|
== Teori aritmetika orde pertama ==
Semua aksioma Peano kecuali aksioma kesembilan (aksioma induksi) adalah pernyataan dalam [[logika orde pertama]].{{sfn|Partee|Ter Meulen|Wall|2012|page=215}} Operasi aritmatikaaritmetika penjumlahan dan perkalian dan hubungan urutan juga dapat ditentukan menggunakan aksioma orde pertama. Aksioma induksi ada di [[logika orde kedua | orde kedua]], karena [[Pembilang (logika) | mengkuantifikasi]] melebihi predikat (setara, kumpulan bilangan asli daripada bilangan asli), tetapi dapat diubah menjadi induksi orde pertama '' [[skema aksioma]] ''. Skema seperti itu mencakup satu aksioma per predikat yang dapat didefinisikan dalam bahasa orde pertama aritmatikaaritmetika Peano, membuatnya lebih lemah daripada aksioma orde kedua.{{sfnp|Harsanyi|1983}} Alasan yang lebih lemah adalah bahwa jumlah predikat dalam bahasa orde pertama dapat dihitung, sedangkan jumlah himpunan bilangan asli tidak dapat dihitung. Jadi, ada himpunan yang tidak bisa dideskripsikan dalam bahasa urutan pertama (pada kenyataannya, sebagian besar himpunan memiliki sifat ini).
Aksiomatisasi orde pertama aritmatikaaritmetika Peano memiliki batasan teknis lain. Dalam logika orde kedua, dimungkinkan untuk menentukan operasi penjumlahan dan perkalian dari [[fungsi penerus | operasi penerus]], tetapi ini tidak dapat dilakukan dalam pengaturan logika orde pertama yang lebih ketat. Oleh karena itu, operasi penjumlahan dan perkalian secara langsung dimasukkan dalam [[tanda tangan (logika) | tanda tangan]] aritmatikaaritmetika Peano, dan aksioma dimasukkan yang menghubungkan ketiga operasi satu sama lain.
Daftar aksioma berikut (bersama dengan aksioma persamaan yang biasa), yang berisi enam dari tujuh aksioma [[aritmetika Robinson]], cukup untuk tujuan ini:{{sfn|Mendelson|1997|page=155}}
* <math>\forall x, y \ (x \cdot S ( y ) = x \cdot y + x )</math>
Selain daftar aksioma numerik ini, aritmatikaaritmetika Peano berisi skema induksi, yang terdiri dari [[himpunan yang dapat dihitung secara rekursif | dapat dihitung secara rekursif]] dari [[aksioma]]. Untuk setiap rumus {{nowrap|''φ''<math>\varphi(''x'', ''y''<sub>1</sub>y_1, ...\dots, ''y''<sub>''k''y_k)</submath>)}} dalam bahasa aritmatikaaritmetika Peano, '''aksioma induksi orde pertama''' untuk ''φ'<math>\varphi</math> 'adalah kalimat
:<math>\forall \bar{y} ((\varphi(0,\bar{y}) \land \forall x ( \varphi(x,\bar{y})\Rightarrow\varphi(S(x),\bar{y}))) \Rightarrow \forall x \varphi(x,\bar{y}))</math>
dimana <math>\bar{y}</math> adalah singkatan dari ''y''<sub>1</submath>y_1,... \dots,''y''<sub>''k'' y_k</submath>. Skema induksi orde pertama menyertakan setiap instancecontoh aksioma induksi orde pertama, yaitu, menyertakan aksioma induksi untuk setiap rumus '' φ ''.
=== Aksiomatisasi setara ===
Ada banyak aksiomatizasiaksiomatisasi aritmatikaaritmetika Peano yang berbeda, tetapi setara. Sementara beberapa aksioma, seperti yang baru saja dijelaskan, menggunakan tanda tangan yang hanya memiliki simbol untuk 0 dan operasi penerus, penjumlahan, dan perkalian, aksiomatizasiaksiomatisasi lain menggunakan bahasa [[gelanggang terurut | semiring terurut]], termasuk simbol hubungan ketertiban tambahan. Salah satu aksiomatisasi tersebut dimulai dengan aksioma-aksioma berikut yang menggambarkan semiring terurut diskrit.{{sfn|Kaye|1991|pages=16–18}}
<!-- Aksioma-aksioma ini diambil langsung dari Kaye 1991. Harap jangan "mengubah" mereka, menambahkan aksioma tambahan, atau menghapus aksioma tanpa diskusi di halaman pembicaraan. -->
# <math>\forall x, y, z \ ( (x + y) + z = x + (y + z) )</math>, yaitu, penambahan adalah [[sifat asosiatif | asosiatif]].
# <math>\forall x, y \ ( x + y = y + x )</math>, yaitu, penambahan adalah [[sifat komutatif | komutatif]].
# <math>\forall x, y, z \ ( (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z) )</math>, i.e.yaitu, multiplicationperkaliannya isadalah associativeasosiatif.
# <math>\forall x, y \ ( x \cdot y = y \cdot x )</math>, yaitu, perkalian bersifat komutatif.
# <math>\forall x, y, z \ ( x \cdot (y + z) = (x \cdot y) + (x \cdot z) )</math>, yaitu, perkalian [[sifat distributif | mendistribusikan]] melebihiatas penjumlahanpenambahan.
# <math>\forall x \ ( x + 0 = x \land x \cdot 0 = 0 )</math>, yaitu, nol adalah [[elemen identitas | identitas]] untuk penjumlahanpenambahan, dan [[elemen penyerap]] untuk perkalian (sebenarnya berlebihan{{NoteTag|"<math> \forall x \ ( x \cdot 0 = 0 ) </math>" dapat dibuktikan dari aksioma lainnya (pada logika orde pertama) sebagai berikut. Pertama, <math> x \cdot 0 + x \cdot 0 = x \cdot (0+0) = x \cdot 0 = x \cdot 0 + 0 </math> dengan distribusi dan identitas aditif. Kedua, <math> x \cdot 0 = 0 \lor x \cdot 0 > 0 </math> dengan Aksioma 15. Jika <math> x \cdot 0 > 0 </math> kemudian <math> x \cdot 0 + x \cdot 0 > x \cdot 0 + 0 </math> by penambahan elemen dan komutativitas yang sama, dan karenanya <math> x \cdot 0 + 0 > x \cdot 0 + 0 </math> dengan substitusi, bertentangan dengan ketidakfleksibelantakrefleksif. Oleh karena itu, ini harus haruslahbahwa <math> x \cdot 0 = 0 </math>.}}).
# <math>\forall x \ ( x \cdot 1 = x )</math>, yaitu, satu adalah [[elemen identitas | identitas]] untuk perkalian.
# <math>\forall x, y, z \ ( x < y \land y < z \Rightarrow x < z )</math>, yaitu, operator '<math><</math>' adalah [[relasi transitif | transitif]].
# <math>\forall x \ ( \neg (x < x) )</math>, yaitu, operator '<math><</math>' adalah [[Relasi refleksif | tidak refleksif]].
<!--
# <math>\forall x, y \ ( x < y \lor x = y \lor y < x )</math>, i.e., the ordering satisfies [[trichotomy (mathematics)|trichotomy]].
|
