Geometri diferensial

Geometri diferensial adalah sebuah disiplin matematika yang menggunakan teknik-teknik kalkulus diferensial dan kalkulus integral, juga aljabar linear dan aljabar multilinear, hingga masalah-masalah kajian dalam geometri. Teori kurva ruang dan bidang dalam ruang euklides tiga dimensi membentuk basis untuk pengembangan geometri diferensial pada abad ke-18 dan abad ke-19. Sejak akhir abad ke-19, geometri diferensial telah berkembang menjadi sebuah lapangan yang memperhatikan secara lebih umum dengan struktur geometri pada lipatan terdiferensialkan. Geometri diferensial berhubungan dekat dengan topologi diferensial, dan dengan aspek-aspek geometri pada teori persamaan diferensial. Geometri diferensial permukaan menangkap banyak gagasan penting dan karakteristik teknik pada lapangan ini.

Sebuah segitiga yang terbenam dalam bidang berbentuk pelana kuda (paraboloid), juga dua garis ultra-sejajar yang divergen.

Cabang-cabang geometri diferensial

Geometri Riemannian

Artikel utama: Geometri Riemannian

Geometri Riemannian mengkaji lipatan Riemannian, lipatan mulus dengan metrik Riemannian. Ini adalah sebuah konsep tentang jarak yang disajikan dalam artian bentuk bilinear simetris definit positif mulus yang terdefinisi pada ruang tangen pada tiap-tiap titik. Geometri Riemannian memperumum geometri euklides kepada ruang-ruang yang tidak harus datar/rata (flat), meskipun mereka masih menyerupai ruang euklides pada tiap-tiap titik secara infinitesimal, yaitu dalam hampiran orde satu. Berbagai konsep yang didasarkan pada panjang, seperti panjang lengkungan suatu kurva, luas suatu bidang, dan volume suatu padatan; semuanya memiliki analogi natural dalam geometri Riemannian. Gagasan tentang turunan berarah suatu fungsi dari kalkulus peubah banyak diperluas dalam geometri Riemannian menjadi gagasan turunan kovarian suatu tensor. Ada banyak konsep dan teknik analisis dan persamaan diferensial yang telah diperumum untuk berurusan dengan lipatan Riemannian.

Difeomorfisma yang mengawetkan jarak antara lipatan-lipatan Riemannian disebut isometri. Gagasan ini dapat pula didefinisikan secara lokal, yaitu untuk lingkungan titik-titik yang kecil. Dua kurva beraturan sembarang adalah isometris secara lokal. Tetapi, Theorema Egregium yang diajukan Carl Friedrich Gauss menunjukkan bahwa untuk permukaan, keujudan suatu isometri lokal memaksakan kondisi-kondisi kompatibilitas yang kuat pada metrik-metrik mereka: kurvatur Gaussian pada titik-titik yang bersesuaian pastilah sama. Dalam dimensi yang lebih tinggi, tensor kurvatur Riemann adalah suatu invarian titik-demi-titik yang penting yang berasosiasi dengan lipatan Riemannian yang mengukur seberapa dekat ia untuk dikatakan datar/rata. Sebuah kelas penting lipatan Riemannian adalah ruang simetris Riemannian, yang kurvaturnya tidak harus konstan. Hal ini adalah analog terdekat dengan bidang dan ruang "biasa" yang diperhatikan dalam geometri euklides dan non-euklides.

Bacaan lanjutan

• Wolfgang Kühnel (2002). Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds (edisi ke-2nd ed.). ISBN 0-8218-3988-8. Pemeliharaan CS1: Teks tambahan (link)
• Theodore Frankel (2004). The geometry of physics: an introduction (edisi ke-2nd ed.). ISBN 0-521-53927-7. Pemeliharaan CS1: Teks tambahan (link)
• Spivak, Michael (1999). A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (5 Volumes) (edisi ke-3rd Edition). Pemeliharaan CS1: Teks tambahan (link)
• do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces. ISBN 0-13-212589-7.  Classical geometric approach to differential geometry without tensor analysis.
• Kreyszig, Erwin (1991). Differential Geometry. ISBN 0-486-66721-9.  Good classical geometric approach to differential geometry with tensor machinery.
• do Carmo, Manfredo Perdigao (1994). Riemannian Geometry. Diterjemahkan oleh Francis Flaherty. 
• McCleary, John (1994). Geometry from a Differentiable Viewpoint. 
• Bloch, Ethan D. (1996). A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry. 
• Gray, Alfred (1998). Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica (edisi ke-2nd ed.). Pemeliharaan CS1: Teks tambahan (link)
• Burke, William L. (1985). Applied Differential Geometry. 
• ter Haar Romeny, Bart M. (2003). Front-End Vision and Multi-Scale Image Analysis. ISBN 1-4020-1507-0. 

Pranala luar

• B. Conrad. Differential Geometry handouts, Stanford University
• Michael Murray's online differential geometry course, 1996
• A Modern Course on Curves and Surface, Richard S Palais, 2003
• Richard Palais's 3DXM Surfaces Gallery
• Balázs Csikós's Notes on Differential Geometry
• N. J. Hicks, Notes on Differential Geometry, Van Nostrand.
• MIT OpenCourseWare: Differential Geometry, Fall 2008