Geometri proyektif: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
lanjut |
Add 1 book for Wikipedia:Pemastian (20240409)) #IABot (v2.0.9.5) (GreenC bot |
||
(39 revisi perantara oleh 15 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
[[Berkas:Stereographic projection in 3D.svg|jmpl|Projektif sebuah bola ke pesawat]]
Di dalam [[matematika]], '''geometri projektif''' adalah kajian sifat-sifat geometris yang invarian di bawah [[homografi|transformasi projektif]]. Ini berarti bahwa geometri projektif memiliki tatanan, [[ruang projektif]], dan himpunan selektif yang berbeda dibandingkan konsep-konsep geometri elementer. Intuisi-intuisi dasarnya adalah bahwa ruang projektif memiliki ''lebih banyak'' titik daripada [[ruang euklides]], di dalam dimensi yang diberikan, dan bahwa transformasi geometris adalah diizinkan untuk memindahkan titik-titik ekstra (yang disebut "[[titik di ketakhinggaan]]") ke titik-titik tradisional, dan begitu juga sebaliknya.
Baris 9:
== Tinjauan ==
Geometri projektif adalah sebuah bentuk tak-[[metrik (matematika)|metrik]] elementer dari geometri, artinya bahwa geometri projektif tidak didasarkan pada konsep jarak. Di dalam dua dimensi, geometri projektif bermula dengan kajian [[konfigurasi (geometri)|konfigurasi]] [[titik (geometri)|titik]] dan [[garis (geometri)|garis]]. Tentu saja terdapat beberapa kepentingan geometri di dalam tatanan yang langka ini dipandang sebagai geometri projektif yang dikembangkan oleh [[Gérard Desargues|Desargues]] dan lain-lain di dalam penggalian mereka akan prinsip-prinsip [[perspektif (grafis)|seni perspektif]].<ref>[[#refRamanan1997|Ramanan 1997]], p. 88</ref>
Di dalam ruang-ruang yang ber[[dimensi]] lebih tinggi terdapat [[hiperbidang]] dan subruang linear lainnya, yang memperlihatkan [[#Dualitas|prinsip dualitas]]. Ilustrasi paling sederhana dari dualitas adalah dalam bidang projektif, di mana pernyataan "dua titik yang berbeda menentukan sebuah garis unik" (yakni garis yang melaluinya) dan "dua garis yang berbeda menentukan satu titik unik" (yakni titik perpotongannya) menunjukkan struktur yang sama sebagai proposisi.
Geometri projektif dapat juga dipandang sebagai geometri konstruksi dengan hanya satu ''[[straightedge]]'' (sisi-lurus).<ref>[[#refCoxeter2003|Coxeter 2003]], p. v</ref> Karena geometri projektif tidak melibatkan konstruksi [[jangka]], maka tidak ada lingkaran, tidak ada sudut, tidak ada pengukuran, tidak ada garis sejajar, dan tidak ada konsep [[wikt:intermediacy|intermediasi]].<ref name="ReferenceA">[[#refCoxeter1969|Coxeter 1969]], p. 229</ref> Dimaklumi bahwa teorema-teorema yang digunakan di dalam geometri projektif adalah pernyataan-pernyataan yang lebih sederhana. Misalnya [[irisan kerucut|irisan-irisan kerucut]] yang berbeda adalah semuanya ekivalen di dalam geometri projektif (kompleks), dan beberapa teorema mengenai lingkaran dapat dilihat sebagai kasus khusus dari teorema-teorema umum ini.
Pada permulaan abad ke-19, karya [[Jean-Victor Poncelet|Poncelet]], [[Lazare Carnot]], dan yang lainnya mendirikan geometri projektif sebagai cabang tersendiri dari [[matematika]].<ref name="ReferenceA"/> Dasar-dasar yang saksama ini diajukan oleh [[Karl von Staudt]] dan disempurnakan oleh orang Italia [[Giuseppe Peano]], [[Mario Pieri]], [[Alessandro Padoa]], dan [[Gino Fano]] pada penghujung abad ke-19.<ref>[[#refCoxeter2003|Coxeter 2003]], p. 14</ref>
Geometri projektif, seperti [[geometri afin]] dan [[geometri euklides]], dapat juga dikembangkan dari program Erlangen-nya Felix Klein; geometri projektif dikarakterisasi oleh [[Invarian (matematika)|invarian-invarian]] di bawah [[Transformasi (geometri)|transformasi-transformasi]] [[grup projektif]].
Setelah banyak karya yang memuat sedemikian banyaknya teorema dalam subjek ini, dasar-dasar geometri projektif menjadi lebih terpahami. [[Struktur insidensi]] dan [[rasio silang]] adalah invarian fundamental di bawah transformasi projektif. Geometri projektif dapat dimodelkan oleh [[geometri afin|bidang afin]] (atau ruang afin) ditambah sebuah garis (hiperbidang) "di ketakhinggaan" dan kemudian memperlakukan garis itu (atau hiperbidang) sebagai sesuatu yang "biasa".<ref>[[#refCoxeter1969|Coxeter 1969]], pp. 93, 261</ref>
Sebuah model aljabar untuk mengerjakan geometri projektif di dalam gaya [[geometri analitik]] diberikan oleh koordinat-koordinat homogen.<ref>[[#refCoxeter1969|Coxeter 1969]], pp. 234–238</ref><ref>[[#refCoxeter2003|Coxeter 2003]], pp. 111–132</ref> Di pihak lain, kajian-kajian aksiomatik justru menyibak keberadaan [[bidang non-desarguesian]], contoh-contoh untuk menunjukkan bahwa aksioma-aksioma insidensi dapat dimodelkan (hanya dalam dua dimensi) oleh struktur-struktur yang tidak aksesibel untuk penalaran melalui sistem koordinat homogen.
Di dalam artian yang mendasar, geometri projektif dan [[geometri terurut]] adalah elementer karena mereka melibatkan [[aksioma]] sesedikit mungkin dan kedua-duanya dapat digunakan sebagai fondasi bagi [[geometri afin]] dan [[geometri euklides]].<ref>[[#refCoxeter1969|Coxeter 1969]], pp. 175–262</ref><ref>[[#refCoxeter2003|Coxeter 2003]], pp. 102–110</ref> Geometri projektif tidaklah "terurut"<ref name="ReferenceA"/> dan dengan demikian geometri projektif adalah fondasi yang berbeda dari geometri.
== Sejarah ==
Sifat-sifat geometri pertama dari sifat projektif ditemukan pertama kali pada abad ke-8 oleh [[Pappus dari Iskandariyah]].<ref name="ReferenceA"/>
[[#refCoxeter2003|Coxeter 2003]], p. 2</ref> (lihatlah [[Perspektif (grafik)#Sejarah|sejarah perspektif]] untuk pembahasan lebih lanjut tentang karya dalam bidang seni rupa yang memotivasi banyak pengembangan geometri projektif).
[[Johannes Kepler]] (1571–1630) dan [[Gérard Desargues]] (1591–1661) secara terpisah mengembangkan konsep berporos tentang "titik di ketakhinggaan".<ref>[[#refCoxeter2003|Coxeter 2003]], p. 3</ref> Desargues mengembangkan cara alternatif untuk membikin gambar perspektif dengan memperumum penggunaan titik hilang untuk menyertakan kasus ketika titik-titik ini berjarak jauh tak terhingga. Dia membuat [[geometri euklides]], di mana garis-garis sejajar adalah benar-benar sejajar, ke dalam kasus khusus dari sistem geometri yang meliputi semuanya. Pengkajian Desargues terhadap bagian-bagian kerucut melukiskan perhatian seorang [[Blaise Pascal]] yang berumur 16 tahun dan membantunya merumuskan [[teorema Pascal]]. Karya-karya [[Gaspard Monge]] pada akhir abad ke-18 dan awal abad ke-19 adalah penting bagi pengembangan geometri projektif berikutnya. Karya Desargues diabaikan sampai [[Michel Chasles]] berkesempatan membaca salinan sebuah tulisan tangan pada tahun 1845. Sementara itu, [[Jean-Victor Poncelet]] telah menerbitkan risalah dasar tentang geometri projektif pada tahun 1822. Poncelet memisahkan sifat-sifat projektif objek-objek dalam kelas individual dan mendirikan hubungan antara sifat-sifat metrik dan projektif. [[Geometri non-euklides]] yang ditemukan tak lama kemudian sebenarnya diperagakan untuk mendapatkan model-model, seperti [[model Klein]] tentang [[ruang hiperbolik]], yang berhubungan dengan geometri projektif. Geometri projektif pada abad ke-19 ini merupakan sebuah batu loncatan dari [[geometri analitik]] ke [[geometri aljabar]]. Ketika diperlakukan dalam suku-suku [[koordinat homogen]], geometri projektif tampak seperti perluasan atau perbaikan teknis penggunaan koordinat untuk mengurangi masalah-masalah geometri terhadap [[aljabar]], yakni sebuah perluasan dengan mengurangi banyaknya kasus khusus. Kajian rinci dari [[kuadrik]] dan "[[geometri garis]]"-nya [[Julius Plücker]] masih membentuk sehimpunan kaya contoh-contoh bagi para ahli geometri untuk bekerja dengan konsep-konsep yang lebih umum.
Baris 29 ⟶ 43:
Pada bagian akhir abad ke-19, kajian rinci tentang geometri projektif menjadi kurang bergaya lagi, meski pustaka yang membahasnya sangat banyak. Beberapa karya penting telah dibikin dalam bidang [[geometri enumeratif]] khususnya, oleh Schubert, yang kini dipandang sebagai antisipasi teori [[kelas Chern]], diambil untuk menyajikan [[topologi aljabar]] [[Grassmannian]].
[[Paul Dirac]] mengkaji geometri projektif dan menggunakannya sebagai basis untuk pengembangan konsep-konsepnya mengenai [[mekanika kuantum]], meskipun karya-karyanya yang diterbitkan selalu berbentuk aljabar. Lihatlah [http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=262 sebuah artikel blog] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201020122652/http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=262 |date=2020-10-20 }} yang merujuk pada sebuah artikel dan buku tentang pokok bahasan ini, juga pada ceramah Dirac yang disajikan dalam audiensi umum tahun 1972 di Boston mengenai geometri projektif, tanpa menspesifikasi aplikasi dalam fisikanya.
== Deskripsi ==
Geometri projektif tidaklah begitu mengungkung bila dibandingkan dengan [[geometri euklides]] atau [[geometri afin]]. Ia secara intrinsik merupakan geometri non-[[metrik (matematika)|metrik]], yang fakta-faktanya tidak bergantung pada struktur metrik manapun.
Arah yang teridealisasi dirujuk sebagai titik di ketakhinggaan, sementara cakrawala teridealisasi dirujuk sebagai garis di ketakhinggaan. Pada gilirannya, semua garis ini terletak pada bidang di ketakhinggaan. Tetapi, ketakhinggaan berada dalam konsep metrik, jadi dalam hal ini geometri projektif murni tidaklah mengasingkan titik, garis, atau bidang manapun; semua yang berada di ketakhinggaan diperlakukan sama seperti yang lainnya.
Karena [[geometri euklides]] dibahas di dalam geometri projektif, di mana geometri projektif memiliki fondasi yang lebih sederhana, hasil-hasil umum dalam geometri euklides boleh jadi tiba di dalam gaya yang lebih transparan, di mana teorema-teorema yang terpisah tetapi serupa di dalam geometri euklides dapat ditangani secara kolektif di dalam kerangka kerja geometri projektif. Contohnya, garis-garis yang sejajar dan tidak sejajar tidak mesti diperlakukan sebagai kasus yang terpisah - kita mengasingkan beberapa bidang projektif sembarang sebagai bidang ideal dan menempatkannya "di ketakhinggaan" menggunakan [[koordinat homogen]].
Sifat-sifat lainnya dari yang memiliki kepentingan mendasar di antaranya [[Teorema Desargues]] dan [[Teorema Pappus]]. Di dalam ruang projektif berdimensi tiga atau lebih besar, terdapat suatu konstruksi yang membolehkan seseorang untuk membuktikan Teorema Desargues. Tetapi untuk dimensi dua, ia mesti dipostulatkan secara terpisah.
Geometri projektif juga menyertakan sebuah teori [[irisan kerucut]] yang lengkap, sebuah pokok bahasan yang telah dikembangkan dengan begitu baik dalam geometri euklides. Terdapat keuntungan-keuntungan yang jelas ketika seseorang mampu memikirkan [[hiperbola]] dan [[elips]] sebagai dua hal yang berbeda hanya dari fakta bahwa hiperbola ''terletak melintasi garis di ketakhinggaan''; dan bahwa [[parabola]] dibedakan hanya oleh tangen terhadap garis yang sama. Seluruh keluarga lingkaran dapat dipandang sebagai ''kerucut-kerucut yang melalui dua titik yang diberikan pada garis di ketakhinggaan''—memerlukan koordinat-koordinat [[bilangan kompleks|kompleks]]. Karena koordinat tidaklah "sintetik", seseorang menggantinya dengan menetapkan sebuah garis dan dua titik padanya, dan memandang ''sistem linear'' semua kerucut melalui titik-titik itu sebagai objek dasar pengkajian. Pendekatan ini terbukti sangat menarik bagi para penggiat geometri yang berbakat, dan lapangan ini dikembangkan dengan sangat saksama. Sebuah contoh pendekatan ini adalah risalah dengan banyak jilid karya [[Henry Frederick Baker]].
Ada banyak geometri projektif, yang dapat digolongkan sebagai diskret dan kontinu: geometri ''diskret'' terdiri dari sehimpunan titik-titik, yang banyaknya bisa saja ''berhingga'' atau ''tidak berhingga''; sedangkan geometri ''kontinu'' memiliki tak-hingga banyaknya titik tanpa jarak di antaranya.
Satu-satunya geometri projektif berdimensi 0 (nol) adalah sebuah titik tunggal. Geometri projektif berdimensi 1 (satu) terdiri dari sebuah garis tunggal yang memuat paling sedikit 3 (tiga) titik. Konstruksi geometris dari operasi aritmetika tidak dapat dilakukan dalam kedua-dua kasus ini. Untuk dimensi 2 (dua), terdapat struktur yang kaya berdasar atas ketidakhadiran [[Teorema Desargues]].
[[
Menurut Greenberg (1999) dan lain-lain, geometri projektif berdimensi-2 yang paling sederhana adalah [[bidang Fano]], yang memiliki 3 titik pada setiap garis, dengan 7 titik dan garis yang semuanya diatur dengan jadual kolinearitas berikut ini:
<div style="-moz-column-count:2; column-count:2;">
* [ABC]
Baris 59 ⟶ 74:
* [CEG]
</div>
: ''a''
: ''b''
Istilah "geometri projektif" kadang-kadang digunakan untuk mengindikasi geometri abstrak pokok yang diperumum, dan kadang-kadang untuk mengindikasi geometri khusus dengan kepentingan yang lebih luas, misalnya geometri metrik bidang datar yang kita analisis melalui penggunaan [[koordinat homogen]], dan di mana [[geometri euklides]] mungkin tertanam (oleh karenanya bernama, 'bidang euklides yang diperluas').
Sifat dasar yang mengkhususkan semua geometri projektif adalah sifat [[insidensi (matematika)|insidensi]] ''eliptik'' bahwa sembarang dua garis yang berbeda ''L'' dan ''M'' di dalam [[bidang projektif]] memotong tepat satu titik ''P''. Kasus khusus di dalam [[geometri analitik]] garis-garis ''sejajar'' dikumpulkan dalam bentuk garis yang lebih halus ''di ketakhinggaan'' tempat ''P'' berada. Dengan demikian, ''garis di ketakhinggaan'' adalah garis seperti yang lainnya dalam teori ini: ia berada dalam cara yang tidak khusus atau dibedakan. (Dalam roh [[program Erlangen]] seseorang dapat menunjukkan jalan [[grup (matematika)|grup]] transformasi dapat memindahkan sembarang garis ke ''garis di ketakhinggaan'').
Diberikan sebuah garis ''l'' dan sebuah titik ''P'' yang tidak berada pada garis, sifat sejajar eliptik bertentangan dengan sifat sejajar euklides dan sifat sejajar hiperbolik sebagai berikut ini:
{|
|-
! align="left" | [[
|
|
|-
! align="left" | [[
|
|
|-
! align="left" | [[
|
|
|}
Sifat sejajar eliptik adalah gagasan kunci yang mengarah pada prinsip dualitas projektif, yakni mungkin sifat terpenting di mana semua geometri projektif hidup bersama.
== Dualitas ==
Pada tahun 1825, [[Joseph Gergonne]] mengajukan prinsip [[dualitas (geometri projektif)|dualitas]] yang mengkarakterisasi geometri bidang projektif: diberikan sembarang teorema atau definisi geometri itu, lakukan substitusi ''titik'' untuk ''garis'', ''terletak pada'' untuk ''melalui'', ''kolinear'' untuk ''konkuren'', ''memotong'' untuk ''menggabungi'', atau begitu juga sebaliknya, menghasilkan teorema atau definisi sahih lainnya, "dual" dari yang pertama. Sama halnya dalam dimensi-3, relasi dualitas berlaku antara titik dan bidang, membolehkan sembarang teorema ditransformasi dengan cara mempertukarkan ''titik'' dan ''bidang,'' ''dimuat oleh'' dan ''memuat.'' Lebih umumnya, untuk bidang-bidang projektif berdimensi-N, terdapat sebuah dualitas antara subruang-subruang berdimensi-R dan berdimensi N−R−1. Untuk N = 2, bidang projektif ini menspesialisasi ke bentuk dualitas yang paling lazim dikenal-yakni antara titik dan garis. Prinsip dualitas juga telah ditemukan secara terpisah oleh [[Jean-Victor Poncelet]].
Untuk membangun dualitas hanya diperlukan teorema yang sudah ada, yakni versi dual dari aksioma untuk dimensi yang dipertanyakan. Dengan demikian, untuk ruang-ruang berdimensi-3, seseorang harus membuktikan bahwa (1*) setiap titik berada dalam 3 bidang yang berbeda, (2*) setiap dua bidang berpotongan pada sebuah garis unik dan versi dual dari (3*) dampaknya: jika perpotongan bidang P dan Q koplanar dengan perpotongan bidang R dan S, maka perpotongan bidang P dan R juga koplanar dengan perpotongan Q dan S (dengan menganggap bahwa bidang P dan S berbeda dengan Q dan R).
Dalam praktiknya, prinsip dualitas membolehkan kita untuk menentukan ''korespondensi dual'' antara dua konstruksi geometri. Yang paling terkenal darinya adalah polaritas atau resiprositas dua gambar dalam kurva [[irisan kerucut]] (dalam dimensi-2) atau permukaan kuadrik (dalam dimensi-3). Sebuah contoh lazim ditemukan dalam resiprokasi [[polihedron]] simetris dalam bola konsentrik untuk mendapatkan polihedron dual.
== Aksioma geometri projektif ==
=== Aksioma Whitehead ===
* G1:
* G2:
* G3:
Alasan tiap-tiap garis dianggap memuat paling sedikit 3 titik adalah untuk mencoret beberapa kasus yang mendegenerasi. Ruang-ruang yang memenuhi 3 aksioma ini memiliki paling banyak satu garis, atau merupakan ruang-ruang projektif dari beberapa dimensi meliputi [[gelanggang perbagian]], atau merupakan [[bidang non-Desarguesian|bidang-bidang non-Desarguesian]].
=== Aksioma yang menggunakan relasi
Seseorang dapat mengikuti aksiomatisasi dengan cara mempostulatkan sebuah relasi terner, [ABC] untuk mendenotasi ketika tiga titik (tidak perlu semuanya berbeda) adalah kolinear. Sebuah aksiomatisasi dapat dituliskan juga dalam suku-suku relasi ini:
* C0: [ABA]
* C1:
* C2:
* C3:
Untuk dua titik yang berbeda, A dan B, garis AB didefinisi sebagai memuat semua titik di C sehingga [ABC]. Aksioma C0 dan C1 kemudian menyediakan sebuah formalisasi G2; C2 untuk G1, dan C3 untuk G3.
Konsep garis diperumum menjadi bidang dan subruang-subruang berdimensi lebih besar. Dengan demikian, sebuah subruang, AB…XY dapat didefinisi secara rekursif dalam suku-suku subruang AB…X karena ia memuat semua titik pada garis YZ, karena Z merentang pada AB…X. Kemudian kolinearitas diperumum menjadi relasi "independensi". Sebuah himpunan titik-titik {A, B, …, Z} adalah independen, [AB…Z] jika {A, B, …, Z} merupakan suatu subhimpunan yang membangung minimal untuk subruang AB…Z.
Aksioma projektif dapat diperlengkap oleh aksioma lebih lanjut yang mempostulatkan limit pada dimensi ruang. Dimensi minimum ditentukan oleh keujudan suatu himpunan independen ukuran yang diperlukan. Untuk dimensi yang paling kecil, persyaratan yang relevan dapat dinyatakan dalam bentuk ekivalen berikut ini. Sebuah ruang projektif memiliki syarat-syarat:
* (
* (L2) paling kecil berdimensi-1 jika ia memiliki paling sedikit 2 titik yang berbeda (dan oleh karenanya pula berlaku untuk garis),
* (L3) paling kecil berdimensi-2 jika ia memiliki paling sedikit 3 titik tak-kolinear (atau dua garis, atau sebuah garis dan sebuah titik yang tidak berada pada garis itu),
* (L4) paling kecil berdimensi-3 jika ia memiliki paling sedikit 4 titik tak-koplanar.
Dimensi maksimum boleh juga ditentukan dalam gaya yang serupa. Untuk dimensi terkecil, mereka berbentuk seperti berikut ini. Sebuah ruang projektif memiliki syarat-syarat:
* (M1) paling besar berdimensi-0 jika ia memiliki titik tidak lebih dari 1 buah,
* (M2) paling besar berdimensi-1 jika ia memiliki garis tidak lebih dari 1 buah,
* (M3) paling besar berdimensi-2 jika ia memiliki bidang tidak lebih dari 1 buah,
dan begitu seterusnya. Ini adalah sebuah teorema umum (konsekuensi dari aksioma (3)) bahwa semua garis koplanar berpotongan—peruntukan asli yang sangat prinsipal dari geometri projektif. Oleh karena itu, sifat (M3) dapat secara ekivalen menyatakan bahwa semua garis saling berpotongan satu sama lain.
Pada umumnya diasumsikan bahwa ruang projektif paling kecil berdimensi-2. Dalam beberapa kasus, jika fokus adalah pada bidang projektif, varian M3 dapat dipostulatkan. Aksioma-aksioma pada (Eves 1997: 111), misalnya, melibatkan (1), (2), (L3) dan (M3). Aksioma (3) menjadi benar-benar hampa di bawah (M3) dan oleh karenanya tidak diperlukan dalam konteks ini.
=== Aksioma untuk bidang projektif ===
{{utama|Bidang projektif}}
* (P1)
* (P2)
* (P3) Terdapat paling sedikit empat titik yang tiga di antaranya tidak kolinear.
Buku karya Coxeter
== Lihat pula ==
{{Col-begin}}
{{Col-2}}
* [[
* [[
* [[
* [[
* [[
* [[Transformasi Möbius]]
* [[Transformasi projektif]]
* [[
* [[
{{Col-2}}
* [[Teorema dasar geometri projektif]]
* [[Konfigurasi projektif]]
* [[
* [[
* [[
* [[
* [[Geometri gelanggang inversif]]
* [[Joseph Wedderburn]]
* [[Aljabar Grassmann–Cayley]]
{{Col-end}}
Baris 175 ⟶ 188:
== Referensi ==
* <cite id=refBachmann1959>F. Bachmann, 1959. ''Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff'', Springer, Berlin.</cite>
* {{cite book|last=Baer|first=Reinhold|title=Linear Algebra and Projective Geometry|url=https://archive.org/details/linearalgebrapro0000rein|year=2005|publisher=Dover|location=Mineola NY|isbn=0-486-44565-8}}
* {{cite book|last=Bennett|first=M.K.|title=Affine and Projective Geometry|url=https://archive.org/details/affineprojective0000benn|year=1995|publisher=Wiley|location=New York|isbn=0-471-11315-8}}
* {{cite book|last1=Beutelspacher|first1=Albrecht|last2=Rosenbaum|first2=Ute|title=Projective Geometry: from foundations to applications|year=1998|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge|isbn=0-521-48277-1}}
* {{cite book|last=Casse|first=Rey|title=Projective Geometry: An Introduction|year=2006|publisher=Oxford University Press|location=New York|isbn=0-19-929886-6}}
* <cite id=refCederberg2001>{{cite book
|
|
|
|url=https://archive.org/details/courseinmodernge0002cede
|location=New York
|publisher=Springer-Verlag
|year=2001
|isbn=0-387-98972-2}}</cite>
* [[H. S. M. Coxeter|Coxeter, H. S. M.]], 1995. ''The Real Projective Plane'', 3rd ed. Springer Verlag.
* <cite id=refCoxeter2003>Coxeter, H. S. M., 2003. ''Projective Geometry'', 2nd ed. Springer Verlag. ISBN 978-0-387-40623-7.</cite>
* <cite id=refCoxeter1969>{{cite book
|
|
|
|url=https://archive.org/details/introductiontoge0002coxe
|location=New York
|publisher=John Wiley & Sons |
|
* {{Citation | last1=Dembowski | first1=Peter | title=Finite geometries | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=[[Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete]], Band 44 | id={{MathSciNet | id = 0233275}} | year=1968 | isbn=3-540-61786-8}}
* [[Howard Eves]], 1997. ''Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics'', 3rd ed. Dover.
* {{cite book|last=Garner|first=Lynn E.|title=An Outline of Projective Geometry|year=1981|publisher=North Holland|location=New York|isbn=0-444-00423-8}}
* Greenberg, M.J., 2007. ''Euclidean and non-Euclidean geometries'', 4th ed. Freeman.
* Richard Hartley and Andrew Zisserman, 2003. ''Multiple view geometry in computer vision'', 2nd ed. [[Cambridge University Press]]. ISBN 0-521-54051-8
* [[Robin Hartshorne|Hartshorne, Robin]], 2009. ''Foundations of Projective Geometry'', 2nd ed. Ishi Press. ISBN 978-4-87187-837-1
* Hartshorne, Robin, 2000. ''Geometry: Euclid and Beyond''. Springer.
* [[David Hilbert|Hilbert, D.]] and Cohn-Vossen, S., 1999. ''Geometry and the imagination'', 2nd ed. Chelsea.
* <cite id=refHughes1973>D. R. Hughes and F. C. Piper, 1973. ''Projective Planes'', Springer.</cite>
* {{cite book|last=Mihalek|first=R.J.|title=Projective Geometry and Algebraic Structures|url=https://archive.org/details/projectivegeomet0000miha|year=1972|publisher=Academic Press|location=New York|isbn=0-12-495550-9}}
* <cite id=refPolster1998>{{cite book
|
|
|
|url=https://archive.org/details/geometricalpictu0000pols
|location=New York
|publisher=Springer-Verlag
|year=1998
|isbn=0-387-98437-2}}</cite>
* <cite id=refRamanan1997>{{cite journal
| doi=10.1007/BF02835009
Baris 227 ⟶ 243:
|pages=87–94
|date=August 1997 }}
* {{cite book|last=Samuel|first=Pierre|title=Projective Geometry|url=https://archive.org/details/projectivegeomet0000samu|year=1988|publisher=Springer-Verlag|location=New York|isbn=0-387-96752-4}}
* {{Cite book|first=Oswald|last=Veblen|first2=J. W. A.|last2= Young|title=Projective geometry|year=1938|place=Boston|publisher= Ginn & Co.|url=http://www.archive.org/details/117714799_001|isbn=978-1-4181-8285-4|postscript=<!--None-->}}
== Pranala luar ==
{{Commons category}}
* [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.17.1329
* [http://xahlee.org/projective_geometry/projective_geometry.html Notes] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120610062611/http://xahlee.org/projective_geometry/projective_geometry.html |date=2012-06-10 }} based on Coxeter's ''The Real Projective Plane''.
* [http://lear.inrialpes.fr/people/triggs/pubs/isprs96/isprs96.html Projective Geometry for Image Analysis] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201209143644/http://lear.inrialpes.fr/people/triggs/pubs/isprs96/isprs96.html |date=2020-12-09 }} — free tutorial by Roger Mohr and Bill Triggs.
* [http://www.geometer.org/mathcircles/projective.pdf Projective Geometry.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190819095626/http://www.geometer.org/mathcircles/projective.pdf |date=2019-08-19 }} — free tutorial by Tom Davis.
{{Authority control}}
[[Kategori:Geometri| ]]
|