Wikipedia

Geometri proyektif: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Reindra (bicara | kontrib)
Peninjau
15.568 suntingan
lanjut
InternetArchiveBot (bicara | kontrib)
Bot
653.587 suntingan
Add 1 book for Wikipedia:Pemastian (20240409)) #IABot (v2.0.9.5) (GreenC bot
 
(32 revisi perantara oleh 15 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
[[Berkas:Stereographic projection in 3D.svg|jmpl|Projektif sebuah bola ke pesawat]]
{{akan dikerjakan}}
Di dalam [[matematika]], '''geometri projektif''' adalah kajian sifat-sifat geometris yang invarian di bawah [[homografi|transformasi projektif]]. Ini berarti bahwa geometri projektif memiliki tatanan, [[ruang projektif]], dan himpunan selektif yang berbeda dibandingkan konsep-konsep geometri elementer. Intuisi-intuisi dasarnya adalah bahwa ruang projektif memiliki ''lebih banyak'' titik daripada [[ruang euklides]], di dalam dimensi yang diberikan, dan bahwa transformasi geometris adalah diizinkan untuk memindahkan titik-titik ekstra (yang disebut "[[titik di ketakhinggaan]]") ke titik-titik tradisional, dan begitu juga sebaliknya.
 
Baris 9:
 
== Tinjauan ==
Geometri projektif adalah sebuah bentuk tak-[[metrik (matematika)|metrik]] elementer dari geometri, artinya bahwa geometri projektif tidak didasarkan pada konsep jarak. Di dalam dua dimensi, geometri projektif bermula dengan kajian [[konfigurasi (geometri)|konfigurasi]] [[titik (geometri)|titik]] dan [[garis (geometri)|garis]]. Tentu saja terdapat beberapa kepentingan geometri di dalam tatanan yang langka ini dipandang sebagai geometri projektif yang dikembangkan oleh [[Gérard Desargues|Desargues]] dan lain-lain di dalam penggalian mereka akan prinsip-prinsip [[perspektif (grafis)|seni perspektif]].<ref>[[#refRamanan1997|Ramanan 1997]], p. 88</ref> Di dalam ruang-ruang yang ber[[dimensi]] lebih tinggi terdapat [[hiperbidang]] dan subruang linear lainnya, yang memperlihatkan [[#Dualitas|prinsip dualitas]]. Ilustrasi paling sederhana dari dualitas adalah dalam bidang projektif, di mana pernyataan "dua titik yang berbeda menentukan sebuah garis unik" (yakni garis yang melaluinya) dan "dua garis yang berbeda menentukan satu titik unik" (yakni titik perpotongannya) menunjukkan struktur yang sama sebagai proposisi. Geometri projektif dapat juga dipandang sebagai geometri konstruksi dengan hanya satu ''[[straightedge]]'' (sisi-lurus).<ref>[[#refCoxeter2003|Coxeter 2003]], p. v</ref> Karena geometri projektif tidak melibatkan konstruksi [[jangka]], maka tidak ada lingkaran, tidak ada sudut, tidak ada pengukuran, tidak ada garis sejajar, dan tidak ada konsep [[wikt:intermediacy|intermediasi]].<ref name="ReferenceA">[[#refCoxeter1969|Coxeter 1969]], p. 229</ref> Dimaklumi bahwa teorema-teorema yang digunakan di dalam geometri projektif adalah pernyataan-pernyataan yang lebih sederhana. Misalnya [[irisan kerucut|irisan-irisan kerucut]] yang berbeda adalah semuanya ekivalen di dalam geometri projektif (kompleks), dan beberapa teorema mengenai lingkaran dapat dilihat sebagai kasus khusus dari teorema-teorema umum ini.
 
Di dalam ruang-ruang yang ber[[dimensi]] lebih tinggi terdapat [[hiperbidang]] dan subruang linear lainnya, yang memperlihatkan [[#Dualitas|prinsip dualitas]]. Ilustrasi paling sederhana dari dualitas adalah dalam bidang projektif, di mana pernyataan "dua titik yang berbeda menentukan sebuah garis unik" (yakni garis yang melaluinya) dan "dua garis yang berbeda menentukan satu titik unik" (yakni titik perpotongannya) menunjukkan struktur yang sama sebagai proposisi.
Pada permulaan abad ke-19, karya [[Jean-Victor Poncelet|Poncelet]], [[Lazare Carnot]], dan yang lainnya mendirikan geometri projektif sebagai cabang tersendiri dari [[matematika]].<ref name="ReferenceA"/> Dasar-dasar yang saksama ini diajukan oleh [[Karl von Staudt]] dan disempurnakan oleh orang Italia [[Giuseppe Peano]], [[Mario Pieri]], [[Alessandro Padoa]], dan [[Gino Fano]] pada penghujung abad ke-19.<ref>[[#refCoxeter2003|Coxeter 2003]], p. 14</ref> Geometri projektif, seperti [[geometri afin]] dan [[geometri euklides]], dapat juga dikembangkan dari program Erlangen-nya Felix Klein; geometri projektif dikarakterisasi oleh [[Invarian (matematika)|invarian-invarian]] di bawah [[Transformasi (geometri)|transformasi-transformasi]] [[grup projektif]].
 
Geometri projektif dapat juga dipandang sebagai geometri konstruksi dengan hanya satu ''[[straightedge]]'' (sisi-lurus).<ref>[[#refCoxeter2003|Coxeter 2003]], p. v</ref> Karena geometri projektif tidak melibatkan konstruksi [[jangka]], maka tidak ada lingkaran, tidak ada sudut, tidak ada pengukuran, tidak ada garis sejajar, dan tidak ada konsep [[wikt:intermediacy|intermediasi]].<ref name="ReferenceA">[[#refCoxeter1969|Coxeter 1969]], p. 229</ref> Dimaklumi bahwa teorema-teorema yang digunakan di dalam geometri projektif adalah pernyataan-pernyataan yang lebih sederhana. Misalnya [[irisan kerucut|irisan-irisan kerucut]] yang berbeda adalah semuanya ekivalen di dalam geometri projektif (kompleks), dan beberapa teorema mengenai lingkaran dapat dilihat sebagai kasus khusus dari teorema-teorema umum ini.
Setelah banyak karya yang memuat sedemikian banyaknya teorema dalam subjek ini, dasar-dasar geometri projektif menjadi lebih terpahami. [[Struktur insidensi]] dan [[rasio silang]] adalah invarian fundamental di bawah transformasi projektif. Geometri projektif dapat dimodelkan oleh [[geometri afin|bidang afin]] (atau ruang afin) ditambah sebuah garis (hiperbidang) "di ketakhinggaan" dan kemudian memperlakukan garis itu (atau hiperbidang) sebagai sesuatu yang "biasa".<ref>[[#refCoxeter1969|Coxeter 1969]], pp. 93, 261</ref> Sebuah model aljabar untuk mengerjakan geometri projektif di dalam gaya [[geometri analitik]] diberikan oleh koordinat-koordinat homogen.<ref>[[#refCoxeter1969|Coxeter 1969]], pp. 234–238</ref><ref>[[#refCoxeter2003|Coxeter 2003]], pp. 111–132</ref> Di pihak lain, kajian-kajian aksiomatik justru menyibak keberadaan [[bidang non-desarguesian]], contoh-contoh untuk menunjukkan bahwa aksioma-aksioma insidensi dapat dimodelkan (hanya dalam dua dimensi) oleh struktur-struktur yang tidak aksesibel untuk penalaran melalui sistem koordinat homogen.
 
Pada permulaan abad ke-19, karya [[Jean-Victor Poncelet|Poncelet]], [[Lazare Carnot]], dan yang lainnya mendirikan geometri projektif sebagai cabang tersendiri dari [[matematika]].<ref name="ReferenceA"/> Dasar-dasar yang saksama ini diajukan oleh [[Karl von Staudt]] dan disempurnakan oleh orang Italia [[Giuseppe Peano]], [[Mario Pieri]], [[Alessandro Padoa]], dan [[Gino Fano]] pada penghujung abad ke-19.<ref>[[#refCoxeter2003|Coxeter 2003]], p. 14</ref>
 
Geometri projektif, seperti [[geometri afin]] dan [[geometri euklides]], dapat juga dikembangkan dari program Erlangen-nya Felix Klein; geometri projektif dikarakterisasi oleh [[Invarian (matematika)|invarian-invarian]] di bawah [[Transformasi (geometri)|transformasi-transformasi]] [[grup projektif]].
 
Setelah banyak karya yang memuat sedemikian banyaknya teorema dalam subjek ini, dasar-dasar geometri projektif menjadi lebih terpahami. [[Struktur insidensi]] dan [[rasio silang]] adalah invarian fundamental di bawah transformasi projektif. Geometri projektif dapat dimodelkan oleh [[geometri afin|bidang afin]] (atau ruang afin) ditambah sebuah garis (hiperbidang) "di ketakhinggaan" dan kemudian memperlakukan garis itu (atau hiperbidang) sebagai sesuatu yang "biasa".<ref>[[#refCoxeter1969|Coxeter 1969]], pp. 93, 261</ref>
 
Sebuah model aljabar untuk mengerjakan geometri projektif di dalam gaya [[geometri analitik]] diberikan oleh koordinat-koordinat homogen.<ref>[[#refCoxeter1969|Coxeter 1969]], pp. 234–238</ref><ref>[[#refCoxeter2003|Coxeter 2003]], pp. 111–132</ref> Di pihak lain, kajian-kajian aksiomatik justru menyibak keberadaan [[bidang non-desarguesian]], contoh-contoh untuk menunjukkan bahwa aksioma-aksioma insidensi dapat dimodelkan (hanya dalam dua dimensi) oleh struktur-struktur yang tidak aksesibel untuk penalaran melalui sistem koordinat homogen.
 
Di dalam artian yang mendasar, geometri projektif dan [[geometri terurut]] adalah elementer karena mereka melibatkan [[aksioma]] sesedikit mungkin dan kedua-duanya dapat digunakan sebagai fondasi bagi [[geometri afin]] dan [[geometri euklides]].<ref>[[#refCoxeter1969|Coxeter 1969]], pp. 175–262</ref><ref>[[#refCoxeter2003|Coxeter 2003]], pp. 102–110</ref> Geometri projektif tidaklah "terurut"<ref name="ReferenceA"/> dan dengan demikian geometri projektif adalah fondasi yang berbeda dari geometri.
 
== Sejarah ==
Sifat-sifat geometri pertama dari sifat projektif ditemukan pertama kali pada abad ke-8 oleh [[Pappus dari Iskandariyah]].<ref name="ReferenceA"/> [[Filippo Brunelleschi]] (1404–1472) mulai menyelidiki geometri perspektif pada tahun 1425<ref>
[[#refCoxeter2003|Coxeter 2003]], p. 2</ref> (lihatlah [[Perspektif (grafik)#Sejarah|sejarah perspektif]] untuk pembahasan lebih lanjut tentang karya dalam bidang seni rupa yang memotivasi banyak pengembangan geometri projektif).

[[Johannes Kepler]] (1571–1630) dan [[Gérard Desargues]] (1591–1661) secara terpisah mengembangkan konsep berporos tentang "titik di ketakhinggaan".<ref>[[#refCoxeter2003|Coxeter 2003]], p. 3</ref> Desargues mengembangkan cara alternatif untuk membikin gambar perspektif dengan memperumum penggunaan titik hilang untuk menyertakan kasus ketika titik-titik ini berjarak jauh tak terhingga. Dia membuat [[geometri euklides]], di mana garis-garis sejajar adalah benar-benar sejajar, ke dalam kasus khusus dari sistem geometri yang meliputi semuanya. Pengkajian Desargues terhadap bagian-bagian kerucut melukiskan perhatian seorang [[Blaise Pascal]] yang berumur 16 tahun dan membantunya merumuskan [[teorema Pascal]].

Karya-karya [[Gaspard Monge]] pada akhir abad ke-18 dan awal abad ke-19 adalah penting bagi pengembangan geometri projektif berikutnya. Karya Desargues diabaikan sampai [[Michel Chasles]] berkesempatan membaca salinan sebuah tulisan tangan pada tahun 1845. Sementara itu, [[Jean-Victor Poncelet]] telah menerbitkan risalah dasar tentang geometri projektif pada tahun 1822.

Poncelet memisahkan sifat-sifat projektif objek-objek dalam kelas individual dan mendirikan hubungan antara sifat-sifat metrik dan projektif. [[Geometri non-euklides]] yang ditemukan tak lama kemudian sebenarnya diperagakan untuk mendapatkan model-model, seperti [[model Klein]] tentang [[ruang hiperbolik]], yang berhubungan dengan geometri projektif.
 
Geometri projektif pada abad ke-19 ini merupakan sebuah batu loncatan dari [[geometri analitik]] ke [[geometri aljabar]]. Ketika diperlakukan dalam suku-suku [[koordinat homogen]], geometri projektif tampak seperti perluasan atau perbaikan teknis penggunaan koordinat untuk mengurangi masalah-masalah geometri terhadap [[aljabar]], yakni sebuah perluasan dengan mengurangi banyaknya kasus khusus. Kajian rinci dari [[kuadrik]] dan "[[geometri garis]]"-nya [[Julius Plücker]] masih membentuk sehimpunan kaya contoh-contoh bagi para ahli geometri untuk bekerja dengan konsep-konsep yang lebih umum.
Baris 29 ⟶ 43:
Pada bagian akhir abad ke-19, kajian rinci tentang geometri projektif menjadi kurang bergaya lagi, meski pustaka yang membahasnya sangat banyak. Beberapa karya penting telah dibikin dalam bidang [[geometri enumeratif]] khususnya, oleh Schubert, yang kini dipandang sebagai antisipasi teori [[kelas Chern]], diambil untuk menyajikan [[topologi aljabar]] [[Grassmannian]].
 
[[Paul Dirac]] mengkaji geometri projektif dan menggunakannya sebagai basis untuk pengembangan konsep-konsepnya mengenai [[mekanika kuantum]], meskipun karya-karyanya yang diterbitkan selalu berbentuk aljabar. Lihatlah [http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=262 sebuah artikel blog] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201020122652/http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=262 |date=2020-10-20 }} yang merujuk pada sebuah artikel dan buku tentang pokok bahasan ini, juga pada ceramah Dirac yang disajikan dalam audiensi umum tahun 1972 di Boston mengenai geometri projektif, tanpa menspesifikasi aplikasi dalam fisikanya.
 
== Deskripsi ==
Baris 46 ⟶ 60:
Ada banyak geometri projektif, yang dapat digolongkan sebagai diskret dan kontinu: geometri ''diskret'' terdiri dari sehimpunan titik-titik, yang banyaknya bisa saja ''berhingga'' atau ''tidak berhingga''; sedangkan geometri ''kontinu'' memiliki tak-hingga banyaknya titik tanpa jarak di antaranya.
 
Satu-satunya geometri projektif berdimensi 0 (nol) adalah sebuah titik tunggal. Geometri projektif berdimensi 1 (satu) terdiri dari sebuah garis tunggal yang memuat paling sedikit 3 (tiga) titik. Konstruksi geometris dari operasi aritmetika tidak dapat dilakukan dalam kedua-dua kasus ini. Untuk dimensi 2 (dua), terdapat struktur yang kaya berdasar atas ketidakhadiran [[Teorema Desargues]].
The only projective geometry of dimension 0 is a single point. A projective geometry of dimension 1 consists of a single line containing at least 3 points. The geometric construction of arithmetic operations cannot be carried out in either of these cases. For dimension 2, there is a rich structure in virtue of the absence of [[Desargues' Theorem]].
 
[[ImageBerkas:Fano plane.svg|thumbjmpl|rightka|The [[Bidang Fano plane]] isadalah thebidang projective planeprojektif withdengan thepaling fewestsedikit pointstitik anddan linesgaris.]]
 
According to Greenberg (1999) and others, the simplest 2-dimensional projective geometry is the [[Fano plane]], which has 3 points on every line, with 7 points and lines in all arranged with the following schedule of collinearities:
Menurut Greenberg (1999) dan lain-lain, geometri projektif berdimensi-2 yang paling sederhana adalah [[bidang Fano]], yang memiliki 3 titik pada setiap garis, dengan 7 titik dan garis yang semuanya diatur dengan jadual kolinearitas berikut ini:
<div style="-moz-column-count:2; column-count:2;">
* [ABC]
Baris 59 ⟶ 74:
* [CEG]
</div>
withdengan thekoordinat-koordinat affine coordinatesafin A = {0,0}, B = {0,1}, C = {0,W} = {1,W}, D = {1,0}, E = {W,0} = {W,1}, F = {1,1}, G = {W, W}. TheKoordinat-koordinat coordinatesdi indalam asebuah bidang Desarguesian planeuntuk fortitik-titik theyang pointsdidesain designateduntuk tomenjadi betitik-titik thedi points at infinityketakhinggaan (indalam thiscontoh exampleini: C, E, anddan G) arepada generallyumumnya nottidak unambiguouslyterdefinisi definedsecara tak-ambigu.{{Clarify|date=December 2011}}
 
InDalam standardnotasi notationbaku, asebuah [[finitegeometri projectiveprojektif geometryberhingga]] isdituliskan writtensebagai PG(''a'',''b''), di wheremana:
: ''a'' isadalah thedimensi projectiveprojektif (oratau geometricgeometris) dimension, anddan
: ''b'' isadalah oneyang lesslebih thankecil thedaripada numberbanyaknya oftitik pointspada onsebuah a linegaris (called thedisebut ''orderorde'' of the geometrygeometri).
 
ThusDengan demikian, thecontoh exampleini havinghanya onlymemiliki 7 pointstitik yang isditulis writtensebagai PG(2,2).
 
Istilah "geometri projektif" kadang-kadang digunakan untuk mengindikasi geometri abstrak pokok yang diperumum, dan kadang-kadang untuk mengindikasi geometri khusus dengan kepentingan yang lebih luas, misalnya geometri metrik bidang datar yang kita analisis melalui penggunaan [[koordinat homogen]], dan di mana [[geometri euklides]] mungkin tertanam (oleh karenanya bernama, 'bidang euklides yang diperluas').
The term "projective geometry" is sometimes used to indicate the generalised underlying abstract geometry, and sometimes to indicate a particular geometry of wide interest, such as the metric geometry of flat space which we analyse through the use of [[homogeneous coordinates]], and in which [[Euclidean geometry]] may be embedded (hence its name, [[Projective plane#Some examples|Extended Euclidean plane]]).
 
Sifat dasar yang mengkhususkan semua geometri projektif adalah sifat [[insidensi (matematika)|insidensi]] ''eliptik'' bahwa sembarang dua garis yang berbeda ''L'' dan ''M'' di dalam [[bidang projektif]] memotong tepat satu titik ''P''. Kasus khusus di dalam [[geometri analitik]] garis-garis ''sejajar'' dikumpulkan dalam bentuk garis yang lebih halus ''di ketakhinggaan'' tempat ''P'' berada. Dengan demikian, ''garis di ketakhinggaan'' adalah garis seperti yang lainnya dalam teori ini: ia berada dalam cara yang tidak khusus atau dibedakan. (Dalam roh [[program Erlangen]] seseorang dapat menunjukkan jalan [[grup (matematika)|grup]] transformasi dapat memindahkan sembarang garis ke ''garis di ketakhinggaan'').
The fundamental property that singles out all projective geometries is the ''elliptic'' [[incidence (mathematics)|incidence]] property that any two distinct lines ''L'' and ''M'' in the [[projective plane]] intersect at exactly one point ''P''. The special case in [[analytic geometry]] of ''parallel'' lines is subsumed in the smoother form of a line ''at infinity'' on which ''P'' lies. The ''line at infinity'' is thus a line like any other in the theory: it is in no way special or distinguished. (In the later spirit of the [[Erlangen programme]] one could point to the way the [[group (mathematics)|group]] of transformations can move any line to the ''line at infinity'').
 
Diberikan sebuah garis ''l'' dan sebuah titik ''P'' yang tidak berada pada garis, sifat sejajar eliptik bertentangan dengan sifat sejajar euklides dan sifat sejajar hiperbolik sebagai berikut ini:
Given a line ''l'' and a point ''P'' not on the line, the elliptic parallel property contrasts with the Euclidean and hyperbolic parallel properties as follows:
 
{|
|-
! align="left" | [[EllipticGeometri geometryeliptik|EllipticEliptik]]
| :
| anysembarang linegaris throughmelalui ''P'' meetsmenyentuh ''l'' inpada justhanya onesatu pointtitik.
|-
! align="left" | [[EuclideanGeometri geometryeuklides|EuclideanEuklides]]
| :
| justhanya onesatu linegaris throughyang melalui ''P'' mayyang bedapat foundditemukan, whichyaitu doesyang nottidak meetmenyentuh ''l''.
|-
! align="left" | [[HyperbolicGeometri geometryhiperbolik|HyperbolicHiperbolik]]
| :
| morelebih thandaripada onesatu linegaris throughyang melalui ''P'' mayyang bedapat foundditemukan, which doyang nottidak meetmenyentuh ''l''.
|}
 
Sifat sejajar eliptik adalah gagasan kunci yang mengarah pada prinsip dualitas projektif, yakni mungkin sifat terpenting di mana semua geometri projektif hidup bersama.
The elliptic parallel property is the key idea which leads to the principle of projective duality, possibly the most important property which all projective geometries have in common.
 
== Dualitas ==
Pada tahun 1825, [[Joseph Gergonne]] mengajukan prinsip [[dualitas (geometri projektif)|dualitas]] yang mengkarakterisasi geometri bidang projektif: diberikan sembarang teorema atau definisi geometri itu, lakukan substitusi ''titik'' untuk ''garis'', ''terletak pada'' untuk ''melalui'', ''kolinear'' untuk ''konkuren'', ''memotong'' untuk ''menggabungi'', atau begitu juga sebaliknya, menghasilkan teorema atau definisi sahih lainnya, "dual" dari yang pertama. Sama halnya dalam dimensi-3, relasi dualitas berlaku antara titik dan bidang, membolehkan sembarang teorema ditransformasi dengan cara mempertukarkan ''titik'' dan ''bidang,'' ''dimuat oleh'' dan ''memuat.'' Lebih umumnya, untuk bidang-bidang projektif berdimensi-N, terdapat sebuah dualitas antara subruang-subruang berdimensi-R dan berdimensi N−R−1. Untuk N = 2, bidang projektif ini menspesialisasi ke bentuk dualitas yang paling lazim dikenal-yakni antara titik dan garis. Prinsip dualitas juga telah ditemukan secara terpisah oleh [[Jean-Victor Poncelet]].
In 1825, [[Joseph Gergonne]] noted the principle of [[duality (projective geometry)|duality]] characterizing projective plane geometry: given any theorem or definition of that geometry, substituting ''point'' for ''line'', ''lie on'' for ''pass through'', ''collinear'' for ''concurrent'', ''intersection'' for ''join'', or vice versa, results in another theorem or valid definition, the "dual" of the first. Similarly in 3 dimensions, the duality relation holds between points and planes, allowing any theorem to be transformed by swapping ''point'' and ''plane,'' ''is contained by'' and ''contains.'' More generally, for projective spaces of dimension N, there is a duality between the subspaces of dimension R and dimension N−R−1. For N = 2, this specializes to the most commonly known form of duality—that between points and lines.
The duality principle was also discovered independently by [[Jean-Victor Poncelet]].
 
Untuk membangun dualitas hanya diperlukan teorema yang sudah ada, yakni versi dual dari aksioma untuk dimensi yang dipertanyakan. Dengan demikian, untuk ruang-ruang berdimensi-3, seseorang harus membuktikan bahwa (1*) setiap titik berada dalam 3 bidang yang berbeda, (2*) setiap dua bidang berpotongan pada sebuah garis unik dan versi dual dari (3*) dampaknya: jika perpotongan bidang P dan Q koplanar dengan perpotongan bidang R dan S, maka perpotongan bidang P dan R juga koplanar dengan perpotongan Q dan S (dengan menganggap bahwa bidang P dan S berbeda dengan Q dan R).
To establish duality only requires establishing theorems which are the dual versions of the axioms for the dimension in question. Thus, for 3-dimensional spaces, one needs to show that (1*) every point lies in 3 distinct planes, (2*) every two planes intersect in a unique line and a dual version of (3*) to the effect: if the intersection of plane P and Q is coplanar with the intersection of plane R and S, then so are the respective intersections of planes P and R, Q and S (assuming planes P and S are distinct from Q and R).
 
Dalam praktiknya, prinsip dualitas membolehkan kita untuk menentukan ''korespondensi dual'' antara dua konstruksi geometri. Yang paling terkenal darinya adalah polaritas atau resiprositas dua gambar dalam kurva [[irisan kerucut]] (dalam dimensi-2) atau permukaan kuadrik (dalam dimensi-3). Sebuah contoh lazim ditemukan dalam resiprokasi [[polihedron]] simetris dalam bola konsentrik untuk mendapatkan polihedron dual.
In practice, the principle of duality allows us to set up a ''dual correspondence'' between two geometric constructions. The most famous of these is the polarity or reciprocity of two figures in a [[conic]] curve (in 2 dimensions) or a quadric surface (in 3 dimensions). A commonplace example is found in the reciprocation of a symmetrical [[polyhedron]] in a concentric sphere to obtain the dual polyhedron.
 
== Aksioma geometri projektif ==
AnySembarang givengeometri geometryyang maydiberikan bedapat deduceddideduksi fromdari an appropriate set ofsehimpunan [[axiomaksioma|aksioma-aksioma]]s yang bersesuaian. ProjectiveGeometri geometriesprojektif aredikarakterisasi characterisedoleh by theaksioma "ellipticsejajar paralleleliptik", axiom,yakni thatbahwa ''anydua twobidang planessembarang alwaysselalu meetbertemu inpada justhanya onesatu linegaris'', oratau inpada thesuatu planebidang, ''anydua twogaris linessembarang alwaysselalu meetbertemu inpada justhanya onesatu pointtitik.'' InDalam otherperkataan wordslain, theretidak areada nohal-hal suchseperti thingsgaris asparalel parallelatau linesbidang orparalel planesdalam ingeometri projective geometryprojektif. Banyak Manyhimpunan alternativeaksioma-aksioma setsalternatif ofuntuk axiomsgeometri forprojektif projectiveyang geometrytelah havediajukan been(misalnya proposed (seelihatlah forcontoh exampledalam Coxeter 2003, Hilbert & Cohn-Vossen 1999, Greenberg 1980).
 
=== Aksioma Whitehead ===
TheseAksioma axiomsberikut areini baseddidasarkan onpada karya [[Alfred North Whitehead|Whitehead]], "The Axioms of Projective Geometry". There("Aksioma Geometri Projektif"). areTerdapat twodua typesjenis, pointstitik anddan linesgaris, anddan onesatu relasi "incidenceinsidensi" relationantara betweentitik pointsdan and linesgaris. TheKetiga threeaksioma axiomsini areadalah:
* G1: EverySetiap linegaris containsmemuat atpaling leastsedikit 3 pointstitik
* G2: EverySetiap twodua pointstitik, A anddan B, lieterletak onpada asebuah uniquegaris lineunik, AB.
* G3: IfJika linesgaris AB anddan CD intersectberpotongan, thenmaka sobegitu dojuga linesgaris AC anddan BD (wheredengan itanggapan is assumed thatbahwa A anddan D are distinctberbeda fromdengan B anddan C).
 
Alasan tiap-tiap garis dianggap memuat paling sedikit 3 titik adalah untuk mencoret beberapa kasus yang mendegenerasi. Ruang-ruang yang memenuhi 3 aksioma ini memiliki paling banyak satu garis, atau merupakan ruang-ruang projektif dari beberapa dimensi meliputi [[gelanggang perbagian]], atau merupakan [[bidang non-Desarguesian|bidang-bidang non-Desarguesian]].
The reason each line is assumed to contain at least 3 points is to eliminate some degenerate cases. The spaces satisfying these
three axioms either have at most one line, or are projective spaces of some dimension over a [[division ring]], or are [[non-Desarguesian plane]]s.
 
OneSeseorang candapat addmenambahkan furtheraksioma-aksioma axiomslebih restrictinglanjut theyang dimensionmembatasi orgelanggang thekoordinat coordinateatau ringdimensi. For exampleContohnya, Coxeter's ''Projective Geometry'' karya Coxeter,<ref>[[#refCoxeter2003|Coxeter 2003]], pp. 14–15</ref> referencesmerujuk Veblen<ref>[[#refVeblen1966|Veblen 1966]], pp. 16, 18, 24, 45</ref> indalam thetiga threeaksioma axiomsdi aboveatas, togetherbersama-sama with a furtherdengan 5 axiomsaksioma thatlanjutan makeyang the dimensionmembuat dimensi-3 and thedan coordinategelanggang ringkoordinat asebuah commutativelapangan fieldkarakteristik ofkomutatif characteristictidak not&nbsp;2dua.
 
=== Aksioma yang menggunakan relasi ternaryterner ===
Seseorang dapat mengikuti aksiomatisasi dengan cara mempostulatkan sebuah relasi terner, [ABC] untuk mendenotasi ketika tiga titik (tidak perlu semuanya berbeda) adalah kolinear. Sebuah aksiomatisasi dapat dituliskan juga dalam suku-suku relasi ini:
One can pursue axiomatization by postulating a ternary relation, [ABC] to denote when three points (not all necessarily distinct) are collinear. An axiomatization may be written down in terms of this relation as well:
* C0: [ABA]
* C1: IfJika A anddan B areadalah twotitik, pointssedemikian such thatsehingga [ABC] anddan [ABD], thenmaka [BDC]
* C2: IfJika A anddan B areadalah twotitik, pointsmaka thenterdapat theretitik is a third pointketiga C, suchsedemikian thatsehingga [ABC]
* C3: IfJika A anddan C areadalah two pointstitik, begitupun B anddan D also, withdengan [BCE], [ADE] buttetapi nottidak [ABE], thenmaka thereterdapat issebuah a pointtitik F, suchsedemikian thatsehingga [ACF] anddan [BDF].
For two different points, A and B, the line AB is defined as consisting of all points C for which [ABC]. The axioms C0 and C1 then provide a formalization of G2; C2 for G1 and C3 for G3.
 
Untuk dua titik yang berbeda, A dan B, garis AB didefinisi sebagai memuat semua titik di C sehingga [ABC]. Aksioma C0 dan C1 kemudian menyediakan sebuah formalisasi G2; C2 untuk G1, dan C3 untuk G3.
The concept of line generalizes to planes and higher dimensional subspaces. A subspace, AB…XY may thus be recursively defined in terms of the subspace AB…X as that containing all the points of all lines YZ, as Z ranges over AB…X. Collinearity then generalizes to the relation of "independence". A set {A, B, …, Z} of points is independent, [AB…Z] if {A, B, …, Z} is a minimal generating subset for the subspace AB…Z.
 
Konsep garis diperumum menjadi bidang dan subruang-subruang berdimensi lebih besar. Dengan demikian, sebuah subruang, AB…XY dapat didefinisi secara rekursif dalam suku-suku subruang AB…X karena ia memuat semua titik pada garis YZ, karena Z merentang pada AB…X. Kemudian kolinearitas diperumum menjadi relasi "independensi". Sebuah himpunan titik-titik {A, B, …, Z} adalah independen, [AB…Z] jika {A, B, …, Z} merupakan suatu subhimpunan yang membangung minimal untuk subruang AB…Z.
The projective axioms may be supplemented by further axioms postulating limits on the dimension of the space. The minimum dimension is determined by the existence of an independent set of the required size. For the lowest dimensions, the relevant conditions may be stated in equivalent
form as follows. A projective space is of:
* (L1) at least dimension 0 if it has at least 1 point,
* (L2) at least dimension 1 if it has at least 2 distinct points (and therefore a line),
* (L3) at least dimension 2 if it has at least 3 non-collinear points (or two lines, or a line and a point not on the line),
* (L4) at least dimension 3 if it has at least 4 non-coplanar points.
 
Aksioma projektif dapat diperlengkap oleh aksioma lebih lanjut yang mempostulatkan limit pada dimensi ruang. Dimensi minimum ditentukan oleh keujudan suatu himpunan independen ukuran yang diperlukan. Untuk dimensi yang paling kecil, persyaratan yang relevan dapat dinyatakan dalam bentuk ekivalen berikut ini. Sebuah ruang projektif memiliki syarat-syarat:
The maximum dimension may also be determined in a similar fashion. For the lowest dimensions, they take on the following forms. A projective space is of:
* (M1L1) atpaling most dimensionkecil berdimensi-0 if itjika hasia nomemiliki morepaling thansedikit 1 pointtitik,
* (L2) paling kecil berdimensi-1 jika ia memiliki paling sedikit 2 titik yang berbeda (dan oleh karenanya pula berlaku untuk garis),
* (M2) at most dimension 1 if it has no more than 1 line,
* (L3) paling kecil berdimensi-2 jika ia memiliki paling sedikit 3 titik tak-kolinear (atau dua garis, atau sebuah garis dan sebuah titik yang tidak berada pada garis itu),
* (M3) at most dimension 2 if it has no more than 1 plane,
* (L4) paling kecil berdimensi-3 jika ia memiliki paling sedikit 4 titik tak-koplanar.
and so on. It is a general theorem (a consequence of axiom (3)) that all coplanar lines intersect—the very principle Projective Geometry was originally intended to embody. Therefore, property (M3) may be equivalently stated that all lines intersect one another.
 
Dimensi maksimum boleh juga ditentukan dalam gaya yang serupa. Untuk dimensi terkecil, mereka berbentuk seperti berikut ini. Sebuah ruang projektif memiliki syarat-syarat:
It is generally assumed that projective spaces are of at least dimension 2. In some cases, if the focus is on projective planes, a variant of M3 may be postulated. The axioms of (Eves 1997: 111), for instance, include (1), (2), (L3) and (M3). Axiom (3) becomes vacuously true under (M3) and is therefore not needed in this context.
* (M1) paling besar berdimensi-0 jika ia memiliki titik tidak lebih dari 1 buah,
* (M2) paling besar berdimensi-1 jika ia memiliki garis tidak lebih dari 1 buah,
* (M3) paling besar berdimensi-2 jika ia memiliki bidang tidak lebih dari 1 buah,
dan begitu seterusnya. Ini adalah sebuah teorema umum (konsekuensi dari aksioma (3)) bahwa semua garis koplanar berpotongan—peruntukan asli yang sangat prinsipal dari geometri projektif. Oleh karena itu, sifat (M3) dapat secara ekivalen menyatakan bahwa semua garis saling berpotongan satu sama lain.
 
Pada umumnya diasumsikan bahwa ruang projektif paling kecil berdimensi-2. Dalam beberapa kasus, jika fokus adalah pada bidang projektif, varian M3 dapat dipostulatkan. Aksioma-aksioma pada (Eves 1997: 111), misalnya, melibatkan (1), (2), (L3) dan (M3). Aksioma (3) menjadi benar-benar hampa di bawah (M3) dan oleh karenanya tidak diperlukan dalam konteks ini.
 
=== Aksioma untuk bidang projektif ===
{{utama|Bidang projektif}}
{{main|Projective plane}}
InDalam [[incidencegeometri geometryinsidensi]], mostsebagian authorsbesar penulis<ref>{{harvnb|Bennett|1995|loc=pg. 4}}, {{harvnb|Beutelspacher|Rosenberg|1998|loc=pg. 8}}, {{harvnb|Casse|2006|loc=pg. 29}}, {{harvnb|Cederberg|2001|loc=pg. 9}}, {{harvnb|Garner|1981|loc=pg. 7}}, {{harvnb|Hughes|Piper|1973|loc=pg. 77}}, {{harvnb|Mihalek|1972|loc=pg. 29}}, {{harvnb|Polster|1998|loc=pg. 5}}, anddan {{harvnb|Samuel|1988|loc= pg. 21}} amongadalah thedi referencesantara givenreferensi-referensi yang diberikan.</ref> give amemberikan treatmentsuatu thatperlakuan embracesyang themelingkupi [[Fanobidang planeFano]] PG(2,&nbsp;2) assebagai thebidang minimalprojektif finiteberhingga projective planeminimal. Sebuah An[[sistem axiom systemaksioma]] thatyang achievesmenerimanya thisadalah isyang asberikut followsini:
* (P1) AnySembarang twodua distincttitik pointsyang lieberbeda onterletak apada uniquesebuah linegaris unik.
* (P2) AnySembarang twodua distinctgaris linesyang meetberbeda inbertemu adi uniquesebuah pointtitik unik.
* (P3) Terdapat paling sedikit empat titik yang tiga di antaranya tidak kolinear.
* (P3) There exist at least four points of which no three are collinear.
 
Buku karya Coxeter's, ''Introduction to Geometry''<ref>[[#refCoxeter1969|Coxeter 1969]], pp. 229–234</ref> givesmemberikan asebuah daftar listberisi oflima fiveaksioma axiomsuntuk forsuatu akonsep moreyang restrictivelebih conceptterbatas oftentang abidang projectiveprojektif planeyang attributedberkaitan todengan Bachmann, addingmenambahkan [[Pappus'steorema hexagonheksagon theoremPappus|teorema Pappus's theorem]] toke thedalam listdaftar ofaksioma axiomsdi aboveatas (whichyang eliminatesmencoret [[bidang non-Desarguesian|bidang-bidang planenon-Desarguesian]]s), anddan excludingtidak projectivemelibatkan planesbidang-bidang overprojektif fieldspada oflapangan characteristicberkarakteristik 2 (thoseyaitu thatmereka don'ttidak satisfymemenuhi aksioma Fano's axiom). TheBidang-bidang restrictedterbatas planesyang givendiberikan indalam thishal mannerini moreamatlah closelymirip resemble thedengan [[realbidang projectiveprojektif planereal]].
 
== Lihat pula ==
{{Col-begin}}
{{Col-2}}
* [[ProjectiveGaris lineprojectif]]
* [[ProjectiveBidang planeprojektif]]
* [[ProjectiveRuang spaceprojektif]]
* [[IncidenceIncidensi (mathematicsmatematika)|IncidenceInsidensi]]
* [[Cross-ratioNisbah silang]]
* [[Transformasi Möbius]]
*[[Möbius transformation]]
* [[Transformasi projektif]]
*[[Projective transformation]]
* [[HomogeneousKoordinat coordinateshomogen]]
* [[DualityDualitas (projectivegeometri geometryprojektif)]]
{{Col-2}}
* [[Teorema dasar geometri projektif]]
*[[Fundamental theorem of projective geometry]]
* [[Konfigurasi projektif]]
*[[Projective configuration]]
* [[CompleteEmpatsudut quadranglelengkap]]
* [[Desargues'Teorema theoremDesargues]]
* [[Pappus'sTeorema hexagonheksagon theoremPappus]]
* [[Pascal'sTeorema theoremPascal]]
* [[Geometri gelanggang inversif]]
*[[Inversive ring geometry]]
* [[Joseph Wedderburn]]
* [[Aljabar Grassmann–Cayley]]
*[[Grassmann–Cayley algebra]]
{{Col-end}}
 
Baris 175 ⟶ 188:
== Referensi ==
* <cite id=refBachmann1959>F. Bachmann, 1959. ''Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff'', Springer, Berlin.</cite>
* {{cite book|last=Baer|first=Reinhold|title=Linear Algebra and Projective Geometry|url=https://archive.org/details/linearalgebrapro0000rein|year=2005|publisher=Dover|location=Mineola NY|isbn=0-486-44565-8}}
* {{cite book|last=Bennett|first=M.K.|title=Affine and Projective Geometry|url=https://archive.org/details/affineprojective0000benn|year=1995|publisher=Wiley|location=New York|isbn=0-471-11315-8}}
* {{cite book|last1=Beutelspacher|first1=Albrecht|last2=Rosenbaum|first2=Ute|title=Projective Geometry: from foundations to applications|year=1998|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge|isbn=0-521-48277-1}}
* {{cite book|last=Casse|first=Rey|title=Projective Geometry: An Introduction|year=2006|publisher=Oxford University Press|location=New York|isbn=0-19-929886-6}}
* <cite id=refCederberg2001>{{cite book
| last=Cederberg
| first=Judith N.
| title=A Course in Modern Geometries
|url=https://archive.org/details/courseinmodernge0002cede
| location=New York
|location=New York
| publisher=Springer-Verlag
|publisher=Springer-Verlag
| year=2001
|year=2001
| isbn=0-387-98972-2}}</cite>
|isbn=0-387-98972-2}}</cite>
* [[H. S. M. Coxeter|Coxeter, H. S. M.]], 1995. ''The Real Projective Plane'', 3rd ed. Springer Verlag.
* <cite id=refCoxeter2003>Coxeter, H. S. M., 2003. ''Projective Geometry'', 2nd ed. Springer Verlag. ISBN 978-0-387-40623-7.</cite>
* <cite id=refCoxeter1969>{{cite book
| last=Coxeter
| first=H. S. M.
| title=Introduction to Geometry
|url=https://archive.org/details/introductiontoge0002coxe
| location=New York
|location=New York
|publisher=John Wiley & Sons
| year=1969
| isbn=0-471-50458-0}}</cite>
* {{Citation | last1=Dembowski | first1=Peter | title=Finite geometries | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=[[Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete]], Band 44 | id={{MathSciNet | id = 0233275}} | year=1968 | isbn=3-540-61786-8}}
* [[Howard Eves]], 1997. ''Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics'', 3rd ed. Dover.
* {{cite book|last=Garner|first=Lynn E.|title=An Outline of Projective Geometry|year=1981|publisher=North Holland|location=New York|isbn=0-444-00423-8}}
* Greenberg, M.J., 2007. ''Euclidean and non-Euclidean geometries'', 4th ed. Freeman.
* Richard Hartley and Andrew Zisserman, 2003. ''Multiple view geometry in computer vision'', 2nd ed. [[Cambridge University Press]]. ISBN 0-521-54051-8
* [[Robin Hartshorne|Hartshorne, Robin]], 2009. ''Foundations of Projective Geometry'', 2nd ed. Ishi Press. ISBN 978-4-87187-837-1
* Hartshorne, Robin, 2000. ''Geometry: Euclid and Beyond''. Springer.
* [[David Hilbert|Hilbert, D.]] and Cohn-Vossen, S., 1999. ''Geometry and the imagination'', 2nd ed. Chelsea.
* <cite id=refHughes1973>D. R. Hughes and F. C. Piper, 1973. ''Projective Planes'', Springer.</cite>
* {{cite book|last=Mihalek|first=R.J.|title=Projective Geometry and Algebraic Structures|url=https://archive.org/details/projectivegeomet0000miha|year=1972|publisher=Academic Press|location=New York|isbn=0-12-495550-9}}
* <cite id=refPolster1998>{{cite book
| last=Polster
| first=Burkard
| title=A Geometrical Picture Book
|url=https://archive.org/details/geometricalpictu0000pols
| location=New York
|location=New York
| publisher=Springer-Verlag
|publisher=Springer-Verlag
| year=1998
|year=1998
| isbn=0-387-98437-2}}</cite>
|isbn=0-387-98437-2}}</cite>
* <cite id=refRamanan1997>{{cite journal
| doi=10.1007/BF02835009
Baris 227 ⟶ 243:
|pages=87–94
|date=August 1997 }}
* {{cite book|last=Samuel|first=Pierre|title=Projective Geometry|url=https://archive.org/details/projectivegeomet0000samu|year=1988|publisher=Springer-Verlag|location=New York|isbn=0-387-96752-4}}
* {{Cite book|first=Oswald|last=Veblen|first2=J. W. A.|last2= Young|title=Projective geometry|year=1938|place=Boston|publisher= Ginn & Co.|url=http://www.archive.org/details/117714799_001|isbn=978-1-4181-8285-4|postscript=<!--None-->}}
 
== Pranala luar ==
{{Commons category}}
* [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.17.1329 Projective Geometry for Machine Vision] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141207043642/http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.17.1329 |date=2014-12-07 }} — tutorial by Joe Mundy and Andrew Zisserman.
* [http://xahlee.org/projective_geometry/projective_geometry.html Notes] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120610062611/http://xahlee.org/projective_geometry/projective_geometry.html |date=2012-06-10 }} based on Coxeter's ''The Real Projective Plane''.
* [http://lear.inrialpes.fr/people/triggs/pubs/isprs96/isprs96.html Projective Geometry for Image Analysis] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201209143644/http://lear.inrialpes.fr/people/triggs/pubs/isprs96/isprs96.html |date=2020-12-09 }} — free tutorial by Roger Mohr and Bill Triggs.
* [http://www.geometer.org/mathcircles/projective.pdf Projective Geometry.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190819095626/http://www.geometer.org/mathcircles/projective.pdf |date=2019-08-19 }} — free tutorial by Tom Davis.
{{Authority control}}
 
[[Kategori:Geometri| ]]
 
[[ar:هندسة إسقاطية]]
[[bn:অভিক্ষেপ জ্যামিতি]]
[[bg:Проективна геометрия]]
[[ca:Geometria projectiva]]
[[cs:Projektivní geometrie]]
[[de:Projektive Geometrie]]
[[en:Projective geometry]]
[[es:Geometría proyectiva (Matemáticas)]]
[[fr:Géométrie projective]]
[[ko:사영기하학]]
[[it:Geometria proiettiva]]
[[he:גאומטריה פרויקטיבית]]
[[hu:Projektív geometria]]
[[nl:Projectieve meetkunde]]
[[ja:射影幾何学]]
[[nn:Projektiv geometri]]
[[pms:Geometrìa projetiva]]
[[pl:Geometria rzutowa]]
[[pt:Geometria projetiva]]
[[ro:Geometrie proiectivă]]
[[ru:Проективная геометрия]]
[[sk:Projektívna geometria]]
[[sl:Projektivna geometrija]]
[[tr:Tasarı geometri]]
[[uk:Проективна геометрія]]
[[zh:射影几何]]
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Geometri_proyektif"