Homeomorfisme: Perbedaan antara revisi

[[Berkas:Mug_and_Torus_morph.gif|ka|jmpl|240x240px|Sebuah deformasi kontinu antara cangkir kopi dan donat ([[torus]]) menggambarkan bagaimana keduanya saling  [[Homeomorfisma|homeomorfik]].]]

Dalam  cabang  [[matematika]] bidang [[topologi]], '''homeomorfisme '''atau''' isomorfisme topologi '''atau '''fungsi dwikontinu'''  atau '''dwimalar''' adalah [[fungsi kontinu]] antara [[ruang  topologi]]  yang memiliki [[fungsi invers]] yang juga kontinu. Homeomorfisme adalah [[isomorfisme]] dalam [[kategori ruang topologi]]. Dua ruang topologi dengan sebuah homeomorfisme antara keduanya disebut homeomorfik. Kata ''homeomorfisme'' berasal dari kata-kata  [[Bahasa Yunani|bahasa yunani]]  ''[[wiktionary:ὅμοιος|ὅμοιος]]'' (''homoios'') = mirip atau sama  dan ''[[wiktionary:μορφή|μορφή]]'' (''morphē'') = bentuk, bentuk, diperkenalkan di dalam matematika oleh [[Henri Poincaré]] pada tahun 1895.<ref>http://serge.mehl.free.fr/anx/ana_situs.html</ref><ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=thAHAGyV2MQC&pg=PA67|title=Introduction to Topology|last=Gamelin|first=T. W.|last2=Greene|first2=R. E.|publisher=Courier|year=1999|isbn=|page=67}}</ref>

Secara kasar, sebuah ruang topologi adalah obyekobjek [[geometri]], dengan homeomorfisme-nya adalah tekukan dan regangan secara malar ke bentuk yang baru. Sehingga, [[persegi]] dan [[lingkaran]] merupakan homeomorfik satu sama lain, tapi tidak dengan [[kulit bola]] dan [[torus]]. Namun, deskripsi ini dapat menjerumuskan. Beberapa deformasi malar bukanlah sebuah homeomorfisme, misalnya pengkerutan garis menjadi titik. Beberapa homeomorfisme bukanlah deformasi malar, misalkan homeomorfisme antara [[simpul  trefoil]]  dan lingkaran.

Sebuah [[Fungsi (matematika)|fungsi]] <math>f : X \to Y</math> antara dua [[ruang topologi]]  <math>(X,\mathcal{T}_X)</math> dan <math>(Y, \mathcal{T}_Y)</math> disebut '''homeomorfisme''' jika memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

* <math>f</math>  adalah [[fungsi kontinu]],

Fungsi dengan tiga sifat ini disebut juga  '''dwikontinu'''. Jika terdapat fungsi dengan sifat-sifat tersebut, kita katakan <math>(X,\mathcal{T}_X)</math> dan <math>(Y, \mathcal{T}_Y)</math> adalah  '''homeomorfik'''. Sebuah '''swahomeomorfisme''' atau '''otohomeomorfisme'''  merupakan homeomorfisme dari sebuah ruang topologi ke dirinya sendiri.  Homeomorfisme membentuk sebuah hubungan kesetaraan dalam sebuah kelas atau keluarga ruang topologi. Kelas kesetaraan ini disebut '''kelas homeomorfisme'''.

* Interval terbuka  <math display="inline">(a,b)</math> homeomorfik dengan  [[Garis bilangan real|garis  bilangan riil]] <math display="inline">\mathbf{R}</math>. (dalam kasus ini salah satu pemetaan bikontinu diberikan oleh  <math display="inline">f(x) = \frac{1}{a-x} + \frac{1}{b-x} </math> dimana pemetaan lain bisa juga diberikan oleh fungsi  tan or arg tanh yang telah dibesar-kecilkan dan digeser).

* DiskCakram satuan  <math display="inline">D^2</math> dan persegi satuan (persegi  dengan panjang sisi 1 dan isinya)  di  '''R'''² saling homeomorfik; karena diskcakram dan persegi bisa dideformasi satu sama lain. Salah satu contoh pemetaan dwikontinu dari persegi ke diskcakram diberikan oleh, dalam  [[koordinat polar]], <math>(\rho, \theta) \mapsto \left( \rho \max(|\cos \theta|, |\sin \theta|), \theta\right)</math>.

* [[Kurva]] dari fungsi yang dapat diturunkan homeomorfik dengan [[Domain fungsi|domain]]  fungsi itu sendiri.

* Sebuah [[Peta (topologi)|peta]]  dari sebuah [[manifold]]  adalah homeomorfisme antara [[himpunan terbuka]]  dari manifold dengan sebuah himpunan terbuka dari [[ruang Euklides]].

* Proyeksi stereografik merupakan homeomorfisme antara kulit bola di  '''R'''³ dengan salah satu titiknya dihilangkan, dengan seluruh titik di  '''R'''².

* Jika  <math>G</math>  adalah sebuah [[grup topologis]], peta inversinya  <math>x \mapsto x^{-1}</math> merupakan sebuah homeomorfisme. Juga, untuk sembarang  <math>x \in G</math>, pergeseran kiri  <math>y \mapsto xy</math>, pergeseran kanan  <math>y \mapsto yx</math>, dan automorfismeotomorfisme dalamnya (transformasi konjugat)  <math>y \mapsto xyx^{-1}</math> merupakan homeomorfisme.

* '''R'''^''m'' dan '''R'''^''n'' tidak homeomorfik untuk {{Nowrap|''m'' &ne;≠ ''n''.}}

* [[Garis bilangan real|Garis bilangan riil]] tidak homeomorfik dengan lingkaran jika keduanya dianggap sebagai subruang dari '''R'''^''2'', karena lingkaran bersifat  kompak dalam [[topologi]] biasa  '''R'''^''2'' tapi tidak dengan garis bilangan riil.

Syarat ketiga, yaitu  <math display="inline">f^{-1}</math> supaya kontinu, sangat penting. Misalkan sebuah fungsi  <math display="inline">f : [0,2\pi) \to S^1</math> ([[lingkaran]] dalam  <math display="inline">\mathbb{R}^2</math>) yang didefinisikan sebagai<math display="inline">f(\phi) = (\cos\phi,\sin\phi)</math>. Fungsi ini bijektif dan kontinu, tapi bukan merupakan sebuah homeomorfisme (<math display="inline">S^1</math>  bersifat kompak tetapi  <math display="inline">[0,2\pi)</math>  tidak kompak). Fungsi  <math display="inline">f^{-1}</math> tidak kontinu pada titik<math display="inline">(1,0)</math>, dikarenakan meskipun  <math display="inline">f^{-1}</math> memetakan  <math display="inline">(1,0)</math>  ke  <math display="inline">0</math>, seluruh tetangga dari titik ini juga mengandung titik-titik yang oleh fungsi invers ini dipetakan dekat dengan  <math display="inline">2\pi</math>, tapi titik-titik tersebut berada di luar tetangga <math display="inline">2\pi</math>.<ref>Väisälä, Jussi: ''Topologia I'', Limes RY 1999, p. 63. {{ISBN|951-745-184-9}}.</ref>

Homeomorfisme adalah [[isomorfisme]] dalam [[kategori ruang topologi]]. Dengan demikian, komposisi dari dua homeomorfisme juga merupakan homeomorfisme, dan himpunan dari semua swahomeomorfisme  <math display="inline">X \to X</math> membentuk sebuah  [[Grup (teori grup)|grup]], yang disebut '''[[grup homeomorfisme]]'''  dari ''X'', yang sering dilambangkan <math display="inline">\text{Homeo}(X)</math>. Grup ini dapat diberikan topologi, seperti [[topologi kompak-terbuka]], dimana dengan asumsi-asumsi tertentu dapat membuatnya menjadi  [[grup topologis]].<ref>{{Cite journal|last=Dijkstra|first=Jan J.|date=1 December 2005|title=On Homeomorphism Groups and the Compact-Open Topology|url=http://www.cs.vu.nl/~dijkstra/research/papers/2005compactopen.pdf|journal=The American Mathematical Monthly|volume=112|issue=10|pages=910|doi=10.2307/30037630}}</ref>

Seperti biasanya dalam teori kategori, jika diberikan dua ruang yang saling homeomorfik, ruang homeomorfisme antara keduanya,  <math display="inline">\text{Homeo}(X,Y)</math>adalah sebuah torsor untuk grup homeomorfisme  <math display="inline">\text{Homeo}(X)</math> dan <math display="inline">\text{Homeo}(Y)</math>dan, dengan menentukan sebuah homeomorfisme antara <math>X</math> dan <math>Y</math>ketiga himpunan dapat diidentifikasi.

* Setiap swahomeomorfisme dalam  lingkaran <math>S^1</math> dapat diperluas menjadi sebuah swahomeomorfisme di dalam disk cakram <math>D^2</math> ([[trik Alexander]]). Secara umum setiap swahomeomorfisme dalam kulit bola <math>S^{n-1}</math>bisa diperluas menjadi sebuah swahomeomorfisme dalam bola pejal atau cakram <math>D^n</math>.

== Diskusi Informalinformal ==