Wikipedia

Faktor persekutuan terbesar: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
InternetArchiveBot (bicara | kontrib)
Bot
651.988 suntingan
Rescuing 7 sources and tagging 0 as dead.) #IABot (v2.0.9.5
 
(23 revisi perantara oleh 6 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
Dalam [[matematika]], khususnya [[teori bilangan]], '''faktor persekutuan terbesar''' atau dikenal juga sebagai [[persekutuan bilangan terbesar]] (dilambangkan <math>\operatorname{FPB}</math><ref name=":4">{{Cite news|last=Itsnaini|first=Faqihah Muharroroh|title=Apa Perbedaan KPK dan FPB? Ini Penjelasannya|url=https://www.detik.com/edu/detikpedia/d-5379049/apa-perbedaan-kpk-dan-fpb-ini-penjelasannya|work=[[Detik.com|detikcom]]|language=id-ID|access-date=2021-11-14|archive-date=2022-09-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20220928031226/https://www.detik.com/edu/detikpedia/d-5379049/apa-perbedaan-kpk-dan-fpb-ini-penjelasannya|dead-url=no}}</ref> atau <math>\operatorname{PBT}</math><ref>Suci Yuniati, [https://jurnalbeta.ac.id/index.php/betaJTM/article/download/74/81/295 MENENTUKAN KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK) DAN FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB) DENGAN MENGGUNAKAN METODE “PEBI”] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220527054533/https://jurnalbeta.ac.id/index.php/betaJTM/article/download/74/81/295 |date=2022-05-27 }}, hlm. 158</ref> dalam [[bahasa Indonesia]], dan <math>\gcd</math> dalam [[bahasa Inggris]], [[Daftar singkatan matematis|abreviasi]] dari kata ''greatest common divisor''<ref>{{Cite web|title=Definition of greatest common divisor {{!}} Dictionary.com|url=https://www.dictionary.com/browse/greatest-common-divisor|website=www.dictionary.com|language=en|access-date=2021-11-14|archive-date=2023-03-24|archive-url=https://web.archive.org/web/20230324101637/https://www.dictionary.com/browse/greatest-common-divisor|dead-url=no}}</ref>) terhadap bilangan adalah [[bilangan bulat]] terbesar yang membagi setiap bilangan bulat. Sebagai contoh, diberikan bilangan bulat <math>12</math> dan <math>20</math>. Maka, <math>\operatorname{FPB}(12,20) = 4</math>. Mengenai cara-cara dan metode akan dijelaskan di bawah.
Dalam [[matematika]], '''Faktor Persekutuan Terbesar''' (FPB atau Faktor Pembagi Terbesar) dari dua bilangan adalah [[bilangan bulat]] positif terbesar yang dapat membagi habis kedua bilangan tersebut.
 
Gagasan faktor persekutuan terbesar dapat diperluas melalui polinomial, lihat [[faktor persekutuan terbesar polinomial]] atau [[persekutuan bilangan terbesar polinomial]] untuk melihat lebih lanjut.
Dalam [[bahasa Inggris]], FPB dikenal dengan ''Greatest Common Divisor'' (GCD), sering juga disebut sebagai ''Greatest Common Factor'' (GCF) atau ''Highest Common Factor'' (HCF).
 
Dua buah bilangan dikatakan saling prima [[Jika dan hanya jika|jika dan hanya]] jika FPB dari kedua bilangan tersebut bernilai 1.
 
== Notasi ==
Untuk <math>a</math> dan <math>b</math> bilangan bulat sembarang, notasi faktor persekutuan terbesar dinotasikan sebagai <math>\operatorname{FPB}(a,b)</math> atau <math>\operatorname{PBT}(a,b)</math>. Dalam versi bahasa Inggris, dinotasikan sebagai <math>\gcd(a,b)</math> atau <math>\operatorname{GCD}(a,b)</math>. Ada beberapa penulisan notasi faktor persekutuan terbesar, yaitu <math>\operatorname{g.c.d}(a,b)</math> atau <math>(a,b)</math>.<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Greatest Common Divisor|url=https://mathworld.wolfram.com/GreatestCommonDivisor.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2021-11-20|archive-date=2023-04-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20230406035526/https://mathworld.wolfram.com/GreatestCommonDivisor.html|dead-url=no}}</ref>
Pada artikel ini, FPB dari dua buah bilangan a dan b ditulis sebagai FPB (a, b). Beberapa penulis menuliskannya sebagai (a, b).
 
== ContohDefinisi ==
Misalkan <math>a</math> dan <math>b</math> adalah dua bilangan bulat yang diberikan. Misalkan <math>d </math> membagi <math>a</math> dan <math>b</math> dan <math>d</math> [[bilangan asli]] terbesar, maka faktor persekutuan terbesar terhadap bilangan bulat <math>a</math> dan <math>b</math> adalah<ref>{{Cite web|date=2017-09-20|title=8.1: The Greatest Common Divisor|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Mathematical_Logic_and_Proof/Book%3A_Mathematical_Reasoning__Writing_and_Proof_(Sundstrom)/8%3A_Topics_in_Number_Theory/8.1%3A_The_Greatest_Common_Divisor|website=Mathematics LibreTexts|language=en|access-date=2021-11-21|archive-date=2021-11-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20211121014446/https://math.libretexts.org/Bookshelves/Mathematical_Logic_and_Proof/Book:_Mathematical_Reasoning__Writing_and_Proof_(Sundstrom)/8:_Topics_in_Number_Theory/8.1:_The_Greatest_Common_Divisor|dead-url=no}}</ref>
Cara sederhana dapat digunakan untuk mencari FPB dari 2 atau 3 [[bilangan]] yang tidak terlalu besar, namun untuk bilangan yang lebih besar dapat digunakan cara pemfaktoran.
 
{{Equation box 1
=== Cara sederhana ===
|indent =:
|title=
|equation = <math>\operatorname{FPB}(a,b) = d</math>.
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}
 
Lebih umumnya lagi, untuk sebarang bilangan bulat <math>a_1, \dots, a_n</math> dan <math>d</math> [[bilangan asli]] terbesar yang membagi <math>a_1, \dots, a_n</math>, maka faktor persekutuan terbesarnya adalah<ref name=":0" />
Mencari FPB dari '''12''' dan '''20''':
* Faktor dari 12 = 1, 2, 3, '''4''', 6 dan 12
* Faktor dari 20 = 1, 2, '''4''', 5, 10 dan 20
* FPB dari 12 dan 20 adalah faktor sekutu (sama) yang terbesar, yaitu '''4'''.
Mencari FPB dari '''15''' dan '''25''':
* Faktor dari 15 = 1, 3, '''5''', dan 15
* Faktor dari 25 = 1, '''5''', dan 25
* FPB dari 15 dan 25 adalah faktor sekutu (sama) yang terbesar, yaitu '''5'''.
 
{{Equation box 1
=== Cara pemfaktoran ===
|indent =:
Mencari FPB dari bilangan 147, 189 dan 231:
|title=
* Buat pohon faktor dari masing-masing bilangan:
|equation = <math>\operatorname{FPB}(a_1,\dots,a_n) = d</math>.
|cellpadding= 6
147 189 231
|border
/\ /\ /\
|border colour = #0073CF
3 49 3 63 3 77
|background colour=#F5FFFA}}
/\ /\ /\
7 7 7 9 7 11
/\
3 3
 
== Sifat ==
* Susun bilangan dari pohon faktor untuk mendapatkan faktorisasinya:
{{Sect-stub}}
:Faktorisasi 147 = '''3<sup>1</sup>''' x 7<sup>2</sup>
Berikut adalah sifat-sifat faktor persekutuan terbesar, antara lain:
:Faktorisasi 189 = 3<sup>3</sup> x '''7<sup>1</sup>'''
:Faktorisasi 231 = '''3<sup>1</sup>''' x '''7<sup>1</sup>''' x 11<sup>1</sup>
 
* Untuk sebarang bilangan bulat positif <math>a,b,d</math>, bila <math>d</math> membagi <math>a</math> dan <math>b</math>, maka <math>d \mid \operatorname{FPB}(a,b)</math>.
* Ambil faktor-faktor yang sekutu (sama) dari ketiga faktorial tersebut, dalam hal ini '''3''' dan '''7'''.
* Untuk sebarang bilangan bulat positif <math>a,b</math>, <math>\operatorname{FPB}(a,b) = b</math> jika dan hanya jika <math>b \mid a</math>.
* Kalikan faktor-faktor sekutu yang memiliki pangkat terkecil, dalam hal ini '''3<sup>1</sup>''' x '''7<sup>1</sup>''' = 21.
* Untuk sebarang bilangan bulat positif <math>a,b,d</math>, <math>\operatorname{FPB}(ad,bd) = d \cdot \operatorname{FPB}(a,b)</math>.
* Maka FPB dari bilangan 147, 189 dan 231 adalah '''21'''. Dengan kata lain, tidak ada bilangan yang lebih besar dari 21 yang dapat membagi habis bilangan 147, 189 dan 231.
* <math>\operatorname{FPB}(a,0) = \operatorname{FPB}(0,a) = |a|</math>, sifat ini sangat penting dalam kalkulasi [[algoritme Euklides]]
* Contoh soal
** Ibu Rogu memiliki 96 buah rambutan, 48 buah mangga serta 72 buah apel. Buah-buahan dibagikan secara rata-rata kepada teman-teman Rogu. Berapa banyak anak mendapatkan buah-buahan secara rata? berapa jumlah masing-masing buah yang dibagikan kepada anak-anak?
: 96 = 2<sup>5</sup> x 3
: 48 = 2<sup>4</sup> x 3
: 72 = 2<sup>3</sup> x 3<sup>3</sup>
FPB dari 48, 72 dan 96 adalah 2<sup>3</sup> x 3 = 24 anak
 
== Contoh ==
jadi banyak anak mendapatkan buah-buahan secara rata adalah 24.
Terdapat cara sederhana mengenai pencarian suatu faktor persekutuan terbesar terhadap dua bilangan. Sebagai contoh, kita ambil contoh bilangan bulat di atas sebelumnya, yakni <math>12</math> dan <math>20</math>. Untuk mengetahui mengapa <math>\operatorname{FPB}(12,20) = 4</math>, kita perhatikan faktor-faktor dari kedua bilangan di bawah ini.
 
untuk masing-masing buah
: 96/24 = 4; 48/24 = 2; 72/24 = 3
 
jadi jumlah masing-masing buah yang dibagikan kepada anak-anak adalah 4 buah rambutan, 2 buah mangga serta 3 buah apel.
 
Untuk pembahasan mengenai [https://penapengajar.com/materi-kpk-dan-fpb-kelas-4/ materi KPK dan FPB] kelas 4 secara lengkap, bisa anda baca ditautan ini.
 
=== Contoh soal cerita yang berkaitan dengan FPB ===
 
# Untuk lauk buka nanti sore Ibu menggoreng 15 tempe dan 25 tahu. Setelah itu tempe dan tahu goreng diletakkan di atas piring dengan jumlah yang sama. Maka Ibu harus menyediakan pring sebanyak . . . buah.
# Ratna membuat rangkaian bunga dari 60 tangkai mawar merah, 90 tangkai mawar putih, dan 105 tangkai mawar merah muda. Setiap rangkaian bunga terdiri dari bunga mawar merah, mawar putih, dan mawar merah muda dengan jumlah yang sama banyak. Maka rangkaian bunga paling banyak yang dapat dibuat Ratna adalah . . .  buah.
 
Jawaban:
 
* Faktor dari <math>12</math> adalah <math>1, 2, 3, {\color{red}{4}}, 6, 12</math>
1. 15 = 3 x 5
* Faktor dari <math>20</math> adalah <math>1, 2, {\color{red}{4}}, 5, 10, 20</math>
 
Karena faktor persekutuan terbesar dua bilangan adalah [[bilangan bulat]] terbesar yang membagi setiap bilangan bulat, maka kita simpulkan <math>\operatorname{FPB}(12,20) = 4</math>. Terdapat cara lain untuk mengerjakan ini.
25 = 5 x 5 atau 5²
 
=== Pohon faktor ===
Maka FPB dari 15 dan 25 adalah 5. Jadi jumlah piring yang harus disediakan oleh ibu adalah 5 buah piring.
Sebagai contoh, tinjau kedua bilangan di atas. Kita buatkan pohon faktor dari masing-masing bilangan:
12 20
/\ /\
3 4 2 10
/\ /\
2 2 2 5
 
Kita memperoleh <math>12 = {\color{red}{2^2}} \times 3</math> dan <math>20 = {\color{red}{2^2}} \times 5</math>, maka, <math>\operatorname{FPB}(12,20) = 2^2</math>, di mana hasilnya adalah <math>4</math>.
2. 60 = 2 x 2 x 3 x 5 atau 2² x 3 x 5
[[Berkas:24x60.svg|jmpl|Sebuah ubin dengan ukuran 24 kali 60, masing-masing dibagi menjadi ukuran yang sama, yang terbesar adalah 12 kali 12.]]
 
=== Visualisasi geometri ===
90 = 2 x 3 x 3 x 5 atau 2 x 3² x 5
Ada cara lain untuk mengetahui faktor persekutuan terbesar, yaitu melalui visualisasi geometri. Sebagai contoh, pada gambar di samping kanan, kita memperoleh ubin dengan ukuran 24 kali 60. Ubin tersebut kita bagi lagi menjadi 1 kali 1, 2 kali 2, 3 kali 3, 4 kali 4, 6 kali 6, dan terbesarnya adalah 12 kali 12. Jadi, 12 merupakan faktor persekutuan terbesar dari 24 dan 60, karena <math>\tfrac{24}{12} = 2</math> dan <math>\tfrac{60}{12} = 5</math>.
 
== Koprima ==
105 = 3 x 5 x 7
{{Main|Koprima (bilangan)}}
Dua buah bilangan dikatakan [[Koprima (bilangan)|koprima]], atau [[relatif prima]], atau [[saling prima]] [[jika dan hanya jika]] faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut bernilai 1.<ref name=":0" />
 
== Penerapan ==
Maka FPB dari 60, 90 dan 105 adalah 3 x 5 = 15. Jadi jumlah rangkaian bunga paling banyak yang dapat dibuat Ratna adalah 15 buah.
=== Menyederhanakan pecahan ===
Salah satu penerapan terhadap faktor persekutuan terbesar adalah menyederhanakan pecahan<ref>{{Cite web|title=Greatest Common Factor|url=https://www.mathsisfun.com/greatest-common-factor.html|website=www.mathsisfun.com|access-date=2021-11-21|archive-date=2005-10-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20051029072949/https://www.mathsisfun.com/greatest-common-factor.html|dead-url=no}}</ref>. Sebagai contoh, tinjau pecahan <math>\frac{4}{8}</math>. Kita dapat sederhanakan pecahan ini dengan menggunakan faktor persekutuan terbesar. Faktor persekutuan terbesar dari <math>4</math> dan <math>8</math> adalah <math>\operatorname{FPB}(4,8) = 2</math>. Kita tuliskan sebagai
:<math>\frac{4}{8} = \frac{2 \times 2}{2 \times 4} = \frac{1}{2}</math>.
 
=== Kelipatan persekutuan terkecil ===
{{Main|Kelipatan persekutuan terkecil}}
Selain digunakan untuk menyederhanakan sebuah pecahan, faktor persekutuan terbesar juga dapat diterapkan dalam kelipatan persekutuan terkecil, di mana hubungan keduanya berkaitan dengan rumus berikut.
{{Equation box 1
|indent =:
|title=
|equation = <math>\operatorname{KPK}(a,b) = \frac{ab}{\operatorname{FPB}(a,b)}</math>.<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Least Common Multiple|url=https://mathworld.wolfram.com/LeastCommonMultiple.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2021-11-21|archive-date=2023-05-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20230516001830/https://mathworld.wolfram.com/LeastCommonMultiple.html|dead-url=no}}</ref>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}
== Algoritme Euklidean ==
{{Bagian tanpa referensi|date=November 2021}}
Cara lain untuk mencari '''FPB''' adalah dengan menggunakan [[algoritme Euklidean]]. Misalkan a dan b adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka algoritme Euklidean adalah sebagai berikut:
 
Baris 112 ⟶ 114:
* [[Kelipatan persekutuan terkecil]] (KPK)
 
== Rujukan ==
<references />
{{Authority control}}
 
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Faktor_persekutuan_terbesar"