Irisan kerucut: Perbedaan antara revisi

[[Berkas:Table of Conics, Cyclopaedia, volume 1, p 304, 1728.jpg|thumb|Tabel [[Cyclopædia, atau Kamus Universal Seni dan Sains|Cylopedia]]]]

Dalam [[matematika]], '''irisan kerucut''' adalah [[lokus (matematika)|lokus]] dari semua [[titik]] yang membentuk [[kurva]] dua-[[dimensi]], yang terbentuk oleh irisan sebuah [[kerucut]] dengan sebuah [[bidang]]. Tiga jenis kurva yang dapat terjadi adalah [[Parabola]], [[Elips]], dan [[Hiperbola (matematikageometri)|Hiperbola]]. [[Apollonius dari Perga]] adalah [[matematikawan]] [[Yunani]] yang pertama mempelajari irisan kerucut secara sistematik pada awal [[abad ke-2 SM]].

Jika sebuah bidang mengiris kerucut sejajar dengan satu dan hanya satu generator, maka irisannya adalah [[parabola]]. Jika bidang pengiris sejajar dengan dua generator, maka irisannya akan memotong kedua kulit dan membentuk sebuah [[hiperbolaHiperbola (matematikageometri)|hiperbola]]. Sebuah [[elips]] terjadi jika bidang pengiris tidak sejajar dengan generator mana pun. [[Lingkaran]] adalah kasus khusus dari elips, yang terbentuk jika bidang pengiris memotong semua generator dan tegak lurus sumbu kerucut.

Secara [[geometri analitis]], irisan kerucut dapat didefinisikan sebagai:{{cquote|tempat kedudukan titik-titik pada sebuah bidang, sedemikian, sehingga jarak titik-titik tersebut ke sebuah titik tetap ''F'' (yang disebut fokus) memiliki rasio yang konstan terhadap jarak titik-titik tersebut ke sebuah garis tetap ''L'' (disebut direktriks) yang tidak mengandung F<ref>{{cite book|last=Leithold|first=Louis|title=The Calculus with Analytic Geometry|url=https://archive.org/details/calculuswithanal0004leit|year=1981|publisher=Harper & Row, Publisher, Inc.|location=New York|id=ISBN 0-06-043935-1|pages=[https://archive.org/details/calculuswithanal0004leit/page/657 657]|chapter=13 }}</ref>.}}

[[Berkas:Eccentricity.png|ka|jmpl|280px|Eksentrisitas adalah rasio antara ''FMFP'' dan ''MP'MP''.<FONT COLOR="#ff0000">Elips (''e'' = 1/2)</FONT>, <FONT COLOR="#00ff00">parabola (''e'' = 1)</FONT> dan <FONT COLOR="#0000ff">hiperbola (''e'' = 2)</FONT> dengan fokus (''F'') dan direktriks yang tetap.]]

* Jika ''h² &gt; ab'', persamaan ini menghasilkan [[hiperbolaHiperbola (matematikageometri)|hiperbola]].

:<math>Ax^2 + BxyBy^2 + Cy^2Cx + DxDxy + Ey + F = 0</math>

* Jika A ≠ B dan bertanda negatif maka persamaan adalah [[hiperbolaHiperbola (matematikageometri)|hiperbola]]

: Titik pusat (0,0): <math>x^2 + y^2 = r^2 </math>

: Titik pusat (h,k): <math>(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 </math>\text { atau <math>} x^2 + 2hx + h^2 + y^2 + 2ky + k^2 - r^2 = 0 </math>

dengan <math>x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 </math> maka <math>A = 2h, B = 2k \text { serta } C = h^2 + k^2 - r^2 </math>

| Persamaan || <math>x^2 = 4py </math> || <math>y^2 = 4px </math>

| Fokus || <math>F (0, p) </math> || <math>F (p, 0) </math>

| Direktris || <math>y = - p </math> || <math>x = - p </math>

| Persamaan || <math>(x - h)^2 = 4p(y - k) </math> || <math>(y - k)^2 = 4p(x - h) </math>

| Sumbu simetri || <math>x = h </math> || <math>y = k </math>

| Fokus || <math>F (h, k + p) </math> || <math>F (h + p, k) </math>

| Direktris || <math>y = k - p </math> || <math>x = h - p </math>

| Persamaan || <math>\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 </math> || <math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 </math>

| Panjang sumbu mayor || <math>2a </math> || <math>2a </math>

| Panjang sumbu minor || <math>2b </math> || <math>2b </math>

| Panjang Latus Rectum || <math>L = \frac{2b^2}{a} </math> || <math>L = \frac{2b^2}{a} </math>

| Fokus || <math>F (0, \pm c) </math> || <math>F (\pm c, 0) </math>

| Puncak || <math>P (0, \pm a) </math> || <math> P (\pm a,0) </math>

| Direktris || <math>y = \pm \frac{a^2}{c} </math> || <math>x = \pm \frac{a^2}{c} </math>

| Eksentrisitas || <math>e = \frac{c}{a} </math> || <math>e = \frac{c}{a} </math>

| Persamaan || <math>\frac{(x - h)^2}{b^2} + \frac{(y - k)^2}{a^2} = 1 </math> || <math>\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 </math>

| Panjang sumbu mayor || <math>2a </math> || <math>2a </math>

| Panjang sumbu minor || <math>2b </math> || <math>2b </math>

| Panjang Latus Rectum || <math>L = \frac{2b^2}{a} </math> || <math>L = \frac{2b^2}{a} </math>

| Fokus || <math>F (h, k \pm c) </math> || <math>F (h \pm c, k) </math>

| Puncak || <math>P (h, k \pm a) </math> || <math>P (h \pm a, k) </math>

| Direktris || <math>y = \pm \frac{a^2}{c} </math> || <math>x = \pm \frac{a^2}{c} </math>

| Eksentrisitas || <math>e = \frac{c}{a} </math> || <math>e = \frac{c}{a} </math>

dimana <math> c = \sqrt{a^2 - b^2} </math>

| Persamaan || <math>\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1 </math> || <math>\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 </math>

| Panjang sumbu mayor || <math>2a </math> || <math>2a </math>

| Panjang sumbu minor || <math>2b </math> || <math>2b </math>

| Panjang Latus Rectum || <math>L = \frac{2b^2}{a} </math> || <math>L = \frac{2b^2}{a} </math>

| Fokus || <math>F (0, \pm c) </math> || <math>F (\pm c, 0) </math>

| Puncak || <math>P (0, \pm a) </math> || <math>P (\pm a,0) </math>

| Asimtot || <math>y = \pm \frac{a}{b} x </math> || <math>y = \pm \frac{b}{a} x </math>

| Eksentrisitas || <math>e = \frac{c}{a} </math> || <math>e = \frac{c}{a} </math>

| Persamaan || <math>\frac{(x - h)^2}{b^2} - \frac{(y - k)^2}{a^2} = 1 </math> || <math>\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 </math>

| Panjang sumbu mayor || <math>2a </math> || <math>2a </math>

| Panjang sumbu minor || <math>2b </math> || <math>2b </math>

| Panjang Latus Rectum || <math>L = \frac{2b^2}{a} </math> || <math>L = \frac{2b^2}{a} </math>

| Fokus || <math>F (h, k \pm c) </math> || <math>F (h \pm c, k) </math>

| Puncak || <math>P (h, k \pm a) </math> || <math>P (h \pm a, k) </math>

| Asimtot || <math>(y - k) = \pm \frac{a}{b} (x - h) </math> || <math>(y - k) = \pm \frac{b}{a} (x - h) </math>

| Eksentrisitas || <math>e = \frac{c}{a} </math> || <math>e = \frac{c}{a} </math>

dimana <math> c = \sqrt{a^2 + b^2} </math>

| Lingkaran || colspan=2 align="center"| <math>y = mx \pm r\sqrt{1+m^2} </math>

| Parabola || <math>y = mx - p m </math> || <math>y = mx + \frac{p}{m} </math>

| Elips || <math>y = mx \pm \sqrt{b^2 + a^2m^2} </math> || <math>y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} </math>

| Hiperbola || <math>y = mx \pm \sqrt{b^2 - a^2m^2} </math> || <math>y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} </math>

| Lingkaran || colspan=2 align="center"| <math>(y - k) = m(x - h) \pm r\sqrt{1+m} </math>

| Parabala || <math>(y - k) = m(x - h) - p m </math> || <math>(y - k) = m(x -h) + \frac{p}{m} </math>

| Elips || <math>(y - k) = m(x - h) \pm \sqrt{b^2 + a^2m^2} </math> || <math>(y - k) = m(x - h) \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} </math>

| Hiperbola || <math>y = mx \pm \sqrt{b^2 - a^2m^2} </math> || <math>y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} </math>

: jika persamaan garis lurus bergradien sejajar maka <math>m_2 = m_1 </math>

: jika persamaan garis lurus bergradien tegak lurus maka <math>m_2 = \frac{-1}{m_1} </math>

| Lingkaran || colspan=2 align="center"| <math>x x_1 + y y_1 = r^2 </math>

| Parabola || <math>x x_1 = 2py + 2py_1 </math> || <math>y y_1 = 2px + 2px_1 </math>

| Elips || <math>\frac{x x_1}{b^2} + \frac{y y_1}{a^2} = 1 </math> || <math>\frac{x x_1}{a^2} + \frac{y y_1}{b^2} = 1 </math>

| Hiperbola || <math>\frac{x x_1}{b^2} - \frac{y y_1}{a^2} = 1 </math> || <math>\frac{x x_1}{a^2} - \frac{y y_1}{b^2} = 1 </math>

| Lingkaran || colspan=2 align="center"| <math>(x - h)(x_1 - h) + (y - k)(y_1 - k) = r^2 </math> atau <br><math> x x_1 + y y_1 + \frac{1}{2} A x + \frac{1}{2} A x_1 + \frac{1}{2} B y + \frac{1}{2} B y_1 + C = 0 </math>

| Parabola || <math>(x - h)(x_1 - h) = 2p(y - k) + 2p(y_1 - k) </math> || <math>(y - k)(y_1 - k) = 2p(x - h) + 2p(x_1 - h) </math>

| Elips || <math>\frac{(x - h)(x_1 - h)}{b^2} + \frac{(y - k)(y_1 - k)}{a^2} = 1 </math> || <math>\frac{(x - h)(x_1 - h)}{a^2} + \frac{(y - k)(y_1 - k)}{b^2} = 1 </math>

| Hiperbola || <math>\frac{(x - h)(x_1 - h)}{b^2} - \frac{(y - k)(y_1 - k)}{a^2} = 1 </math> || <math>\frac{(x - h)(x_1 - h)}{a^2} - \frac{(y - k)(y_1 - k)}{b^2} = 1 </math>

:<math>y^2 = 16x -> y^2 = 4 (4x) \text { jadi } p = 4 </math>

:<math>y = 2xmx + \frac{4p}{2m} -> y = 2x + 2 </math>

* Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (4,8) terhadap <math>y^2 = 16x </math>!

:<math>y^2 -= 16x =-> 0y^2 maka= masukkan lah (4,8) (84x)^2 -\text 16{ (4)jadi =} 0p = 0 4</math> (dalam)

:<math>y y_1 = 2px + 2px_1 </math>

:<math>8y = 8x2(4)x + 8 2(4)(4) </math>

:<math>8y = 8x + 32 </math> (dibagi 8)

* Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (1,5) terhadap <math>y^2 = 16x </math>!

:<math>y^2 -= 16x =-> 0y^2 maka= masukkan lah4 (1,54x) (5)^2\text -{ 16jadi (1)} p = 9 > 0 4</math> (luar)

:<math>y y_1 = 2px + 2px_1 </math>

:<math>5y = 8x2(4)x + 8 2(4)(1) </math>

:<math>5y = 8x + 8 </math>

:<math>y = \frac{8}{5}x + \frac{8}{5} </math>

masukkan lah <math>y^2 = 16x </math>

:<math>(\frac{8}{5}x + \frac{8}{5})^2 = 16x </math>

:<math>\frac{64}{25}x^2 + \frac{128}{25}x + \frac{64}{25} - 16x = 0 </math>

:<math>\frac{64}{25}x^2 + \frac{128}{25}x + \frac{64}{25} - \frac{400}{25}x = 0 </math>

:<math>4x^2 - 17x + 4 = 0 </math>

:<math>x = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math>

:<math>x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 256}}{8} </math>

:<math>x = \frac{17 \pm \sqrt{33}}{8} </math>

:<math>x_1 = \frac{17 + \sqrt{33}}{8} </math> atau <math>x_2 = \frac{17 - \sqrt{33}}{8} </math>

: untuk <math>x_1 </math>

:<math>y_1 = \frac{8}{5}(\frac{17 + \sqrt{33}}{8}) + \frac{8}{5} </math>

:<math>y_1 = \frac{17}{5} + \frac{\sqrt{33}}{5} + \frac{8}{5} </math>

:<math>y_1 = 5 + \frac{\sqrt{33}}{5} </math>

jadi <math>(\frac{17 + \sqrt{33}}{8}, 5 + \frac{\sqrt{33}}{5}) </math>

: untuk <math>x_2 </math>

:<math>y_2 = \frac{8}{5}(\frac{17 - \sqrt{33}}{8}) + \frac{8}{5} </math>

:<math>y_2 = \frac{17}{5} - \frac{\sqrt{33}}{5} + \frac{8}{5} </math>

jadi <math>(\frac{17 - \sqrt{33}}{8}, 5 - \frac{\sqrt{33}}{5}) </math>

:<math>y y_1 = 2px + 2px_1 </math>

:<math>(5 + \frac{\sqrt{33}}{5}) y = 8x2(4)x + 82(4)(\frac{17 + \sqrt{33}}{8}) </math>

:<math>(5 + \frac{\sqrt{33}}{5}) y = 8x + 17 + \sqrt{33} </math>

:<math>y y_2 = 2px + 2px_2 </math>

:<math>(5 - \frac{\sqrt{33}}{5}) y = 8x2(4)x + 82(4)(\frac{17 - \sqrt{33}}{8}) </math>

:<math>(5 - \frac{\sqrt{33}}{5}) y = 8x + 17 - \sqrt{33} </math>

* Tentukan persamaan garis singgung <math>y^2 - 6y - 8x + 9 = 0 </math> melalui persamaan yang tegak lurus <math>y - 2x - 5 = 0 </math>!

:<math>y^2 - 6y - 8x + 9 = 0 </math>

:<math>y^2 - 6y + 9 = 8x </math>

:<math>(y - 3)^2 = 8x </math>

:<math>y - 2x - 5 = 0 </math>

:<math>y = 2x + 5 </math>

gradien (<math>m_1 </math>) = 2 karena tegak lurus menjadi <math>m_2 = - \frac{1}{2} </math>

cari <math>p </math>

:<math>(y - 3)^2 = 8x -> (y - 3)^2 = 4 (2x) \text { jadi } p = 2 </math>

:<math>y = mx + \frac{p}{m}</math>
:<math>y = - \frac{1}{2}x + \frac{2}{- \frac{1}{2}} -> y = - \frac{1}{2}x - 4 </math>

* Tentukan persamaan garis singgung <math>y^2 - 6y - 8x + 9 = 0 </math> yang berordinat 6!

:<math>y^2 - 6y - 8x + 9 = 0 </math>

:<math>y^2 - 6y + 9 = 8x </math>

:<math>(y - 3)^2 = 8x </math>

:<math>(y - 3)^2 = 8x </math>

:<math>(6 - 3)^2 = 8x </math>

:<math>9 = 8x </math>

:<math>x = \frac{9}{8} </math>

:<math>(y - k)(y_1 - k) = 2px + 2px_1 </math>

:<math>(y - 3)(6 - 3) = 4x2(2)x + 4 2(2)(\frac{9}{8}) </math>

:<math>(y - 3)3 = 4x + \frac{9}{2} </math>

:<math>3y - 9 = 4x + \frac{9}{2} </math>

:<math>3y = 4x + \frac{27}{2} </math>

:<math>y = \frac{4}{3}x + \frac{27}{6} </math>

:<math>(y - 3)^2 = 8x </math>

:<math>(y - 3)^2 - 8x = 0 \text { maka masukkan lah (1,6) } (6 - 3)^2 - 8 (1) = 9 - 8 = 1 > 0 </math> (luar)

:<math>(y - k)(y_1 - k) = 2px + 2px_1 </math>

:<math>(y - 3)(6 - 3) = 4x2(2)x + 4 2(2)(1) </math>

:<math>(y - 3)3 = 4x + 4 </math>

:<math>3y - 9 = 4x + 4 </math>

:<math>3y = 4x + 13 </math>

:<math>y = \frac{4}{3}x + \frac{13}{3} </math>

masukkan lah <math>(y - 3)^2 = 8x </math>

:<math>(\frac{4}{3}x + \frac{13}{3} - 3)^2 = 8x </math>

:<math>(\frac{4}{3}x + \frac{4}{3})^2 = 8x </math>

:<math>\frac{16}{9}x^2 + \frac{32}{9}x + \frac{16}{9} - 8x = 0 </math>

:<math>\frac{16}{9}x^2 - \frac{40}{9}x + \frac{16}{9} = 0 </math> (dibagi 8/9)

:<math>2x^2 + 5x + 2 = 0 </math>

:<math>x = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math>

:<math>x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} </math>

:<math>x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} </math>

:<math>x_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{4} = 2 </math> atau <math>x_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{4} = \frac{1}{2} </math>

: untuk <math>x_1 </math>

jadi <math>(2, 7) </math>

: untuk <math>x_2 </math>

jadi <math>(\frac{1}{2}, 5) </math>

:<math>(y - k)(y_1 - k) = 2px + 2px_1 </math>

:<math>(y - 3)(7 - 3) = 4x2(2)x + 4 2(2)(2) </math>

:<math>(y - 3)4 = 4x + 8 </math>

:<math>4y - 12 = 4x + 8 </math>

:<math>y = x + 5 </math>

:<math>(y - k)(y_2 - k) = 2px + 2px_2 </math>

:<math>(y - 3)(5 - 3) = 4x2(2)x + 4 2(2)(\frac{1}{2}) </math>

:<math>(y - 3)2 = 4x + 2 </math>

:<math>2y - 6 = 4x + 2 </math>

:<math>2y = 4x + 8 </math> (dibagi 2)

:<math>y = 2x + 4 </math>