Fungsi kontinu: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k ←Suntingan 202.93.37.89 (bicara) dikembalikan ke versi terakhir oleh Thijs!bot |
Rescuing 3 sources and tagging 0 as dead.) #IABot (v2.0.9.5 |
||
| (30 revisi perantara oleh 16 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{Kalkulus}}
Dalam [[matematika]], '''fungsi kontinu''' dalam adalah jenis [[fungsi (matematika)|fungsi]] yang perubahan secara kontinu (sinambung, tanpa terpotong) pada variabel fungsi mengakibatkan perubahan kontinu pada nilai keluaran fungsi. Hal ini mengartikan nilai fungsi tidak pernah mengalami perubahan yang mendadak/tiba-tiba. Gagasan intuitif kekontinuan mengilustrasikan fungsi kontinu sebagai fungsi yang grafiknya dapat digambar tanpa mengangkat kapur dari papan tulis. Secara lebih teknis, fungsi dikatakan kontinu jika perubahan kecil pada nilai fungsi dapat dipastikan cukup dengan membuat perubahan kecil pada variabelnya. Fungsi yang ''tidak kontinu'' dikatakan '''fungsi takkontinu''' atau '''fungsi diskontinu'''. Sampai pada abad ke-19, matematikawan sangat mengandalkan konsep kekontinuan yang intuitif. Hal ini berubah sejak [[Limit|definisi epsilon-delta dari limit]] diperkenalkan untuk memformalkan definisi kekontinuan.
Kekontinuan adalah salah satu konsep inti dalam [[kalkulus]] dan [[analisis matematika]], yang membahas fungsi dengan keluaran maupun variabelnya dapat berupa bilangan [[Bilangan real|real]] atau [[Bilangan kompleks|kompleks]]. Konsep kekontinuan juga diperumum untuk fungsi antar [[ruang metrik]] dan antar [[ruang topologis]]. Fungsi jenis terakhir adalah fungsi kontinu yang paling umum, dan definisinya menjadi dasar ilmu [[topologi]].
Sebagai contoh
==Sejarah==
Suatu bentuk [[Limit#Kekontinuan|definisi epsilon-delta untuk kekontinuan]] pertama kali diberikan oleh [[Bernard Bolzano]] pada tahun 1817. [[Augustin-Louis Cauchy]] mendefinisikan kekontinuan <math>y=f(x)</math> sebagai berikut: perubahan yang tak hingga kecilnya pada nilai <math>\alpha</math> dari variabel bebas <math>x</math>, akan selalu menghasilkan perubahan yang tak hingga kecilnya pada nilai <math>f(x+\alpha)-f(x)</math> dari variabel terikat <math>y</math> (lihat ''[[Cours d'Analyse]]'', hal. 34). Cauchy mendefinisikan besaran yang sangat kecil dalam bentuk besaran variabel, dan definisinya tentang kontinuitas sangat mirip dengan definisi [[infinitesimal]] yang digunakan saat ini (lihat [[mikrokontinuitas]]).
Definisi formal dan perbedaan antara kekontinuan bagian-demi-bagian (''pointwise'') dengan [[kekontinuan seragam]] pertama kali dinyatakan oleh Bolzano pada tahun 1830-an, tetapi karya tersebut tidak dipublikasikan sampai tahun 1930-an. Sama seperti Bolzano,<ref>{{citation|last1=Bolzano|first1=Bernard|title=Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewaehren, wenigstens eine reele Wurzel der Gleichung liege|publisher=Haase|location=Prague|date=1817}}</ref> [[Karl Weierstrass]]<ref>{{Citation | last1=Dugac | first1=Pierre | title=Eléments d'Analyse de Karl Weierstrass | journal=Arsip untuk Sejarah Ilmu Tepat | year=1973 | volume=10 | pages=41–176 | doi=10.1007/bf00343406}}</ref> menolak mengganggap fungsi bersifat kontinu di suatu titik <math>c</math> jika nilai fungsi tersebut tidak terdefinisi di <math>c</math> dan di kedua sisi titik itu. Tetapi [[Édouard Goursat]]<ref>{{Citation | last1=Goursat | first1=E. | title=Sebuah kursus dalam analisis matematika | publisher=Ginn | location=Boston | year=1904 | page=2}}</ref> memperbolehkan fungsi untuk hanya didefinisikan di <math>c</math> dan di salah satu sisinya. Sedangkan [[Camille Jordan]]<ref>{{Citation | last1=Jordan | first1=M.C. | title=Cours d'analyse de l'École polytechnique | publisher=Gauthier-Villars | location=Paris | edition=2nd |year=1893 | volume=1|page=46}}</ref> bertindak jauh dengan mengijinkan fungsi bersifat kontinu bahkan jika fungsi hanya terdefinisi di titik <math>c</math>. Ketiga definisi yang berbeda tentang kekontinuan bagian-demi-bagian itu masih digunakan saat ini.<ref>{{Citation|last1=Harper|first1=J.F.|title=Mendefinisikan kesinambungan fungsi nyata dari variabel nyata|journal=BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics|year=2016|doi=10.1080/17498430.2015.1116053|pages=1–16}}</ref> Terbitan oleh [[Eduard Heine]] pada tahun 1872 memberikan definisi pertama mengenai kekontinuan seragam, tetapi gagasan itu didasarkan pada kuliah yang diberikan oleh [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] pada tahun 1854.<ref>{{citation|last1=Rusnock|first1=P.|last2=Kerr-Lawson|first2=A.|title=Bolzano dan keseragaman kontinuitas|journal=Historia Mathematica|volume=32|year=2005|pages=303–311|issue=3|doi=10.1016/j.hm.2004.11.003}}</ref>
== Fungsi real ==
=== Definisi
[[Berkas:Function-1_x.svg|jmpl|Fungsi <math>f(x)=\tfrac 1 x</math> kontinu pada domainnya (<math>\R\setminus \{0\}</math>), tetapi tidak kontinu di titik <math>x=0</math>]]
Sebuah fungsi real, yakni [[Fungsi (matematika)|fungsi]] yang memetakan [[bilangan real]] ke bilangan real, dapat dinyatakan oleh sebuah [[Grafik fungsi|grafik]] di [[Sistem koordinat Kartesius|bidang Kartesius]]. Dinyatakan secara informal, fungsi tersebut kontinu jika grafik dari fungsi berupa satu [[kurva]] utuh dengan [[Ranah fungsi|domainnya]] adalah seluruh [[Garis bilangan real|garis bilangan]]. Definisi matematis yang lebih tegas (''rigor'') diberikan pada bagian artikel di bawah.<ref>{{cite web|last1=Speck|first1=Jared|year=2014|title=Continuity and Discontinuity|url=http://math.mit.edu/~jspeck/18.01_Fall%202014/Supplementary%20notes/01c.pdf|website=MIT Math|page=3|archive-url=https://web.archive.org/web/20161006014646/http://math.mit.edu/~jspeck/18.01_Fall%202014/Supplementary%20notes/01c.pdf|archive-date=2016-10-06|access-date=2016-09-02|quote=Example 5. The function <math>1/x</math> is continuous on <math>(0, \infty)</math> and on <math>(-\infty, 0),</math> i.e., for <math>x > 0</math> and for <math>x < 0,</math> in other words, at every point in its domain. However, it is not a continuous function since its domain is not an interval. It has a single point of discontinuity, namely <math>x = 0,</math> and it has an infinite discontinuity there.|url-status=dead}}</ref> Secara sederhana, kekontinuan fungsi real umumnya didefinisikan dalam bentuk [[limit]]. Sebuah fungsi <math>f</math> dengan variabel <math>x</math> dikatakan ''kontinu di'' bilangan real <math>c</math>, jika limit dari <math>f(x)</math> ketika <math>x</math> menuju <math>c</math>, akan sama dengan <math>f(c).</math>
Terdapat beberapa definisi berbeda mengenai kekontinuan (secara global) dari fungsi, yang bergantung dari bentuk [[Domain fungsi|domain]] fungsi tersebut. Sebuah fungsi dikatakan kontinu pada [[Selang (matematika)|selang buka]] jika selang tersebut berada dalam domain fungsi, dan jika fungsi kontinu di setiap titik di selang tersebut. Fungsi yang kontinu pada selang <math>(-\infty, +\infty)</math> (yakni seluruh [[Garis bilangan real|garis bilangan]]) umumnya cukup disebut sebagai ''fungsi kontinu''; sebagian menyebut fungsi tersebut ''kontinu dimanapun''. Sebagai contoh, semua [[fungsi polinomial]] kontinu dimanapun. Sebuah fungsi dikatakan kontinu pada [[Selang (matematika)|selang semi-buka]] atau pada [[Selang (matematika)|selang tutup]], jika selang tersebut berada dalam domain fungsi, fungsi kontinu di setiap titik dalam (interior) di selang tersebut, dan nilai fungsi pada ujung selang sama dengan nilai limit fungsi ketika variabel fungsi tersebut mendekati ujung selang dari sisi dalam selang. Sebagai contoh, fungsi <math>f(x) = \sqrt{x}</math> kontinu pada selang tutup-buka <math>[0,+\infty)</math>; karena selang tersebut berada dalam domain fungsi (lebih tepatnya, selang tersebut ''adalah'' domain dari fungsi), fungsi kontinu di setiap titik di <math>(0,+\infty)</math>, dan nilai <math>f(0)</math> sama dengan nilai <math>\lim f(x)</math> ketika <math>x\to0</math> dari arah kanan.
Sebuah fungsi dikatakan ''takkontinu'' pada suatu titik, jika titik tersebut berada di [[Ketertutupan (topologi)|ketertutupan (''closure)'']] dari domainnya, dan jika titik tersebut bukan bagian domain fungsi atau fungsi tidak kontinu pada titik tersebut. Sebagai contoh, fungsi <math display="inline">x\mapsto \frac {1}{x}</math> dan <math display="inline">x\mapsto \sin(\frac {1}{x})</math> takkontinu di <math>x=0</math>, dan tetap takkontinu bahkan ketika nilai fungsi di titik tersebut didefinisikan. Titik dimana fungsi takkontinu disebut titik ''ketakkontinuan'' atau ''diskontinuitas''.<ref>{{Cite web|title=Discontinuity|url=http://bahasasastra.kemdikbud.go.id/glosarium/index.php?gloss_asing=discontinuity&gloss_indonesia=&jenis=exact&Bidang=3&infocmd=Cari|website=Glosarium - Pusat Bahasa Departemen Pendidikan Nasional Republik Indonesia|access-date=2022-03-12|archive-date=2023-06-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20230613110137/http://bahasasastra.kemdikbud.go.id/glosarium/index.php?gloss_asing=discontinuity&gloss_indonesia=&jenis=exact&Bidang=3&infocmd=Cari|dead-url=no}}</ref>
Banyak fungsi yang ditemui umumnya memiliki domain berupa seluruh [[bilangan real]], kecuali untuk beberapa [[titik pencil]]. Contoh fungsi jenis ini adalah fungsi <math display="inline">x \mapsto \frac {1}{x}</math> dan <math>x\mapsto \tan x.</math> Ketika dibahas dalam konteks domain mereka, fungsi jenis ini dapat dikatakan kontinu, walaupun tidak kontinu dimanapun. Dalam konteks lain, khususnya perilaku fungsi di sekitar titik-titik istimewa seperti <math>x=0</math> untuk <math display="inline">x \mapsto \frac {1}{x}</math>, fungsi jenis ini termasuk fungsi takkontinu.
Menggunakan notasi matematika, ada beberapa cara untuk mendefinisikan fungsi kontinu berdasarkan tiga sudut pandang yang disebutkan di atas. Untuk itu, misalkan<math display="block">f : D \to \R \quad</math>adalah fungsi yang terdefinisi pada suatu [[subset]] <math> D </math> dari himpunan bilangan real <math>\R</math>. Subset <math> D </math> ini adalah [[Domain fungsi|domain]] dari <math> f </math>. Ketiga sudut pandang kekontinuan ada pada bentuk domain:
* <math>D = \R </math>, yakni <math> D </math> adalah keseluruhan himpunan bilangan real; atau untuk suatu bilangan real <math>a</math> dan <math>b</math>,
* <math>D = [a, b] = \{x \in \R \mid a \leq x \leq b \} </math>: <math> D </math> berupa [[Selang (matematika)|selang tutup]], atau
* <math>D = (a, b) = \{x \in \R \mid a < x < b \} </math>: <math> D </math> berupa [[Selang (matematika)|selang buka]].
Pada kasus domain <math>D</math> didefinisikan sebagai suatu selang buka, titik <math>a</math> dan <math>b</math> tidak berada di <math>D</math>, dan nilai dari <math>f(a)</math> dan <math>f(b)</math> tidak mempengaruhi kekontinuan fungsi pada <math>D</math>.
==== Definisi menggunakan bentuk limit fungsi ====
Fungsi <math> f </math> dikatakan ''kontinu di titik'' <math>c</math> di domainnya, jika [[limit]] dari <math>f(x)</math> ketika <math>x</math> menuju <math>c</math> melalui domain <math>f</math>, ada nilainya dan sama dengan <math>f(c).</math><ref>{{Citation|last1=Lang|first1=Serge|author1-link=Serge Lang|title=Undergraduate analysis|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|edition=2nd|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|isbn=978-0-387-94841-6|year=1997}}, section II.4</ref> Dalam notasi matematika, hal ini ditulis sebagai<math display="block">\lim_{x \to c}{f(x)} = f(c).</math>Definisi ini berlaku bagi ketiga sudut pandang. Secara teknis, terdapat tiga hal yang perlu dipenuhi agar fungsi bersifat kontinu. Pertama, <math>f</math> perlu terdefinisi di <math>c</math> (sudah dijamin karena <math>c</math> berada di domain <math>f</math>). Kedua, nilai limit pada sisi kiri persamaan di atas harus ada. Ketiga, nilai dari limit ini harus sama dengan <math>f(c).</math> Dalam definisi ini, diasumsikan bahwa domain dari <math> f </math> tidak memiliki [[Titik pencil|titik-titik pencil]].<ref>Asumsi ini dapat dihilangkan dengan melihat jenis titik pencil. Definisi kekontinuan dapat diterapkan pada titik pencil berupa titik limit. Sedangkan pada titik pencil ''c'' yang bukan titik limit, nilai limit ''f''(''x'') ketika ''x'' menuju ''c'' secara otomatis akan sama dengan ''f''(''c'').</ref>
==== Definisi menggunakan lingkungan ====
Sebuah [[lingkungan]] dari suatu titik <math>c</math> adalah himpunan yang berisi, setidaknya, semua titik yang jaraknya dengan <math>c</math> sama besar. Secara intuitif, sebuah fungsi bersifat kontinu di titik <math>c</math> jika semua lingkungan (yang merupakan subset dari [[Citra (matematika)|citra]] <math>f</math>) dari <math>c</math> akan mengecil menjadi sebuah titik <math>f(c)</math>, ketika lebar lingkungan dari <math>c</math> mengecil ke nol. Menyatakan dengan lebih rinci, sebuah fungsi <math>f</math> kontinu di titik <math>c</math> di domainnya, jika untuk sembarang lingkungan <math>N_1(f(c))</math> ada suatu lingkungan <math>N_2(c)</math> di domain fungsi tersebut, sehingga <math>f(x) \in N_1(f(c))</math> kapanpun <math>x\in N_2(c).</math>
Definisi ini hanya memerlukan [[Ranah fungsi|domain]] dan kodomainnya merupakan [[ruang topologis]], menjadikannya definisi yang paling umum. Dari definisi ini disimpulkan fungsi <math>f</math> secara otomatis bersifat kontinu di setiap [[titik pencil]] fungsi tersebut. Sebagai contoh spesifik, semua fungsi bernilai real dengan domain himpunan bilangan bulat adalah fungsi kontinu.
==== Definisi menggunakan limit barisan ====
[[Berkas:Continuity_of_the_Exponential_at_0.svg|jmpl|Barisan <math>\exp (1/n)</math> yang konvergen ke <math>\exp(0)</math>.]]
Fungsi kontinu juga dapat didefinisikan dengan mengharuskan semua [[barisan]] <math>(x_n)_{n \in \N}</math> dari titik-titik di domain fungsi, yang [[Limit barisan|konvergen]] ke titik <math>c</math>, akan menyebabkan barisan <math>\left(f(x_n)\right)_{n\in \N}</math> konvergen ke <math>f(c).</math> Dalam notasi matematika, definisi ini dapat dituliskan sebagai,<math display="block">\forall (x_n)_{n \in \N} \subset D:\lim_{n\to\infty} x_n = c \Rightarrow \lim_{n\to\infty} f(x_n) = f(c)\,.</math>
==== Definisi menggunakan epsilon-delta ====
[[Berkas:Example_of_continuous_function.svg|ka|jmpl|Ilustrai definisi epsilon-delta: Untuk titik <math>c = 2</math> dan <math>\varepsilon = 0,5</math>, nilai <math>\delta = 0,5</math> dapat memenuhi kondisi yang diperlukan definisi.]]
Dengan menyertakan secara eksplisit definisi limit fungsi ke dalam definisi kekontinuan, fungsi kontinu dapat dijelaskan tanpa perlu merujuk ke konsep limit. Dalam definisi ini, misalkan sebuah fungsi <math>f : D \to \R</math> yang didefinisikan pada bagian di atas, dan sebuah titik <math>x_0</math> di domain <math>D</math>. Fungsi <math>f</math> dikatakan kontinu di titik <math>x_0</math> jika kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan <math>\varepsilon > 0,</math> sekecil apapun itu, akan ada suatu bilangan <math>\delta > 0</math> sehingga untuk semua <math>x</math> di <math>D</math> dengan <math>x_0 - \delta < x < x_0 + \delta,</math> berlaku<math display="block">f\left(x_0\right) - \varepsilon < f(x) < f(x_0) + \varepsilon.</math>Definisi tersebut dapat ditulis ulang: fungsi <math>f : D \to \mathbb{R}</math> kontinu di <math>x_0 \in D</math> mengartikan untuk setiap <math>\varepsilon > 0,</math> ada sebuah <math>\delta > 0</math> sehingga untuk semua <math>x \in D</math>:<math display="block">\left|x - x_0\right| < \delta ~~\text{ mengakibatkan }~~ |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon.</math>Secara intuitif, jika seseorang ingin membuat semua nilai <math>f(x)</math> berada di dalam suatu [[Lingkungan (matematika)|lingkungan]] kecil di sekitar <math>f\left(x_0\right),</math> ia cukup memilih sebuah lingkungan yang cukup kecil bagi nilai <math>x</math> di sekitar titik <math>x_0.</math> Bila proses ini dapat dilakukan seberapapun kecilnya lingkungan untuk <math>f(x)</math>, maka <math>f</math> kontinu di <math>x_0.</math>
[[Karl Weierstrass|Weierstrass]] mengharuskan [[Selang (matematika)|selang]] <math>x_0 - \delta < x < x_0 + \delta</math> seluruhnya berada di dalam domain <math>D</math>, namun [[Camille Jordan|Jordan]] menunjukkan syarat ini dapat dihilangkan.
==== Definisi menggunakan fungsi kontrol ====
Dalam penulisan bukti dan [[analisis matematika]], terkadang dibutuhkan pemahaman mengenai seberapa cepat limit suatu fungsi akan konvergen. Salah satu cara mengetahuinya adalah dengan mengontrol nilai selisih. Konsep ini dapat diformalkan menjadi sebuah definisi untuk kekontinuan. Sebuah fungsi <math>C: [0,\infty) \to [0,\infty]</math> disebut sebagai fungsi kontrol, jika
* <math>C</math> adalah [[Fungsi monotonik|fungsi tak-turun]]
* <math>\inf_{\delta > 0} C(\delta) = 0</math>
Sebuah <math>f : D \to R</math> dikatakan kontinu-<math>C</math> di <math>x_0</math>, jika untuk setiap <math>x</math> di <math>D</math> berlaku<math display="block">|f(x) - f(x_0)| \leq C\left(\left|x - x_0\right|\right)</math>Sebuah fungsi <math>f</math> dikatakan kontinu di <math>x_0</math> jika fungsi tersebut kontinu-<math>C</math> untuk suatu fungsi kontrol <math>C</math>. Pendekatan ini memungkinkan untuk memperlengkap konsep kekontinuan dengan menyertakan himpunan fungsi kontrol yang dipenuhi <math>f</math>. Untuk sebuah himpunan fungsi kontrol <math>\mathcal C</math>, sebuah fungsi disebut kontinu-<math>\mathcal C</math> jika fungsi tersebut kontinu-<math>C</math> untuk suatu <math>C\in \mathcal C</math>. Sebagai contoh, [[fungsi Lipschitz]] dan [[Fungsi Hölder|fungsi kontinu Hölder]] dengan pangkat {{mvar|α}} dapat didefinisikan dengan menggunakan himpunan fungsi kontrol<math display="block">\mathcal{C}_{\mathrm{Lipschitz}} = \{C : C(\delta) = K|\delta| ,\ K > 0\}</math>Mirip dengan itu,<math display="block">\mathcal{C}_{\text{Hölder}-\alpha} = \{C : C(\delta) = K |\delta|^\alpha, \ K > 0\}.</math>
=== Membangun fungsi kontinu ===
[[Berkas:Brent_method_example.svg|ka|jmpl|Grafik dari sebuah [[fungsi kubik]] tidak memiliki "loncatan" maupun "lubang". Fungsi kubik, seperti semua fungsi polinomial lainnya, bersifat kontinu.]]
Proses mengecek kekontinuan suatu fungsi dapat disederhanakan dengan memeriksa syarat-syarat kekontinuan pada bagian-bagian fungsi. Dapat dibuktikan bahwa penjumlahan dua fungsi yang kontinu pada suatu domain, akan menghasilkan fungsi yang juga kontinu pada domain tersebut. Misalkan<math>f, g \colon D \to \R,</math> hasil ''penjumlahan fungsi-fungsi kontinu''<math display="block">s = f + g</math>yang didefinisikan oleh <math>s(x) = f(x) + g(x)</math> untuk setiap <math>x\in D</math>, adalah sebuah fungsi kontinu di <math>D.</math> Sifat yang serupa juga berlaku untuk hasil ''perkalian fungsi-fungsi kontinu'',<math display="block">p = f \cdot g</math>yang didefinisikan oleh <math>p(x) = f(x) \cdot g(x)</math> untuk setiap <math>x \in D</math>, adalah sebuah fungsi kontinu di <math>D.</math> Dengan mengombinasikan kedua sifat tersebut, dapat dibuktikan bahwa semua [[fungsi polinomial]] di <math>\R</math> bersifat kontinu, sebagai contoh fungsi <math>f(x) = x^3 + x^2 - 5 x + 3</math>, dengan menggunakan fakta [[fungsi konstan]] dan [[fungsi identitas]] <math>I(x) = x</math> bersifat kontinu di <math>\R</math>.
[[Berkas:Homografia.svg|ka|jmpl|Grafik dari fungsi pecahan. Fungsi ini tidak terdefinisi untuk <math>x = -2.</math> Garis vertikal dan horizontal disebut dengan [[asimtot]].]]
Dengan menggunakan cara yang sama, dapat ditunjukkan bahwa hasil ''kebalikan dari sebuah fungsi kontinu''<math display="block">r = 1/f</math>yang didefinisikan oleh <math>r(x) = 1/f(x)</math> untuk setiap <math>x \in D</math> yang memenuhi <math>f(x) \neq 0</math>, adalah fungsi yang kontinu di <math>D\setminus \{x : f(x) = 0\}.</math> Hal ini mengakibatkan ''fungsi pecahan dari fungsi-fungsi kontinu''<math display="block">q = f / g</math>yang didefinisikan oleh <math>q(x) = f(x)/g(x)</math> untuk setiap <math>x \in D</math> yang memenuhi <math>g(x) \neq 0</math>, bersifat kontinu kecuali di akar-akar dari <math>g(x)</math>. Domain dari <math>q(x)</math> adalah <math>D\setminus \{x:g(x) = 0\}</math>. Sebagai contoh, fungsi (lihat gambar)<math display="block">y(x) = \frac{2x-1}{x+2}</math>terdefinisi dan kontinu untuk semua bilangan real <math>x \neq -2</math>, menyebabkan fungsi tersebut kontinu. Diskusi mengenai kekontinuan fungsi di titik <math>x = -2</math> tidak muncul, karena <math>x = -2</math> bukan anggota domain dari <math>y.</math> Tidak ada fungsi <math>F : \R \to \R</math> yang kontinu dan nilainya sama dengan <math>y(x)</math> untuk semua <math>x \neq -2</math>.
[[Berkas:Si_cos.svg|jmpl|Grafik fungsi <math>\sin(x)/x</math> dan <math>\cos(x)</math>.]]
Contoh lain adalah fungsi <math>G(x) = \sin(x)/x,</math> yang terdefinisi dan kontinu untuk bilangan real <math>x \neq 0.</math> Tetapi, berbeda dengan contoh sebelumnya, fungsi <math>G(x)</math> ''dapat'' diperluas menjadi sebuah fungsi kontinu pada ''semua'' bilangan real. Hal ini dilakukan dengan ''mendefinisikan'' nilai <math>G(0)</math> sebagai 1, yakni nilai limit dari <math>G(x)</math> ketika <math>x</math> menuju 0. Dengan kata lain,<math display="block">G(0) = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.</math>Sehingga, dengan membuat
<math display="block">
G(x) =
\begin{cases}
\frac {\sin (x)}x & \text{ jika }x \ne 0\\
1 & \text{ jika }x = 0,
\end{cases}
</math>
fungsi <math>G(x)</math> bersifat kontinu pada semua bilangan real. Istilah ''ketakkontinuan terhapuskan''<ref>{{Cite web|title=Removeable discontinuity|url=http://bahasasastra.kemdikbud.go.id/glosarium/index.php?gloss_asing=removable+discontinuity&gloss_indonesia=&jenis=contain&Bidang=3&infocmd=Cari|website=Glosarium - Pusat Bahasa Departemen Pendidikan Republik Indonesia|access-date=2022-03-14|archive-date=2023-06-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20230613110138/http://bahasasastra.kemdikbud.go.id/glosarium/index.php?gloss_asing=removable+discontinuity&gloss_indonesia=&jenis=contain&Bidang=3&infocmd=Cari|dead-url=no}}</ref> digunakan untuk menyebut titik takkontinu yang dapat didefinisikan (ulang) agar fungsi bersifat kontinu di titik tersebut.
Konstruksi fungsi kontinu yang lebih rumit melibatkan [[komposisi fungsi]]. Misalkan dua fungsi kontinu<math display="block">g : D_g \subseteq \R \to R_g \subseteq \R \quad \text{ dan } \quad f : D_f \subseteq \R \to R_f \subseteq D_g,</math>fungsi komposisi keduanya, yang dituliskan sebagai <math>c = g \circ f : D_f \to R_g</math> dan didefinisikan oleh <math>c(x) = g(f(x)),</math> adalah fungsi kontinu. Konstruksi ini dapat digunakan untuk membuktikan, sebagai contoh fungsi <math>e^{\sin(\ln x)}</math>, bersifat kontinu untuk semua <math>x > 0.</math>
=== Contoh fungsi takkontinu ===
[[Berkas:Discontinuity_of_the_sign_function_at_0.svg|jmpl|Plot dari [[fungsi tanda]] (signum). Ilustrasi ini menunjukkan bahwa nilai <math>\lim_{n\to\infty} \sgn\left(\tfrac 1 n\right)</math> tidak sama dengan nilai <math>\sgn\left(\lim_{n\to\infty} \tfrac 1 n\right)</math>. Alhasil, fungsi tanda takkontinu di 0.]]
Sebuah contoh dari fungsi takkontinu adalah [[fungsi tangga Heaviside]] <math>H</math>, yang didefinisikan sebagai
: <math>H(x) = \begin{cases}
1 & \text{ jika } x \ge 0\\
0 & \text{ jika } x < 0
\end{cases}
</math>
Untuk mengetahui penyebab ketakkontinuan dari fungsi, pilih, sebagai contoh, nilai <math>\varepsilon = 1/2</math>. Tidak ada {{nowrap|[[lingkungan]]-<math>\delta</math>}} sekitar <math>x = 0</math>, dalam kata lain tidak ada [[Selang (matematika)|selang buka]] <math>(-\delta,\;\delta)</math> dengan <math>\delta > 0,</math> yang membuat semua nilai <math>H(x)</math> berada di dalam {{nowrap|lingkungan-<math>\varepsilon</math>}} sekitar <math>H(0)</math>, yaitu selang <math>(1-\tfrac{1}{2},\;1+\tfrac{1}{2})</math>. Secara intuitif, titik ini adalah tipe ketakkontinuan berupa "loncatan" pada nilai fungsi.
Mirip dengan contoh sebelumnya, [[fungsi tanda]] atau fungsi signum,
: <math>
\sgn(x) = \begin{cases}
\;\;\ 1 & \text{ jika }x > 0\\
\;\;\ 0 & \text{ jika }x = 0\\
-1 & \text{ jika }x < 0
\end{cases}
</math>
takkontinu di <math>x = 0</math> namun kontinu dimanapun selain titik itu. Contoh lain lagi adalah fungsi
: <math>f(x) = \begin{cases}
\sin\left(x^{-2}\right)&\text{ jika }x \neq 0\\
0&\text{ jika }x = 0
\end{cases}</math>
yang juga kontinu dimanapun selain titik <math>x = 0</math>.
[[Berkas:Thomae_function_(0,1).svg|jmpl|Plot titik-titik dari fungsi Thomae pada selang (0,1). Titik tertinggi pada plot ini menunjukkan f(1/2) = 1/2.]]
Selain sejumlah bentuk kekontinuan dan ketakkontinuan di atas, terdapat fungsi dengan perilaku yang "diluar nalar", sebagai contoh adalah [[fungsi Thomae]]<math display="block">f(x)=\begin{cases}
1 &\text{ jika } x=0\\
\frac{1}{q}&\text{ jika } x = \frac{p}{q} \text{(dalam bentuk paling sederhana) adalah bilangan rasional}\\
0&\text{ jika }x\text{ bilangan irasional}.
\end{cases}</math>bersifat kontinu di semua bilangan irasional namun takkontinu di semua bilangan rasional. Contoh lain adalah [[fungsi Dirichlet]], yakni [[fungsi indikator]] untuk himpunan bilangan rasional,<math display="block">D(x)=\begin{cases}
0&\text{ jika }x\text{ irasional } (\in \R \setminus \Q)\\
1&\text{ jika }x\text{ rasional } (\in \Q)
\end{cases}</math>adalah fungsi takkontinu dimanapun.
=== Sifat-sifat ===
==== Sebuah lemma yang berguna ====
Misalkan <math>f(x)</math> adalah fungsi yang kontinu di suatu titik <math>x_0,</math> dan <math>y_0</math> adalah nilai yang memenuhi <math>y_0 \neq f\left(x_0\right).</math> Maka akan berlaku <math>f(x)\neq y_0</math> pada semua titik pada suatu lingkungan dari <math>x_0.</math><ref>{{citation|last=Brown|first=James Ward|title=Complex Variables and Applications|year=2009|publisher=McGraw Hill|edition=8th|page=54|isbn=978-0-07-305194-9}}</ref> Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi dari kekontinuan: dengan memilih <math>\varepsilon =\tfrac{|y_0-f(x_0)|}{2}>0</math> , akan ada <math>\delta>0</math> sehingga<math display="block">\left|f(x)-f(x_0)\right| < \frac{\left|y_0 - f(x_0)\right|}{2} \quad \text{ kapanpun } \quad |x-x_0| < \delta.</math>Anggap ada sebuah titik di lingkungan <math>|x-x_0|<\delta</math> yang memenuhi <math>f(x)=y_0;</math> akan didapati sebuah kontradiksi, karena mengakibatkan<math display="block">\left|f(x_0)-y_0\right| < \frac{\left|f(x_0) - y_0\right|}{2}.</math>
==== Teorema nilai antara ====
[[Teorema nilai antara]] adalah sebuah [[teorema keberadaan]], yang didasarkan pada sifat kelengkapan (''completeness'') dari [[bilangan real]]. Teorema ini menyatakan:<blockquote>Jika fungsi bernilai real <math>f</math> kontinu pada [[Selang (matematika)|selang tutup]] <math>[a, b],</math> dan <math>k</math> adalah suatu bilangan di antara <math>f(a)</math> dan <math>f(b),</math> maka ada bilangan <math>c \in [a, b]</math> yang memenuhi <math>f(c) = k.</math></blockquote>Sebagai ilustrasi teorema ini, misalkan seorang anak yang bertambah tinggi dari 1 m pada usia dua tahun menjadi 1,5 m pada usia enam tahun. Akan ada waktu di antara tahun kedua dan tahun keenam, ketika tinggi anak tersebut sama dengan 1,25 m.
Salah satu akibat teorema ini, jika <math>f</math> kontinu pada <math>[a, b]</math> dan <math>f(a)</math> dan <math>f(b)</math> berbeda [[Tanda (matematika)|tanda]], maka ada titik <math>c \in [a, b]</math> sehingga <math>f(c)</math> bernilai nol. Dengan kata lain, fungsi <math>f</math> memiliki [[Akar fungsi|akar]] pada selang <math>[a, b].</math>
==== Teorema nilai ekstrem ====
[[Teorema nilai ekstrem]] menyatakan jika sebuah fungsi <math>f</math> terdefinisi pada suatu selang tutup <math>[a, b]</math> (atau sembarang himpunan tertutup dan terbatas) dan kontinu di domain itu, maka fungsi memilliki nilai maksimum. Dengan kata lain, ada nilai <math>c \in [a, b]</math> dengan <math>f(c) \geq f(x)</math> untuk setiap <math>x \in [a, b].</math> Teorema yang sama juga berlaku untuk nilai minimum dari <math>f.</math> Teorema ini secara umum tidak berlaku untuk fungsi dengan domain <math>(a, b)</math> (atau sembarang himpunan yang tidak tertutup sekaligus terbatas). Sebagai contoh, fungsi kontinu <math>f(x) = \tfrac{1}{x}</math> yang terdefinisi pada interval buka <math>(0,\,1)</math> tidak memiliki nilai maksimum, karena nilai fungsi tidak terbatas dari atas.
==== Hubungan dengan kediferensialan dan keterintegralan ====
{{See also|Kemulusan#Kelas keterdiferensialan|Kemulusan#Kemulusan kurva dan permukaan}}
Dapat ditunjukkan bahwa semua [[fungsi terdiferensialkan]] <math>f : (a, b) \to \R</math> bersifat kontinu. Namun, kebalikannya tidak berlaku: sebagai contoh, fungsi [[nilai mutlak]]<math display="block">f(x)=|x| = \begin{cases}
\;\;\ x & \text{ jika }x \geq 0\\
-x & \text{ jika }x < 0
\end{cases}</math>yang kontinu dimanapun. Fungsi ini tidak terdiferensialkan di <math>x = 0</math> (namun terdiferensialkan di semua titik selain ini). [[Fungsi Weierstrass]] adalah contoh dari fungsi yang kontinu dimanapun namun takkontinu dimanapun.
[[Turunan]] <math>f'(x)</math> dari fungsi <math>f(x)</math> tidak harus bersifat kontinu. Jika <math>f'(x)</math> kontinu, fungsi <math>f(x)</math> dikatakan ''terdiferensialkan'' [''secara''] ''kontinu''. Himpunan dari fungsi-fungsi jenis ini dinyatakan dengan <math>C^1.</math> Secara umum, himpunan fungsi <math>f : \Omega \to \R</math> (dengan <math>\Omega</math> berupa selang buka) yang dapat diturunkan sebanyak <math>n</math> kali dan turunan ke-<math>n</math> dari <math>f</math> bersifat kontinu, dinotasikan dengan <math>C^n(\Omega).</math> Dalam bidang [[grafika komputer]], sifat-sifat yang berkaitan (namun tidak sama) dengan <math>C^0, C^1, C^2</math> terkadang disebut <math>G^0</math> (kekontinuan posisi), <math>G^1</math> (kekontinuan garis singgung), dan <math>G^2</math> (kekontinuan kelengkungan/kurvatur).
Setiap fungsi kontinu <math>f : [a, b] \to \R</math> dapat diintegralkan, sebagai contoh dalam konteks [[integral Riemann]]. Kebalikannya tidak berlaku, seperti yang ditunjukkan oleh [[fungsi tanda]]; contoh fungsi terintegralkan namun takkontinu.
==Fungsi kontinu antar ruang metrik==
Konsep fungsi bernilai real kontinu dapat perumum untuk fungsi antar [[ruang metrik]]. Ruang metrik adalah sebuah himpunan <math>X</math> yang dilengkapi dengan sebuah fungsi <math>d_X</math> (disebut [[metrik (matematika)|metrik]]); fungsi ini dapat dianggap sebagai ukuran jarak antara dua elemen di <math>X</math>. Secara formal, metrik adalah fungsi
:<math>d_X \colon X \times X \rightarrow \R</math>
yang memenuhi sejumlah persyaratan, terutama [[pertidaksamaan segitiga]]. Untuk sembarang dua ruang metrik <math>(X,\,d_X)</math> dan <math>(Y,\,d_Y)</math>, sebuah fungsi
:<math>f\colon X \rightarrow Y,</math>
dikatakan kontinu (terhadap metrik yang digunakan) di titik <math>c\in X</math>, jika untuk sembarang [[bilangan real]] positif <math>\varepsilon</math> akan terdapat bilangan real positif <math>\delta</math>, sehingga semua nilai <math>x\in X</math> yang memenuhi <math>d_X(x,\,c) < \delta</math> juga akan memenuhi <math>d_Y(f(x),\,f(c))<\varepsilon</math>. Seperti pada kasus fungsi real di bagian sebelumnya, definisi ini setara dengan syarat bahwa untuk setiap [[barisan]] <math>(x_n)\in X</math> dengan nilai limit <math>\lim x_n=c</math>, haruslah <math>\lim f(x_n) = f(c)</math>. Syarat ini dapat diperlemah menjadi: fungsi <math>f</math> kontinu [[jika dan hanya jika]] untuk setiap barisan <math>(x_n)\in X</math> yang konvergen ke <math>c</math> (dan <math>c</math> berada di domain<math>f</math>), barisan <math>(f(x_n))</math> adalah [[barisan Cauchy]].
[[Himpunan (matematika)|Himpunan]] titik dimana sebuah fungsi antar ruang metrik bersifat kontinu disebut dengan himpunan [[Gδ set|<math>G_{\delta}</math>]], yang berasal dari definisi kekontinuan menggunakan epsilon-delta.
Salah satu contoh penggunaan konsep kekontinuan ini ada di [[analisis fungsional]]. Sebuah definisi yang penting dalam cabang matematika ini menyatakan bahwa: sebuah [[operator linear]]<math display="block">T : V \to W</math>antar [[ruang vektor bernorma]] <math>V</math> dan <math>W</math> (yakni [[ruang vektor]] yang dilengkapi suatu [[Norma (matematika)|norma]] <math>\|x\|</math>) bersifat kontinu jika dan hanya jika operator tersebut [[Operator terbatas|terbatas]], yakni terdapat konstanta <math>K</math> yang menyebabkan<math display="block">\|T(x)\| \leq K \|x\|</math>untuk semua <math>x \in V.</math>
=== Kekontinuan seragam, Hölder, dan Lipschitz ===
[[Berkas:Lipschitz continuity.png|thumb|Untuk fungsi kontinu Lipschitz, terdapat kerucut ganda (ditampilkan dalam warna putih) yang pusat kecurut tersebut dapat bergerak di sepanjang grafik dari fungsi, dan tidak pernah ada bagian dari grafik fungsi yang berada di dalam kerucut.]]
Konsep kekontinuan fungsi antar ruang metrik pada bagian sebelumnya, dapat diperkuat dengan membatasi bagaimana nilai <math>\delta</math> terikat pada <math>\varepsilon</math> dan titik <math>c</math>; yang dapat dilakukan dalam berbagai cara. Secara informal, fungsi <math>f</math> disebut [[Kekontinuan seragam|kontinu seragam]] jika pemilihan nilai <math>\delta</math> tidak tergantung pada titik <math>c</math>. Lebih tepatnya, fungsi kontinu seragam perlu memenuhi kondisi berikut: untuk setiap [[bilangan real]] <math>\varepsilon>0</math> akan ada <math>\delta>0</math> sehingga untuk setiap <math>c,b\in X</math> yang memenuhi <math>d_X(b,c)<\delta</math>, juga akan memenuhi <math>d_Y(f(b),f(c))<\varepsilon</math>. Jadi, setiap fungsi yang kontinu seragam adalah fungsi kontinu. Kebalikannya tidak berlaku secara umum, tetapi berlaku bila domain <math>X</math> berupa [[ruang kompak]]. Peta kontinu seragam dapat didefinisikan dalam situasi [[ruang seragam]] yang lebih umum.<ref>{{Citation | last1=Gaal | first1=Steven A. | title=Topologi himpunan titik | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | isbn=978-0-486-47222-5 | year=2009}}, section IV.10</ref>
Sebuah fungsi disebut [[Kondisi Hölder|kontinu Hölder]] pangkat <math>\alpha</math> (berupa [[bilangan real]]) jika ada konstanta <math>K</math> sehingga untuk semua <math>b,c\in X</math> akan berlaku pertidaksamaan
:<math>d_Y (f(b), f(c)) \leq K \cdot (d_X (b, c))^\alpha</math>
Semua fungsi kontinu Hölder bersifat kontinu seragam. Kasus khusus <math>\alpha=1</math> disebut sebagai [[Fungsi Lipschitz|kekontinuan Lipschitz]]. Artinya, suatu fungsi kontinu Lipschitz jika ada konstanta ''<math>K</math>'' sedemikian rupa sehingga pertidaksamaan
:<math>d_Y (f(b), f(c)) \leq K \cdot d_X (b, c)</math>
berlaku untuk sembarang <math>b,c\in X</math>.<ref>{{Citation | last1=Searcóid | first1=Mícheál Ó | title=Ruang metrik | url=https://books.google.com/books?id=aP37I4QWFRcC | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Springer undergraduate mathematics series | isbn=978-1-84628-369-7 | year=2006 | accessdate=2020-09-04 | archive-date=2023-07-26 | archive-url=https://web.archive.org/web/20230726135016/https://books.google.com/books?id=aP37I4QWFRcC | dead-url=no }}, bagian 9.4</ref> Kondisi Lipschitz digunakan contohnya dalam [[teorema Picard – Lindelöf]] yang membahas tentang solusi [[persamaan diferensial biasa]].
==Konsep yang berkaitan==
Jika fungsi <math>f : S \to Y</math> adalah suatu fungsi kontinu dari suatu [[Himpunan bagian|subset]] <math>S</math> dari [[ruang topologis]] <math>X</math> maka ''perluasan kontinu'' dari <math>f</math> ke <math>X</math> adalah sembarang fungsi kontinu <math>F : X \to Y</math> dengan <math>F(s) = f(s)</math> untuk setiap <math>s \in S;</math> kondisi ini sering ditulis sebagai <math>f = F\big\vert_S.</math> Secara informal, itu adalah sembarang fungsi <math>F : X \to Y</math> yang [[Pembatasan (matematika)|membatasi]] <math>f</math> pada <math>S.</math> Konsep ini digunakan, sebagai contoh, dalam [[teorema perluasan Tietze]] dan [[teorema Hahn–Banach]]. Jika <math>f : S \to Y</math> tidak kontinu maka tidak mungkin fungsi tersebut memiliki perluasan kontinu. Jika <math>Y</math> adalah suatu [[ruang Hausdorff]] dan <math>S</math> adalah [[himpunan rapat]] dari <math>X</math> maka fungsi perluasan kontinu dari <math>f : S \to Y</math> ke <math>X,</math> jika itu ada, bersifat unik.
Banyak cabang matematika lainnya menggunakan konsep kekontinuan dalam konteks berbeda, namun memiliki makna yang mirip. Sebagai contoh, dalam [[Teori order|teori urutan]], ''fungsi kekal-urutan''<!-- jika ingin mengikuti terjemahan Glosarium Daring -->(''order-preserving function'') <math>f : X \to Y</math> antar jenis [[himpunan terurut parsial]] tertentu ''<math>X</math>'' dan <math>Y</math>, dikatakan [[Kekontinuan Scott|kontinu]] jika untuk setiap [[himpunan berarah]] <math>A</math> dari ''<math>X</math>'', berlaku hubungan <math>\sup f(A) = f(\sup A).</math> Notasi <math>\,\sup\,</math> tersebut masing-masing menyatakan [[supremum]] terhadap urutan dalam ''<math>X</math>'' dan <math>Y</math>. Konsep kekontinuan ini sama kekontinuan topologis ketika himpunan urutan parsial merupakan subset dari [[topologi Scott]].{{Butuh pemastian}}<ref>{{cite book|last=Goubault-Larrecq|first=Jean|year=2013|title=Non-Hausdorff Topology and Domain Theory: Selected Topics in Point-Set Topology|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-1107034136}}</ref><ref>{{cite book|last1=Gierz|first1=G.|last2=Hofmann|first2=K. H.|last3=Keimel|first3=K.|last4=Lawson|first4=J. D.|last5=Mislove|first5=M. W.|last6=Scott|first6=D. S.|year=2003|url=https://archive.org/details/continuouslattic0000unse|title=Continuous Lattices and Domains|publisher=Cambridge University Press|isbn=0521803381|series=Encyclopedia of Mathematics and its Applications|volume=93|url-access=registration}}</ref> <!-- kalimat asli: "Here su' is the supremum with respect to the orderings in X and Y, respectively. This notion of continuity is the same as topological continuity when the partially ordered sets are given the Scott topology. -->
Dalam [[teori kategori]], sebuah [[fungtor]]<math display="block">F : \mathcal C \to \mathcal D</math>antar dua [[Kategori (matematika)|kategori]] dikatakan [[Fungtor kontinu|kontinu]], jika fungsi tersebut komutatif dengan [[Limit (teori kategori)|limit]] yang kecil. Secara matematis,<math display="block">\varprojlim_{i \in I} F(C_i) \cong F \left(\varprojlim_{i \in I} C_i \right)</math>untuk sembarang [[Diagram (teori kategori)|diagram]] yang kecil (yaitu, yang diindeks dengan sebuah himpunan <math>I</math>, bukan sebuah [[Kelas (teori himpunan)|kelas]]) dari [[Objek (teori kategori)|objek]] di <math>\mathcal C</math>.
Sebuah [[Fungsi kontinu#Ruang kekontinuan|ruang kekontinuan]] adalah perumuman dari [[ruang metrik]] dan [[Himpunan terurut parsial|poset]],<ref>{{cite journal|last=Flagg|first=R. C.|year=1997|title=Quantales and continuity spaces|journal=Algebra Universalis|volume=37|issue=3|pages=257–276|doi=10.1007/s000120050018|citeseerx=10.1.1.48.851|s2cid=17603865}}</ref><ref>{{cite journal|last=Kopperman|first=R.|year=1988|title=All topologies come from generalized metrics|journal=American Mathematical Monthly|volume=95|issue=2|pages=89–97|doi=10.2307/2323060|jstor=2323060}}</ref> dan dapat digunakan untuk menyatukan konsep dari ruang metrik dan [[Teori domain|domain]].<ref>{{cite journal|last1=Flagg|first1=B.|last2=Kopperman|first2=R.|year=1997|title=Continuity spaces: Reconciling domains and metric spaces|journal=Theoretical Computer Science|volume=177|issue=1|pages=111–138|doi=10.1016/S0304-3975(97)00236-3|doi-access=free}}</ref>
==Catatan==
{{Commons category|Continuity (functions)|nowrap=yes}}
{{reflist}}
== Referensi ==
* {{Springer |title=Fungsi kontinu |id=p/c025650}}
{{Topologi}}
{{DEFAULTSORT:Fungsi kontinu}}
[[Kategori:Pemetaan kontinu| ]]
[[Kategori:Kalkulus]]
[[Kategori:Jenis fungsi]]
| |||