4}}. Idenya menjadi lebih jelas dengan mempertimbangkan deret umum 1 − 2''x'' + 3''x''<sup>2</sup> − 4''x''<sup>3</sup> + 5''x''<sup>4</sup> − 6''x''<sup>5</sup> + ''&c.'' yang muncul saat memperluas ekspresi {{frac|1|(1+''x'')<sup>2</sup>}}, yang mana deret ini memang sama setelah kita menetapkan {{nowrap|1=''x'' = 1}}.{{sfn|Euler |Willis|Osler|2006|pp=3, 25}}}}
Ada banyak cara untuk melihat bahwa, setidaknya untuk [[nilai absolut]] {{nowrap|{{abs|''x''}} < 1}}, Euler benar dalam hal tersebut
<math display=block>1-2x+3x^2-4x^3+\cdots = \frac{1}{(1+x)^2}.</math>
Kita dapat menggunakan [[Deret Taylor|perluasan Taylor]] pada ruas kanan, atau menerapkan proses pembagian panjang formal untuk polinomial. Mulai dari ruas kiri, kita dapat mengikuti heuristik umum di atas dan mencoba mengalikan dengan {{nowrap|(1 + ''x'')}} dua kali atau [[Pangkat dua|mengkuadratkan]] [[deret geometri]] {{nowrap|1 − ''x'' + ''x''<sup>2</sup> − ...}}. Euler juga sepertinya menyarankan untuk [[Turunan|membedakan]] suku deret terakhir berdasarkan istilah.<ref>Misalnya, {{harvnb|Lavine|1994|p=23}} mendukung perpecahan yang panjang tetapi tidak melaksanakannya; {{harvnb|Vretblad|2003|p=231}} menghitung produk Cauchy. Nasihat Euler tidak jelas; lihat {{harvnb|Euler|Willis|Osler|2006|pp=3, 26}}. {{ill|John Baez|en|John C. Baez}} bahkan menyarankan metode teori kategori yang melibatkan [[himpunan lonjong]] perkalian dan [[osilator harmonis kuantum]]. Baez, John C. [http://math.ucr.edu/home/baez/qg-winter2004/zeta.pdf Euler's Proof That 1 + 2 + 3 + ... = −1/12 (PDF).] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171013150222/http://math.ucr.edu/home/baez/qg-winter2004/zeta.pdf |date=2017-10-13 }} math.ucr.edu (19 Desember 2003). Diakses pada 11 Maret 2007.</ref>
Dalam pandangan modern, [[fungsi pembangkit]] 1 − 2''x'' + 3''x''<sup>2</sup> − 4''x''<sup>3</sup> + ... tidak mendefinisikan suatu [[Fungsi (matematika)|fungsi]] pada {{nowrap|1=''x'' = 1}}, sehingga nilai tersebut tidak dapat disubstitusikan begitu saja ke dalam ekspresi yang dihasilkan. Karena fungsinya terdefinisi untuk semua {{nowrap||''x''| < 1}}, kita masih dapat mengambil limitnya ketika ''x'' mendekati 1, dan ini adalah definisi dari jumlah Abel:
<math display=block>\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\sum_{n=1}^\infty n(-x)^{n-1} = \lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{1}{(1+x)^2} = \frac14.</math>
===Euler dan Borel===
[[File:Pm1234 Euler.svg|right|thumb|Penjumlahan Euler menjadi {{frac|1|2}} − {{frac|1|4}}. Nilai positif ditampilkan dalam warna putih, nilai negatif ditampilkan dalam warna coklat, dan pergeseran serta pembatalan ditampilkan dalam warna hijau.]]
Euler menerapkan teknik lain pada deret tersebut: transformasi Euler, salah satu penemuannya sendiri. Untuk menghitung transformasi Euler, dimulai dengan barisan suku positif yang membentuk deret bolak-balik—dalam hal ini {{nowrap|1, 2, 3, 4, ....}} Elemen pertama barisan ini diberi label ''a''<sub>0</sub>.
Selanjutnya diperlukan barisan selisih maju antara {{nowrap|1, 2, 3, 4, ...}}; ini hanya {{nowrap|1, 1, 1, 1, ....}} Elemen pertama barisan ''ini'' diberi label Δ''a''<sub>0</sub>. Transformasi Euler juga bergantung pada selisih selisih, dan iterasi yang lebih tinggi, namun semua selisih maju antara {{nowrap|1, 1, 1, 1, ...}} adalah 0. Transformasi Euler dari {{nowrap|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} adalah kemudian didefinisikan sebagai
<math display=block>\frac12 a_0-\frac14\Delta a_0 +\frac18\Delta^2 a_0 -\cdots = \frac12-\frac14.</math>
Dalam terminologi modern, dikatakan bahwa {{nowrap|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} adalah Euler dapat dijumlahkan menjadi {{frac|1|4}}..
Penjumlahan Euler juga menyiratkan penjumlahan Borel, dengan nilai penjumlahan yang sama, seperti pada umumnya.{{sfn|Shawyer|Watson|1994|p=32}}
===Pemisahan timbangan===
Saichev dan Woyczyński sampai pada {{nowrap|1=1 − 2 + 3 − 4 + ... = {{frac|1|4}}}} dengan hanya menerapkan dua prinsip fisik: ''relaksasi yang sangat kecil'' dan ''pemisahan timbangan''. Tepatnya, prinsip-prinsip ini mengarahkan mereka untuk mendefinisikan kelompok besar "metode penjumlahan φ", yang semuanya menjumlahkan rangkaiannya menjadi {{frac|1|4}}:
*Jika φ(''x'') adalah suatu fungsi yang turunan pertama dan kedua kontinu dan dapat diintegralkan pada (0, ∞), sehingga φ(0) = 1 dan limit dari φ(''x'') dan ''x''φ(''x'') di +∞ keduanya adalah 0, lalu{{sfn|Saichev|Woyczyński|1996|pp=260–264}} <math display=block>\lim_{\delta\rightarrow0}\sum_{m=0}^\infty (-1)^m(m+1)\varphi(\delta m) = \frac14.</math>
Hasil ini menggeneralisasi penjumlahan Abel, yang diperoleh dengan membiarkan φ(''x'') = exp(−''x''). Pernyataan umum dapat dibuktikan dengan memasangkan suku-suku dalam deret tersebut pada ''m'' dan mengubah persamaan tersebut menjadi [[integral Riemann]]. Untuk langkah terakhir, pembuktian yang sesuai untuk {{nowrap|1 − 1 + 1 − 1 + ...}} menerapkan [[teorema nilai purata]], tetapi di sini diperlukan bentuk [[teorema Taylor]] Lagrange yang lebih kuat.
==Generalisasi ==
[[File:Pm1234 Euler1755 I-V.png|thumb|Kutipan dari hal. 233 dari ''E212 — Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum''. Euler menjumlahkan deret serupa, {{Circa|1755}}.]]
Hasil kali Cauchy rangkap tiga dari {{nowrap|1 − 1 + 1 − 1 + ...}} adalah {{nowrap|1 − 3 + 6 − 10 + ...,}} deret [[bilangan segitiga]] berselang-seling; jumlah Abel dan Eulernya adalah {{frac|1|8}}.{{sfn|Kline|1983|p=313}} Hasil kali Cauchy empat kali lipat dari {{nowrap|1 − 1 + 1 − 1 + ...}} adalah {{nowrap|1 − 4 + 10 − 20 + ...,}} deret bilangan tetrahedral yang berselang-seling, yang jumlah Abelnya adalah {{frac|1|16}}.
Generalisasi lain dari 1 − 2 + 3 − 4 + ... dalam arah yang sedikit berbeda adalah deret {{nowrap|1 − 2<sup>''n''</sup> + 3<sup>''n''</sup> − 4<sup>''n''</sup> + ...}} untuk nilai ''n'' lainnya. Untuk bilangan bulat positif ''n'', deret ini mempunyai jumlah Abel sebagai berikut:{{sfnm
| 1a1 = Hardy | 1y = 1949| 1p = 3
| 2a1 = Knopp | 2y = 1990 | 2p = 491
}}
<math display=block>1-2^{n}+3^{n}-\cdots = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}B_{n+1}</math>
dimana ''B''<sub>''n''</sub> adalah bilangan Bernoulli. Bahkan untuk ''n'', ini direduksi menjadi
<math display=block>1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots = 0,</math>
yang dapat diartikan menyatakan bahwa nilai genap negatif dari [[fungsi zeta Riemann]] adalah nol. Jumlah ini menjadi bahan ejekan khusus oleh [[Niels Henrik Abel]] pada tahun 1826:
{{blockquote|1=Seri divergen sepenuhnya merupakan pekerjaan iblis, dan sayang sekali jika ada yang berani menemukan bukti apa pun mengenainya. Seseorang dapat memperoleh apa yang diinginkannya jika ia menggunakannya, dan hal-hal itulah yang telah menciptakan begitu banyak ketidakbahagiaan dan begitu banyak paradoks. Adakah yang bisa memikirkan hal yang lebih mengerikan daripada mengatakan hal itu
{{Block indent|left=1.6|1=0 = 1 − 2<sup>''2n''</sup> + 3<sup>''2n''</sup> − 4<sup>''2n''</sup> + etc.}}
dimana n adalah bilangan positif. Ini sesuatu untuk ditertawakan, teman-teman.<ref>{{harvnb|Grattan-Guinness|1970|p=80}}. Lihat {{harvnb|Markusevič|1967|p=48}}, untuk terjemahan berbeda dari [[bahasa Prancis]] asli; nadanya tetap sama.</ref>}}
Guru Cesàro, [[Eugène Charles Catalan]], juga meremehkan deret divergen. Di bawah pengaruh Catalan, Cesàro awalnya menyebut "rumus konvensional" untuk {{nowrap|1 − 2<sup>''n''</sup> + 3<sup>''n''</sup> − 4<sup>''n''</sup> + ...}} sebagai "persamaan yang tidak masuk akal", dan pada tahun 1883 Cesàro mengungkapkan pandangan umum pada saat itu bahwa rumus tersebut salah tetapi tetap saja entah bagaimana berguna secara formal. Terakhir, dalam ''Sur la multiplication des séries'' tahun 1890, Cesàro mengambil pendekatan modern yang dimulai dari definisi.{{sfn|Ferraro|1999|pp=120–128}}
Deret tersebut juga dipelajari untuk nilai non-integer ''n''; ini membentuk [[fungsi eta Dirichlet]]. Bagian dari motivasi Euler mempelajari deret yang berkaitan dengan {{nowrap|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} adalah [[persamaan fungsional]] fungsi eta, yang mengarah langsung ke persamaan fungsional [[fungsi zeta Riemann]]. Euler telah menjadi terkenal karena menemukan nilai-nilai fungsi ini pada [[Paritas (matematika)|bilangan bulat genap]] positif (termasuk masalah Basel), dan dia juga mencoba menemukan nilai-nilai pada [[Paritas (matematika)|bilangan bulat ganjil]] positif (termasuk [[konstanta Apéry]]), sebuah masalah yang masih sulit dipahami hingga saat ini. Fungsi eta khususnya lebih mudah ditangani dengan metode Euler karena deret Dirichletnya dapat dijumlahkan Abel di mana saja; deret Dirichlet fungsi zeta jauh lebih sulit untuk dijumlahkan jika ia menyimpang.{{sfn|Euler|Willis|Osler|2006|pp=20–25}} Misalnya, pasangan dari {{nowrap|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} dalam fungsi zeta adalah deret tak bolak-balik {{nowrap|[[1 + 2 + 3 + 4 + ⋯]]}}, yang memiliki penerapan mendalam dalam [[fisika]] modern namun membutuhkan lebih banyak kekuatan metode untuk menjumlahkan.
== Lihat juga ==
*[[1 + 2 + 3 + 4 + ⋯]]
*[[1 + 1 + 1 + 1 + ⋯]]
*[[1 + 2 + 4 + 8 + ⋯]]
==Referensi==
{{reflist|30em}}
==Daftar pustaka==
{{refbegin|2}}
* {{cite book
| last = Alabdulmohsin | first = Ibrahim M.
| chapter = Analytic summability theory
| doi = 10.1007/978-3-319-74648-7_4
| pages = 65–91
| publisher = Springer International Publishing
| title = Summability Calculus
| year = 2018
| isbn = 978-3-319-74647-0
}}
* {{cite book
| last = Beals | first = Richard | author-link = Richard Beals (mathematician)
| title = Analysis: An Introduction
| year = 2004
| publisher = Cambridge UP
| isbn = 978-0-521-60047-7
}}
* {{cite book
| last = Davis | first = Harry F.
| title = Fourier Series and Orthogonal Functions
| publisher = Dover
| isbn = 978-0-486-65973-2
| date = May 1989
}}
* {{cite web
| last1 = Euler | first1 = Leonhard
| last2 = Willis | first2 = Lucas
| last3 = Osler | first3 = Thomas J.
| title = Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series
| year = 2006
| publisher = The Euler Archive
| url = https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/352/
| access-date = 2007-03-22
}} Originally published as {{cite journal
| last = Euler | first = Leonhard
| title = Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques
| journal = Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin
| year = 1768
| volume = 17
| pages = 83–106
}}
* {{cite journal
| last = Ferraro | first = Giovanni
| title = The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics
| journal = Archive for History of Exact Sciences
| volume = 54
| issue = 2
| pages = 101–135
| doi = 10.1007/s004070050036
| date = June 1999
| s2cid = 119766124
}}
* {{cite book
| last = Grattan-Guinness | first = Ivor | author-link = Ivor Grattan-Guinness
| year = 1970
| title = The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann
| publisher = MIT Press
| isbn = 978-0-262-07034-8
| url-access = registration
| url = https://archive.org/details/developmentoffo00ivor
}}
* {{cite book
| last = Hardy | first = G. H. | author-link = G. H. Hardy
| title = Divergent Series
| year = 1949
| publisher = Clarendon Press
| lccn = 49005496
| oclc = 808787
| mr = 0030620
| pages = xvi+396
| isbn = 978-0-8218-2649-2
| no-pp = true
}} 2nd Ed. published by Chelsea Pub. Co., 1991. {{LCCN|91075377}}. {{ISBN|0-8284-0334-1}}.
* {{cite journal
| last = Kline | first = Morris | author-link = Morris Kline
| doi = 10.2307/2690371
| title = Euler and Infinite Series
| journal = Mathematics Magazine
| volume = 56
| issue = 5
| pages = 307–314
| jstor = 2690371
| date = November 1983
| citeseerx = 10.1.1.639.6923
}}
* {{cite book
| last = Knopp | first = Konrad
| title = Theory and Application of Infinite Series
| publisher = Dover Publications
| location = New York
| year = 1990
| lccn = 89071388
| isbn = 0486661652
}}
* {{cite book
| last = Lavine | first = Shaughan
| title = Understanding the Infinite
| year = 1994
| publisher = Harvard UP
| isbn = 978-0-674-92096-5
}}
* {{cite book
| last = Markusevič | first = Aleksej Ivanovič
| title = Series: fundamental concepts with historical exposition
| year = 1967
| edition = English translation of 3rd revised edition (1961) in Russian
| publisher = Hindustan Pub. Corp.
| lccn = sa68017528
| page = 176
| oclc = 729238507
| location = Delhi, India
}} Author also known as A. I. Markushevich and Alekseï Ivanovitch Markouchevitch. Also published in Boston, Mass by Heath with {{oclc|474456247}}. Additionally, {{oclc|208730}}, {{oclc|487226828}}.
* {{cite book
| last1 = Saichev | first1 = A. I.
| last2 = Woyczyński | first2 = W. A.
| title = Distributions in the Physical and Engineering Sciences, Volume 1
| publisher = Birkhaüser
| year = 1996
| isbn = 978-0-8176-3924-2
}}
* {{cite book
| last1 = Shawyer | first1 = Bruce
| last2 = Watson | first2 = Bruce
| isbn = 0-19-853585-6
| mr = 1320266
| publisher = The Clarendon Press, Oxford University Press, New York
| series = Oxford Mathematical Monographs
| title = Borel's Methods of Summability: Theory and Application
| year = 1994
}}
* {{cite journal
| last = Tucciarone | first = John
| title = The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925
| journal = Archive for History of Exact Sciences
| volume = 10
| issue = 1–2
| pages = 1–40
| doi = 10.1007/BF00343405
| date = January 1973
| s2cid = 121888821
}}
* {{cite book
| last = Vretblad | first = Anders
| title = Fourier Analysis and Its Applications
| url = https://archive.org/details/springer_10.1007-978-0-387-21723-9
| year = 2003
| publisher = Springer
| isbn = 978-0-387-00836-3
}}
*{{cite book
| last = Weidlich | first = John E.
| title = Summability methods for divergent series
| publisher = Stanford M.S. theses
| oclc = 38624384
| date = June 1950
}}
{{refend}}<br />{{Deret (matematika)}}
{{DEFAULTSORT:1 - 2 + 3 - 4 +}}
[[Kategori:Bilangan]]
[[Kategori:Deret divergen]]
| |||