Matematika: Perbedaan antara revisi

'''Matematika'''{{efn|1=Sebelumnya disebut pula '''ilmu hisab'''.}} ({{etymology|grc|''{{wikt-lang|grc|μάθημα}}'' ({{grc-transl|μάθημα}})|pengetahuan, pemikiran, pengkajian, pembelajaran}}), sebelumnya disebut pula '''ilmu hisab''' adalah bidang ilmu, yang mencakup studi tentang topik-topik seperti bilangan ([[aritmetikaaritmatika]] dan [[teori bilangan]]),<ref name="OED">{{cite web |url=http://oed.com/view/Entry/114974 |title=mathematics, ''n.'' |publisher=Oxford University Press |website=Oxford English Dictionary |year=2012 |access-date=16 Juni 2012 |quote=The science of space, number, quantity, and arrangement, whose methods involve logical reasoning and usually the use of symbolic notation, and which includes geometry, arithmetic, algebra, and analysis. |archive-url=https://web.archive.org/web/20191116075558/https://www.oed.com/view/Entry/114974 |archive-date=16 Nopember 2019 |url-status=live }}</ref> rumus dan struktur terkait ([[aljabar]]),<ref name="Kneebone">{{cite book |title=Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey |publisher=Dover |author=Kneebone, G.T. |year=1963 |page=4 |url=https://books.google.com/books?id=tCXxf4vbXCcC&pg=PA4 |isbn=978-0-486-41712-7 |quote=Mathematics&nbsp;... is simply the study of abstract structures, or formal patterns of connectedness.}}</ref> bangun dan ruang tempat mereka berada ([[geometri]]),<ref name=OED/> dan besaran serta perubahannya ([[kalkulus]] dan [[analisis matematis|analisis]]).<ref name="LaTorre">{{cite book |title=Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change |publisher=Cengage Learning |first1=Donald R. |last1=LaTorre |first2=John W. |last2=Kenelly |first3=Sherry S. |last3=Biggers |first4=Laurel R. |last4=Carpenter |first5=Iris B. |last5=Reed |first6=Cynthia R. |last6=Harris |year=2011 |page=2 |url=https://books.google.com/books?id=1Ebu2Tij4QsC&pg=PA2 |isbn=978-1-4390-4957-0 |quote=Calculus is the study of change—how things change, and how quickly they change.}}</ref><ref name="Ramana">{{cite book |title=Applied Mathematics |publisher=Tata McGraw–Hill Education |author=Ramana |year=2007 |page=2.10 |url=https://books.google.com/books?id=XCRC6BeKhIIC&pg=SA2–PA10 |isbn=978-0-07-066753-2 |quote=The mathematical study of change, motion, growth or decay is calculus.}}</ref><ref name="Ziegler">{{cite book |title=An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research |publisher=Springer |author=Ziegler, Günter M. |author-link=Günter M. Ziegler |year=2011 |page=vii |chapter-url=https://books.google.com/books?id=9TATfteVeVYC&pg=PR7 |isbn=978-3-642-19532-7 |chapter=What Is Mathematics?}}</ref> Tidak ada kesepakatan umum tentang ruang lingkup yang tepat atau [[epistemologi|status epistemologisnya]].<ref name="Mura">{{cite journal|author=Mura, Roberta|date=Dec 1993|title=Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences|journal=Educational Studies in Mathematics|volume=25|issue=4|pages=375–85|doi=10.1007/BF01273907|jstor=3482762|s2cid=122351146}}</ref><ref name="Runge">{{cite book|author1=Tobies, Renate|title=Iris Runge: A Life at the Crossroads of Mathematics, Science, and Industry|author2=Helmut Neunzert|publisher=Springer|year=2012|isbn=978-3-0348-0229-1|page=9 |url=https://books.google.com/books?id=EDm0eQqFUQ4C&pg=PA9 |quote=[I]t is first necessary to ask what is meant by ''mathematics'' in general. Illustrious scholars have debated this matter until they were blue in the face, and yet no consensus has been reached about whether mathematics is a natural science, a branch of the humanities, or an art form.|author1-link=Renate Tobies|name-list-style=amp}}</ref>

Beberapa bidang matematika, seperti [[statistika]] dan [[teori permainan]], dikembangkan dalam korelasi langsung dengan terapannya, dan sering dikelompokkan dengan nama [[matematika terapan]]. Bidang matematika lainnya dikembangkan secara independen dari aplikasi apapunapa pun (dan oleh karena itu disebut [[matematika murni]]), tetapi aplikasi praktis sering ditemukan kemudian.{{sfn|Peterson|2001|p=12}}<ref name=wigner1960 /> Contoh yang tepat adalah masalah [[faktorisasi prima]], yang merujuk kepada [[Euklides]], tetapi yang tidak memiliki aplikasi praktis sebelum digunakan dalam sistem kripto [[RSA|sistemkripto RSA]] (untuk keamanan [[jaringan komputer]]).

Selain mengetahui cara [[pencacahan|mencacah]] objek-objek ''fisika'', manusia [[prasejarah]] juga mengenali cara mencacah besaran ''abstrak'', seperti [[waktu]] — [[hari]], [[musim]], [[tahun]].<ref>Sebagai contoh, periksalah [[Raymond L. Wilder]], ''Evolution of Mathematical Concepts; an Elementary Study'', ''passim''</ref><ref>{{Cite book|last=Zaslavsky, Claudia.|url=http://worldcat.org/oclc/843204342|title=Africa Counts : Number and Pattern in African Culture.|date=1999|publisher=Chicago Review Press|isbn=978-1-61374-115-3|oclc=843204342|access-date=29 Mei 2020|archive-date=31 Maret 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20210331144030/https://www.worldcat.org/title/africa-counts-number-and-pattern-in-african-culture/oclc/843204342|url-status=live}}</ref> [[Aritmetika|Aritmetika dasar]] ([[penjumlahan]], [[pengurangan]], [[perkalian]], dan [[pembagian]]) mengikuti secara alami.

Penggunaan terkuno matematika adalah di dalam [[perdagangan]], [[pengukuran tanah]], [[lukisan|pelukisan]], dan pola-pola [[menenun|penenunan]] dan pencatatan waktu dan tidak pernah berkembang luas hingga tahun 3000 SM ke mukadepan ketika orang [[Babilonia]] dan [[Mesir Kuno]] mulai menggunakan [[aritmetika]], [[aljabar]], dan [[geometri]] untuk penghitungan [[pajak]] dan urusan keuangan lainnya, bangunan dan konstruksi, dan [[astronomi]].<ref>Kline 1990, Chapter 1.</ref>{{sfn|Kline|1990|loc=Chapter 1}} Pengkajian matematika yang sistematis di dalam kebenarannya sendiri dimulai pada zaman Yunani Kuno antara tahun 600 dan 300 SM.

Matematika muncul pada saat dihadapinya masalah-masalah yang rumit yang melibatkan kuantitas, struktur, ruang, atau perubahan. Mulanya masalah-masalah itu dijumpai di dalam [[perdagangan]], [[pengukuran tanah]], dan kemudian [[astronomi]]; kini, semua ilmu pengetahuan menganjurkan masalah-masalah yang dikaji oleh para matematikawan, dan banyak masalah yang muncul di dalam matematika itu sendiri. Misalnya, seorang [[fisikawan]] [[Richard Feynman]] menemukan [[:en:Path integral formulation|rumus integral lintasan]] [[mekanika kuantum]] menggunakan paduan nalar matematika dan wawasan fisika, dan [[teori dawai]] masa kini, teori ilmiah yang masih berkembang yang berupaya membersatukanmempersatukan empat [[Interaksi dasar|gaya dasar alami]], terus saja mengilhami matematika baru.<ref>{{cite book|title = The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus|author = Johnson, Gerald W.; Lapidus, Michel L.|publisher = [[Oxford University Press]]|year = 2002}}</ref>

Penggunaan bahasa yang ketat secara mendasar merupakan sifat [[pembuktian matematika]]. Para matematikawan ingin teorema mereka mengikuti aksioma-aksioma dengan maksud penalaran yang sistematik. Ini untuk mencegah "[[teorema]]" yang salah ambil, didasarkan pada praduga kegagalan, di mana banyak contoh pernah muncul di dalam sejarah subjek ini.<ref>Lihatlah ''bukti palsu'' untuk contoh sederhana dari hal-hal yang bisa salah di dalam bukti formal. [[:en:Four color theorem|sejarah Teorema Empat Warna]] berisi contoh-contoh bukti-bukti salah yang tanpa sengaja diterima oleh para matematikawan lainnya pada saat itu.</ref> Tingkat kekakuan diharapkan di dalam matematika selalu berubah-ubah sepanjang waktu: [[bangsa Yunani]] menginginkan dalil yang terperinci, namun pada saat itu metode yang digunakan [[Isaac Newton]] kuranglah kaku. Masalah yang melekat pada definisi-definisi yang digunakan Newton akan mengarah kepada munculnya analisis saksama dan bukti formal pada abad ke-19. Kini, para matematikawan masih terus beradu argumentasi tentang [[:en:Computer-assisted proof|bukti berbantuan-komputer]]. Karena perhitungan besar sangatlah sukar diperiksa, bukti-bukti itu mungkin saja tidak cukup kaku.<ref>Ivars Peterson, ''Wisatawan Matematika'', Freeman, 1988, ISBN 0-7167-1953-3. p. 4 "Sedikit keluhan akan ketidakmampuan program komputer memeriksa secara wajar," (merujuk kepada bukti Haken-Apple terhadap Teorema Empat Warna).</ref> [[Aksioma]] menurut pemikiran tradisional adalah "kebenaran yang menjadi bukti dengan sendirinya", tetapi konsep ini memicu persoalan.

[[Carl Friedrich Gauss]] mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".<ref>Waltershausen</ref> Di dalam bahasa aslinya, Latin ''Regina Scientiarum'', juga di dalam [[bahasa Jerman]] ''Königin der Wissenschaften'', kata yang bersesuaian dengan ''ilmu pengetahuan'' berarti (lapangan) pengetahuan. Jelas, inipunini pun arti asli di dalam bahasa Inggris, dan tiada keraguan bahwa matematika di dalam konteks ini adalah sebuah ilmu pengetahuan. Pengkhususan yang mempersempit makna menjadi ilmu pengetahuan ''alam'' adalah pada masa terkemudianberikutnya. Bila seseorang memandang [[ilmu pengetahuan]] hanya terbatas pada dunia fisika, maka matematika, atau sekurang-kurangnya [[matematika murni]], bukanlah ilmu pengetahuan.

[[Albert Einstein]] menyatakan bahwa ''"sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, maka mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan.''"<ref name=certain>Einstein, p. 28. Kutipan ini adalah jawaban Einstein terhadap pertanyaan: "betapa mungkin bahwa matematika, di samping yang lain tentunya, menjadi ciptaan pemikiran manusia yang terbebas dari pengalaman, begitu luar biasa bersesuaian dengan objek-objek kenyataan?" Dia juga memperhatikanmemerhatikan ''Keefektifan tak ternalar Matematika di dalam Ilmu Pengetahuan Alam''.</ref>

Pengkajian ruang bermula dengan [[geometri]] – khususnya–khususnya, [[geometri]] [[Euklides]]. [[Trigonometri]] memadukan ruang dan bilangan, dan mencakupi [[Teorema Pythagoras]] yang terkenal. Pengkajian modern tentang ruang memperumum gagasan-gagasan ini untuk menyertakan geometri berdimensi lebih tinggi, [[geometri non-Euklides]] (yang berperan penting di dalam [[relativitas umum]]) dan [[topologi]]. Besaran dan ruang berperan penting di dalam [[geometri analitik]], [[geometri diferensial]], dan [[geometri aljabar]]. Di dalam geometri diferensial terdapat konsep-konsep [[:en:Fiber bundle|buntelan serat]] dan kalkulus [[:en:manifold|lipatan]].

Daftar masyhur 23 soal terbuka, disebut "[[Masalah Hilbert]]", disusun pada tahun 1900 oleh matematikawan Jerman [[David Hilbert]].<ref name=":0">{{Cite web|date=2020-05-06|title=Hilbert's Problems: 23 and Math|url=https://www.simonsfoundation.org/2020/05/06/hilberts-problems-23-and-math/|access-date=23 Januari 2022|website=Simons Foundation|language=en-US}}</ref> Daftar ini mendapat sambutan hebat di kalangan matematikawan<ref>{{Cite web |last=Newton |first=Tommy |date=2007 |title=A New Approach to Hilbert's Third Problem |url=https://www.wku.edu/scholar/documents/spring2007/hilberts_third_problem.pdf |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20130122213603/https://www.wku.edu/scholar/documents/spring2007/hilberts_third_problem.pdf |archive-date=22 Januari 2013 |access-date=21 Februari 2022 |website=www.wku.edu}}</ref>, dan setidaknya 13 soal (tergantung cara menafsirkan) kini telah diselesaikan.<ref name=":0">{{Cite web|date=6 Mei 2020|title=Hilbert's Problems: 23 and Math|url=https://www.simonsfoundation.org/2020/05/06/hilberts-problems-23-and-math/|access-date=2022-01-23|website=Simons Foundation|language=en-US}}</ref> Daftar baru dari tujuh soal penting, berjudul "[[Masalah Milenium]]", diterbitkan pada tahun 2000. Hanya satu dari mereka, [[hipotesis Riemann]], menggandakan salah satu masalah Hilbert. Solusi untuk semua soal ini dijanjikan hadiah 1 juta dolar.<ref>{{Cite web|title=The Millennium Prize Problems {{!}} Clay Mathematics Institute|url=http://www.claymath.org/millennium-problems/millennium-prize-problems|access-date=23 Januari 2022|website=www.claymath.org|archive-date=2015-07-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20150703184941/http://www.claymath.org/millennium-problems/millennium-prize-problems|dead-url=yes}}</ref> Kini, hanya satu dari masalah ini yang telah diselesaikan, yaitu [[konjektur Poincaré]].<ref>{{Cite web|title=Millennium Problems {{!}} Clay Mathematics Institute|url=http://www.claymath.org/millennium-problems|access-date=23 Januari 2022|website=www.claymath.org}}</ref>

* [[:en:Carl B. Boyer|Boyer, Carl B.]], ''A History of Mathematics'', Wiley; 2 edition (March 6, 1991). ISBN 0-471-54397-7. — A—A concise history of mathematics from the Concept of Number to contemporary Mathematics.

* [[:en:Philip J. Davis|Davis, Philip J.]] and [[:en:Reuben Hersh|Hersh, Reuben]], ''[[:en:The Mathematical Experience|The Mathematical Experience]]''. Mariner Books; Reprint edition (January 14, 1999). ISBN 0-395-92968-7. — A—A gentle introduction to the world of mathematics.

* Gullberg, Jan, ''Mathematics — FromMathematics—From the Birth of Numbers''. W. W. Norton & Company; 1st edition (October 1997). ISBN 0-393-04002-X. — An—An encyclopedic overview of mathematics presented in clear, simple language.

* Hazewinkel, Michiel (ed.), ''[[:en:Encyclopaedia of Mathematics|Encyclopaedia of Mathematics]]''. Kluwer Academic Publishers 2000. — A—A translated and expanded version of a Soviet mathematics encyclopedia, in ten (expensive) volumes, the most complete and authoritative work available. Also in paperback and on CD-ROM, and online [http://eom.springer.de/default.htm].