Fungsi kontinu: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k clean up |
Rescuing 3 sources and tagging 0 as dead.) #IABot (v2.0.9.5 |
||
| (Satu revisi perantara oleh satu pengguna lainnya tidak ditampilkan) | |||
Baris 21:
Terdapat beberapa definisi berbeda mengenai kekontinuan (secara global) dari fungsi, yang bergantung dari bentuk [[Domain fungsi|domain]] fungsi tersebut. Sebuah fungsi dikatakan kontinu pada [[Selang (matematika)|selang buka]] jika selang tersebut berada dalam domain fungsi, dan jika fungsi kontinu di setiap titik di selang tersebut. Fungsi yang kontinu pada selang <math>(-\infty, +\infty)</math> (yakni seluruh [[Garis bilangan real|garis bilangan]]) umumnya cukup disebut sebagai ''fungsi kontinu''; sebagian menyebut fungsi tersebut ''kontinu dimanapun''. Sebagai contoh, semua [[fungsi polinomial]] kontinu dimanapun. Sebuah fungsi dikatakan kontinu pada [[Selang (matematika)|selang semi-buka]] atau pada [[Selang (matematika)|selang tutup]], jika selang tersebut berada dalam domain fungsi, fungsi kontinu di setiap titik dalam (interior) di selang tersebut, dan nilai fungsi pada ujung selang sama dengan nilai limit fungsi ketika variabel fungsi tersebut mendekati ujung selang dari sisi dalam selang. Sebagai contoh, fungsi <math>f(x) = \sqrt{x}</math> kontinu pada selang tutup-buka <math>[0,+\infty)</math>; karena selang tersebut berada dalam domain fungsi (lebih tepatnya, selang tersebut ''adalah'' domain dari fungsi), fungsi kontinu di setiap titik di <math>(0,+\infty)</math>, dan nilai <math>f(0)</math> sama dengan nilai <math>\lim f(x)</math> ketika <math>x\to0</math> dari arah kanan.
Sebuah fungsi dikatakan ''takkontinu'' pada suatu titik, jika titik tersebut berada di [[Ketertutupan (topologi)|ketertutupan (''closure)'']] dari domainnya, dan jika titik tersebut bukan bagian domain fungsi atau fungsi tidak kontinu pada titik tersebut. Sebagai contoh, fungsi <math display="inline">x\mapsto \frac {1}{x}</math> dan <math display="inline">x\mapsto \sin(\frac {1}{x})</math> takkontinu di <math>x=0</math>, dan tetap takkontinu bahkan ketika nilai fungsi di titik tersebut didefinisikan. Titik dimana fungsi takkontinu disebut titik ''ketakkontinuan'' atau ''diskontinuitas''.<ref>{{Cite web|title=Discontinuity|url=http://bahasasastra.kemdikbud.go.id/glosarium/index.php?gloss_asing=discontinuity&gloss_indonesia=&jenis=exact&Bidang=3&infocmd=Cari|website=Glosarium - Pusat Bahasa Departemen Pendidikan Nasional Republik Indonesia|access-date=2022-03-12|archive-date=2023-06-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20230613110137/http://bahasasastra.kemdikbud.go.id/glosarium/index.php?gloss_asing=discontinuity&gloss_indonesia=&jenis=exact&Bidang=3&infocmd=Cari|dead-url=no}}</ref>
Banyak fungsi yang ditemui umumnya memiliki domain berupa seluruh [[bilangan real]], kecuali untuk beberapa [[titik pencil]]. Contoh fungsi jenis ini adalah fungsi <math display="inline">x \mapsto \frac {1}{x}</math> dan <math>x\mapsto \tan x.</math> Ketika dibahas dalam konteks domain mereka, fungsi jenis ini dapat dikatakan kontinu, walaupun tidak kontinu dimanapun. Dalam konteks lain, khususnya perilaku fungsi di sekitar titik-titik istimewa seperti <math>x=0</math> untuk <math display="inline">x \mapsto \frac {1}{x}</math>, fungsi jenis ini termasuk fungsi takkontinu.
Baris 77:
</math>
fungsi <math>G(x)</math> bersifat kontinu pada semua bilangan real. Istilah ''ketakkontinuan terhapuskan''<ref>{{Cite web|title=Removeable discontinuity|url=http://bahasasastra.kemdikbud.go.id/glosarium/index.php?gloss_asing=removable+discontinuity&gloss_indonesia=&jenis=contain&Bidang=3&infocmd=Cari|website=Glosarium - Pusat Bahasa Departemen Pendidikan Republik Indonesia|access-date=2022-03-14|archive-date=2023-06-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20230613110138/http://bahasasastra.kemdikbud.go.id/glosarium/index.php?gloss_asing=removable+discontinuity&gloss_indonesia=&jenis=contain&Bidang=3&infocmd=Cari|dead-url=no}}</ref> digunakan untuk menyebut titik takkontinu yang dapat didefinisikan (ulang) agar fungsi bersifat kontinu di titik tersebut.
Konstruksi fungsi kontinu yang lebih rumit melibatkan [[komposisi fungsi]]. Misalkan dua fungsi kontinu<math display="block">g : D_g \subseteq \R \to R_g \subseteq \R \quad \text{ dan } \quad f : D_f \subseteq \R \to R_f \subseteq D_g,</math>fungsi komposisi keduanya, yang dituliskan sebagai <math>c = g \circ f : D_f \to R_g</math> dan didefinisikan oleh <math>c(x) = g(f(x)),</math> adalah fungsi kontinu. Konstruksi ini dapat digunakan untuk membuktikan, sebagai contoh fungsi <math>e^{\sin(\ln x)}</math>, bersifat kontinu untuk semua <math>x > 0.</math>
Baris 105:
: <math>f(x) = \begin{cases}
\sin\left(x^{-2}\right)&\text{
0&\text{
\end{cases}</math>
Baris 163:
Semua fungsi kontinu Hölder bersifat kontinu seragam. Kasus khusus <math>\alpha=1</math> disebut sebagai [[Fungsi Lipschitz|kekontinuan Lipschitz]]. Artinya, suatu fungsi kontinu Lipschitz jika ada konstanta ''<math>K</math>'' sedemikian rupa sehingga pertidaksamaan
:<math>d_Y (f(b), f(c)) \leq K \cdot d_X (b, c)</math>
berlaku untuk sembarang <math>b,c\in X</math>.<ref>{{Citation | last1=Searcóid | first1=Mícheál Ó | title=Ruang metrik | url=https://books.google.com/books?id=aP37I4QWFRcC | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Springer undergraduate mathematics series | isbn=978-1-84628-369-7 | year=2006 | accessdate=2020-09-04 | archive-date=2023-07-26 | archive-url=https://web.archive.org/web/20230726135016/https://books.google.com/books?id=aP37I4QWFRcC | dead-url=no }}, bagian 9.4</ref> Kondisi Lipschitz digunakan contohnya dalam [[teorema Picard – Lindelöf]] yang membahas tentang solusi [[persamaan diferensial biasa]].
==Konsep yang berkaitan==
| |||