Matematika: Perbedaan antara revisi
| [revisi tidak terperiksa] | [revisi tidak terperiksa] |
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan |
perubahan besar |
||
Baris 1:
{{terjemah|Inggris}}
'''Matematika''' (dari [[bahasa Yunani]]: ''μαθηματικά'' - ''mathēmatiká'') adalah studi [[besaran]], [[struktur]], [[ruang]], [[relasi]], [[perubahan]], dan beraneka topik [[pola]], [[bentuk]], dan [[entitas]]. Para [[matematikawan]] mencari pola dan dimensi-dimensi kuantitatif lainnya, berkenaan dengan [[bilangan]], ruang, [[ilmu pengetahuan alam]], [[komputer]], [[abstraksi imajiner]], atau entitas-entitas lainnya.<ref>[http://en.wiki-indonesia.club/wiki/Lynn_Steen Steen, L.A.] (29 April 1988). ''The Science of Patterns''. Jurnal Science, 240:611-616 dan diikhtisarkan di dalam [http://www.ascd.org/portal/site/ascd/template.chapter/menuitem.1889bf0176da7573127855b3e3108a0c/?chapterMgmtId=f97433df69abb010VgnVCM1000003d01a8c0RCRD Association for Supervision and Curricullum Development]</ref><ref>[http://en.wiki-indonesia.club/wiki/Keith_Devlin Devlin, Keith], ''Mathematics: The Science of Patterns: The Search for Order in Life, Mind and the Universe'' (Scientific American Paperback Library) 1996, ISBN 9780716750475</ref> Dalam pandangan [[formalis]], matematika adalah pemeriksaan [[aksioma]] yang menegaskan [[struktur abstrak]] menggunakan [[logika simbolik]] dan [[notasi matematika]]; pandangan lain tergambar dalam [[filsafat matematika]]. Para matematikawan merumuskan [[konjektur]] dan kebenaran baru melalui [[Penalaran deduktif|deduksi]] yang menyeluruh dari beberapa [[aksioma]] dan [[definisi]] yang dipilih dan saling bersesuaian.<ref>Jourdain</ref>
[[Berkas:Euclid.jpg |thumb |[[Euclid]], matematikawan Yunani, abad ke-3 SM, seperti yang dilukiskan oleh [[Raphael]] di dalam detail ini dari ''[[The School of Athens]]''.<ref>Tidak ada perupaan atau penjelasan tentang wujud fisik Euclid yang dibuat selama masa hidupnya yang masih bertahan sebagai kekunoan. Oleh karena itu, penggambaran Euclid di dalam karya seni bergantung pada daya khayal seorang seniman (''lihat [[Euclid]]'').</ref>]]
Terdapat perselisihan tentang apakah objek-objek matematika hadir secara objektif di alam menurut kemurnian logikanya, atau apakah objek-objek itu buatan manusia dan terpisah dari kenyataan. Seorang matematikawan [[Benjamin Peirce]] menyebut matematika sebagai "ilmu yang menggambarkan simpulan-simpulan yang penting".<ref>Peirce, p.97</ref> [[Albert Einstein]], di pihak lain, menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."<ref name=certain/>
Melalui penggunaan [[abstraksi (matematika)|abstraksi]] dan [[penalaran]] [[logika]], matematika dikembangkan dari [[pencacahan]], [[penghitungan]], [[pengukuran]], dan pengkajian sistematik terhadap [[bentuk]] dan [[gerak (fisika)|gerak]] objek-objek fisika. Pengetahuan dan penggunaan matematika dasar selalu menjadi sifat melekat dan bagian utuh dari kehidupan individual dan kelompok. Pemurnian gagasan-gagasan dasar dapat diketahui di dalam naskah-naskah matematika yang bermula di dunia [[Matematika Mesir|Mesir kuno]], [[Matematika Babilon|Mesopotamia]], [[Matematika India|India]], [[Matematika Cina|Cina]], [[Matematika Yunani|Yunani]], dan [[Matematika Islam|Islam]]. [[Aksioma|Argumentasi kaku]] pertama muncul di dalam [[Matematika Yunani]], terutama di dalam buku [[Euclid]], [[Unsur-Unsur Euclid|''Unsur-Unsur'']]. Pengembangan berlanjut di dalam ledakan yang tidak menenteramkan hingga periode [[Renaisans]] pada abad ke-16, ketika pembaharuan matematika berinteraksi dengan [[penemuan ilmiah]] baru, mengarah pada percepatan penelitian yang menerus hingga Kini.<ref>Eves</ref>
Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk [[ilmu pengetahuan alam]], [[rekayasa]], [[medis]], dan [[ilmu pengetahuan sosial]] seperti [[ekonomi]], dan [[psikologi]]. [[Matematika terapan]], cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru. Para matematikawan juga bergulat di dalam [[matematika murni]], atau matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri, tanpa adanya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian.<ref>Peterson</ref>
Secara umum, semakin kompleks suatu gejala, semakin kompleks pula alat (dalam hal ini jenis matematika) yang melalui berbagai perumusan ([[model matematika]]nya) diharapkan mampu untuk mendapatkan atau sekadar mendekati penyelesaian eksak seakurat-akuratnya. Jadi, tingkat kesulitan suatu jenis atau cabang matematika bukan disebabkan oleh jenis atau cabang matematika itu sendiri, melainkan disebabkan oleh sulit dan kompleksnya gejala yang penyelesaiannya diusahakan dicari atau didekati oleh perumusan ([[model matematika]]nya) dengan menggunakan jenis atau cabang matematika tersebut. Sebaliknya berbagai gejala fisika yang mudah diamati, misalnya jumlah penduduk di seluruh Indonesia, tidak memerlukan jenis atau cabang matematika yang canggih. Kemampuan [[aritmetika]] sudah cukup untuk mencari penyelesaian (jumlah penduduk) dengan keakuratan yang cukup tinggi.
==Etimologi==
Kata "matematika" berasal dari [[bahasa Yunani kuno|Yunani]] μάθημα (''máthēma''), yang berarti ''pengkajian'', ''pembelajaran'', ''ilmu'', yang ruang lingkupnya menyempit, dan arti teknisnya menjadi "pengkajian matematika", bahkan demikian juga pada zaman kuno. Kata sifatnya adalah μαθηματικός (''mathēmatikós''), ''berkaitan dengan pengkajian'', atau ''tekun belajar'', yang lebih jauhnya berarti ''matematis''. Secara khusus, {{polytonic|μαθηματικὴ τέχνη}} (''mathēmatikḗ tékhnē''), di dalam [[bahasa Latin]] ''ars mathematica'', berarti ''seni matematika''.
Bentuk jamak sering dipakai di dalam [[bahasa Inggris]], seperti juga di dalam [[bahasa Perancis]] ''les mathématiques'' (dan jarang digunakan sebagai turunan bentuk tunggal ''la mathématique''), merujuk pada bentuk jamak bahasa Latin yang cenderung netral ''mathematica'' ([[Cicero]]), berdasarkan bentuk jamak bahasa Yunani τα μαθηματικά (''ta mathēmatiká''), yang dipakai [[Aristotle]], yang terjemahan kasarnya berarti "segala hal yang matematis".<ref>''[[The Oxford Dictionary of English Etymology]]'', ''[[Oxford English Dictionary]]''</ref> Tetapi, di dalam bahasa Inggris, kata benda ''mathematics'' mengambil bentuk tunggal bila dipakai sebagai kata kerja. Di dalam ragam percakapan, matematika kerap kali disingkat sebagai ''math'' di Amerika Utara dan ''maths'' di tempat lain.
==Sejarah==
[[Berkas:Quipu.png|thumb|left|Sebuah [[quipu]], yang dipakai oleh [[Kekaisaran Inca|Inca]] untuk mencatatkan bilangan.]]
{{utama|Sejarah matematika}}
Cakupan pengkajian yang disebut sebagai sejarah matematika adalah terutama berupa penyelidikan terhadap asal muasal temuan baru di dalam matematika, di dalam ruang lingkup yang lebih sempit berupa penyelidikan terhadap metode dan notasi matematika baku di masa silam.
[[Evolusi]] matematika dapat dipandang sebagai sederetan [[abstraksi (matematika)|abstraksi]] yang selalu bertambah banyak, atau perkataan lainnya perluasan pokok masalah. Abstraksi pertama, yang dibagi oleh banyak binatang<ref>S. Dehaene, G. Dehaene-Lambertz and L. Cohen, Abstract representations of numbers in the animal and human brain, ''Trends in Neuroscience'', Vol. 21 (8), Aug 1998, 355-361. http://dx.doi.org/10.1016/S0166-2236(98)01263-6.</ref>, adalah tentang [[bilangan]]: pernyataan bahwa dua apel dan dua jeruk (sebagai contoh) memiliki jumlah yang sama.
Selain mengetahui cara [[mencacah|cacah]] objek-objek ''fisika'', manusia [[prasejarah]] juga mengenali cara mencacah besaran ''abstrak'', seperti [[waktu]] — [[hari]], [[musim]], [[tahun]]. [[Aritmetika dasar]] ([[pertambahan]], [[perkurangan]], [[perkalian]], dan [[perbagian]]) mengikuti secara alami.
Langkah selanjutnya memerlukan [[penulisan]] atau sistem lain untuk mencatatkan bilangan, semisal [[tali]] atau dawai bersimpul yang disebut [[quipu]] dipakai oleh bangsa [[Inca]] untuk menyimpan data numerik. Sebelum zaman modern dan pengetahuan mendunia, contoh-contoh tertulis dari pengembangan matematika yang baru telah mencapai kemilaunya hanya di beberapa tempat. [[Sistem bilangan]] ada banyak dan bermacam-macam, bilangan tertulis yang pertama diketahui ada di dalam naskah warisan [[Mesir Kuno]] di [[Kerajaan Tengah Mesir]] yaitu [[Lembaran Matematika Rhind]] (1650 SM). [[Peradaban lembah Indus]] mengembangkan sistem [[desimal]] modern, termasuk konsep [[nol]]. Tulisan matematika terkuno lainnya yang pernah ditemukan adalah Plimpton 322 (Matematika Babilonia yang berangka tahun 1900 SM), Lembaran Matematika Moskow (Matematika Mesir yang berangka tahun 1850 SM), dan [[Shulba Sutra]] (Matematika India yang berangka tahun 800 SM). Semua tulisan yang bersangkutan memusatkan perhatian kepada apa yang biasa dikenal sebagai [[Teorema Pythagoras]], yang kelihatannya sebagai hasil pembangunan matematika yang paling kuno dan tersebar luas setelah aritmetika dasar dan geometri.
[[Berkas:maya.svg|thumb|[[Sistem bilangan Maya]]]]
Dari permulaan [[sejarah tercatat]], disiplin-disiplin utama di dalam matematika muncul karena kebutuhan perhitungan yang berkaitan dengan [[pajak]] dan [[dagang]], untuk memahami keterkatitan antarbilangan, untuk [[pengukuran tanah]], dan untuk meramal peristiwa [[astronomi]]. Kebutuhan ini secara garis besar dapat dikaitkan dengan cabang-cabang besar matematika yang mengkaji ''besaran'', ''struktur'', ''ruang'', dan ''perubahan''.
Matematika sejak saat itu segera berkembang luas, dan terdapat interaksi bermanfaat antara matematika dan [[sains]], menguntungkan kedua belah pihak. Penemuan-penemuan matematika dibuat sepanjang sejarah dan berlanjut hingga kini. Menurut Mikhail B. Sevryuk, pada Januari 2006 terbitan [[Bulletin of the American Mathematical Society|Buletin Masyarakat Matematika Amerika]], "Banyaknya makalah dan buku yang dilibatkan di dalam basis data[[Mathematical Reviews]] sejak 1940 (tahun pertama beroperasinya MR) kini melebihi 1,9 juta, dan melebihi 75 ribu artikel ditambahkan ke dalam basis data itu tiap tahun. Sebagian besar karya di samudera ini berisi [[teorema]] matematika baru beserta [[bukti matematika|bukti-bukti]]nya."<ref>Sevryuk</ref>
==Ilham, matematika murni dan terapan, dan estetika==
[[Berkas:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg|left|thumb|Sir [[Isaac Newton]] (1643-1727), seorang [[penemu]] [[kalkulus|kalkulus infinitesimal]].]]
{{utama|Keindahan matematika}}
Matematika muncul pada saat dihadapinya masalah-masalah yang rumit yang melibatkan kuantitas, struktur, ruang, atau perubahan. Mulanya masalah-masalah itu dijumpai di dalam [[dagang|perdagangan]], [[pengukuran tanah]], dan kemudian [[astronomi]]; kini, semua ilmu pengetahuan menganjurkan masalah-masalah yang dikaji oleh para matematikawan, dan banyak masalah yang muncul di dalam matematika itu sendiri. Misalnya, seorang [[fisikawan]] [[Richard Feynman]] menemukan [[rumus integral lintasan]] [[mekanika kuantum]] menggunakan paduan nalar matematika dan wawasan fisika, dan [[teori dawai]] masa kini, teori ilmiah yang masih berkembang yang berupaya membersatukan empat [[Interaksi dasar|gaya dasar alami]], terus saja mengilhami matematika baru.<ref>{{cite book | title = The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus | author = Johnson, Gerald W.; Lapidus, Michel L. | publisher = [[Oxford University Press]] | year = 2002}}</ref> Beberapa matematika hanya bersesuaian di dalam wilayah yang mengilhaminya, dan diterapkan untuk memecahkan masalah lanjutan di wilayah itu. Tetapi seringkali matematika diilhami oleh bukti-bukti di satu wilayah ternyata bermanfaat juga di banyak wilayah lainnya, dan menggabungkan persediaan umum konsep-konsep matematika. Fakta yang menakjubkan bahwa matematika "paling murni" sering beralih menjadi memiliki terapan praktis adalah apa yang [[Eugene Wigner]] memanggilnya sebagai "[[Ketidakefektifan Matematika tak ternalar di dalam Ilmu Pengetahuan Alam]]".<ref>[[Eugene Wigner]], 1960, "[http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences,]" ''[[Komunikasi pada Matematika Murni dan Terapan]]'' '''13'''(1): 1–14.</ref>
Seperti di sebagian besar wilayah pengkajian, ledakan pengetahuan di zaman ilmiah telah mengarah pada pengkhususan di dalam matematika. Satu perbedaan utama adalah di antara [[matematika murni]] dan [[matematika terapan]]: sebagian besar matematikawan memusatkan penelitian mereka hanya pada satu wilayah ini, dan kadang-kadang pilihan ini dibuat sedini perkuliahan program [[sarjana]] mereka. Beberapa wilayah matematika terapan telah digabungkan dengan tradisi-tradisi yang bersesuaian di luar matematika dan menjadi disiplin yang memiliki hak tersendiri, termasuk [[statistika]], [[riset operasi]], dan [[ilmu komputer]].
Mereka yang berminat kepada matematika seringkali menjumpai suatu aspek estetika tertentu di banyak matematika. Banyak matematikawan berbicara tentang ''keanggunan'' matematika, [[estetika]] yang tersirat, dan [[keindahan]] dari dalamnya. [[Kesederhanaan]] dan keumumannya dihargai. Terdapat keindahan di dalam kesederhanaan dan keanggunan [[bukti (matematika)|bukti]] yang diberikan, semisal bukti [[Euclid]] yakni bahwa terdapat tak-terhingga banyaknya [[bilangan prima]], dan di dalam [[metode numerik]] yang anggun bahwa perhitungan laju, yakni [[transformasi Fourier cepat]]. [[G. H. Hardy]] di dalam ''[[A Mathematician's Apology]]'' mengungkapkan keyakinan bahwa penganggapan estetika ini, di dalamnya sendiri, cukup untuk mendukung pengkajian matematika murni.<ref>{{cite book | title = A Mathematician's Apology | author = Hardy, G. H. | publisher = Cambridge University Press | year = 1940}}</ref> Para matematikawan sering bekerja keras menemukan bukti teorema yang anggun secara khusus, pencarian [[Paul Erdős]] sering berkutat pada sejenis pencarian akar dari "[[Alkitab]]" di mana [[Tuhan]] telah menuliskan bukti-bukti kesukaannya.<ref>{{cite book | title = Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy | author = Gold, Bonnie; Simons, Rogers A. | publisher = MAA | year = 2008}}</ref><ref>{{cite book | title = Proofs from the Book | author = Aigner, Martin; Ziegler, Gunter M. | publisher = Springer | year = 2001}}</ref> Kepopularan [[matematika rekreasi]] adalah isyarat lain bahwa kegembiraan banyak dijumpai ketika seseorang mampu memecahkan soal-soal matematika.
==Notasi, bahasa, dan kekakuan==
[[Berkas:Leonhard Euler 2.jpg|right|thumb|Leonhard Euler. Mungkin seorang matematikawan yang terbanyak menghasilkan temuan sepanjang masa]]
{{utama|Notasi matematika}}
Sebagian besar notasi matematika yang digunakan saat ini tidaklah ditemukan hingga abad ke-16.<ref>[http://jeff560.tripod.com/mathsym.html Penggunaan Aneka Lambang Matematika Terdini] (memuat banyak referensi yang lebih jauh)</ref> Sebelum itu, matematika dituliskan di dalam perkataan, kelangsungan saksama yang membatasi penemuan matematika.{{Fact|date=April 2008}} Pada abad ke-18, [[Leonhard Euler|Euler]] bertanggung jawab atas banyak notasi yang digunakan saat ini. Notasi modern membuat matematika lebih mudah bagi para profesional, tetapi para pemula sering menemukannya sebagai sesuatu yang mengerikan. Terjadi pemadatan yang amat sangat: sedikit lambang berisi informasi yang kaya. Seperti [[notasi musik]], notasi matematika modern memiliki tata kalimat yang kaku dan menyandikan informasi yang barangkali sukar bila dituliskan menurut cara lain.
[[Bahasa]] matematika dapat juga terkesan sukar bagi para pemula. Kata-kata seperti ''atau'' dan ''hanya'' memiliki arti yang lebih presisi daripada di dalam percakapan sehari-hari. Selain itu, kata-kata semisal ''[[himpunan terbuka|terbuka]]'' dan ''[[lapangan (matematika)|lapangan]]'' memberikan arti khusus matematika. [[Jargon matematika]] termasuk istilah-istilah teknis semisal ''[[homomorfisme]]'' dan ''[[keterintegralan|terintegralkan]]''. Tetapi ada alasan untuk notasi khusus dan jargon teknis ini: matematika memerlukan presisi yang lebih dari sekadar percakapan sehari-hari. Para matematikawan menyebut presisi bahasa dan logika ini sebagai "kaku" (''rigor'').
[[Berkas:Infinity symbol.svg||thumb|left|Lambang [[ketakhinggaan]] '''∞''' di dalam beberapa gaya sajian.]]
[[Kaku]] secara mendasar adalah tentang [[bukti matematika]]. Para matematikawan ingin teorema mereka mengikuti aksioma-aksioma dengan maksud penalaran yang sistematik. Ini untuk mencegah "[[teorema]]" yang salah ambil, didasarkan pada praduga kegagalan, di mana banyak contoh pernah muncul di dalam sejarah subjek ini.<ref>Lihatlah ''[[bukti palsu]]'' untuk contoh sederhana dari hal-hal yang bisa salah di dalam bukti formal. [[Teorema empat warna#Sejarah|sejarah Teorema Empat Warna]] berisi contoh-contoh bukti-bukti salah yang tanpa sengaja diterima oleh para matematikawan lainnya pada saat itu.</ref> Tingkat kekakuan diharapkan di dalam matematika selalu berubah-ubah sepanjang waktu: [[bangsa Yunani]] menginginkan dalil yang terperinci, namun pada saat itu metode yang digunakan [[Isaac Newton]] kuranglah kaku. Masalah yang melekat pada definisi-definisi yang digunakan Newton akan mengarah kepada munculnya analisis saksama dan bukti formal pada abad ke-19. Kini, para matematikawan masih terus beradu argumentasi tentang [[bukti berbantuan-komputer]]. Karena perhitungan besar sangatlah sukar diperiksa, bukti-bukti itu mungkin saja tidak cukup kaku.<ref> Ivars Peterson, ''Wisatawan Matematika'', Freeman, 1988, ISBN 0-7167-1953-3. p. 4 "Sedikit keluhan akan ketidakmampuan program komputer memeriksa secara wajar," (merujuk kepada bukti Haken-Apple terhadap Teorema Empat Warna). </ref>
[[Aksioma]] menurut pemikiran tradisional adalah "kebenaran yang menjadi bukti dengan sendirinya", tetapi konsep ini memicu persoalan. Pada tingkatan formal, sebuah aksioma hanyalah seutas dawai [[logika simbolik|lambang]], yang hanya memiliki makna tersirat di dalam konteks semua rumus yang terturunkan dari suatu [[sistem aksioma]]. Inilah tujuan [[program Hilbert]] untuk meletakkan semua matematika pada sebuah basis aksioma yang kokoh, tetapi menurut [[Teorema ketaklengkapan Gödel]] tiap-tiap sistem aksioma (yang cukup kuat) memiliki rumus-rumus yang [[kebebasan (logika matematika)|tidak dapat ditentukan]]; dan oleh karena itulah suatu [[aksiomatisasi]] terakhir di dalam matematika adalah mustahil. Meski demikian, matematika sering dibayangkan (di dalam konteks formal) tidak lain kecuali [[teori himpunan]] di beberapa aksiomatisasi, dengan pengertian bahwa tiap-tiap pernyataan atau bukti matematika dapat dikemas ke dalam rumus-rumus teori himpunan.<ref> Patrick Suppes, ''Axiomatic Set Theory'', Dover, 1972, ISBN 0-486-61630-4. p. 1, "Di antara banyak cabang matematika modern, teori himpunan menduduki tempat yang unik: dengan sedikit pengecualian, entitas-entitas yang dikaji dan dianalisis di dalam matematika dapat dipandang sebagai himpunan khusus atau kelas-kelas objek tertentu." </ref>
==Matematika sebagai ilmu pengetahuan==
[[Berkas:Carl Friedrich Gauss.jpg|right|thumb|[[Carl Friedrich Gauss]], menganggap dirinya sebagai "pangerannya para matematikawan", dan mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".]]
[[Carl Friedrich Gauss]] mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".<ref>Waltershausen</ref> Di dalam bahasa aslinya, Latin ''Regina Scientiarum'', juga di dalam [[bahasa Jerman]] ''Königin der Wissenschaften'', kata yang bersesuaian dengan ''ilmu pengetahuan'' berarti (lapangan) pengetahuan. Jelas, inipun arti asli di dalam bahasa Inggris, dan tiada keraguan bahwa matematika di dalam konteks ini adalah sebuah ilmu pengetahuan. Pengkhususan yang mempersempit makna menjadi ilmu pengetahuan ''alam'' adalah di masa terkemudian. Bila seseorang memandang [[ilmu pengetahuan]] hanya terbatas pada dunia fisika, maka matematika, atau sekurang-kurangnya [[matematika murni]], bukanlah ilmu pengetahuan. [[Albert Einstein]] menyatakan bahwa ''"sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, maka mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan.''"<ref name=certain>Einstein, p. 28. Kutipan ini adalah jawaban Einstein terhadap pertanyaan: "betapa mungkin bahwa matematika, di samping yang lain tentunya, menjadi ciptaan pemikiran manusia yang terbebas dari pengalaman, begitu luar biasa bersesuaian dengan objek-objek kenyataan?" Dia juga memperhatikan ''[[Keefektifan tak ternalar Matematika di dalam Ilmu Pengetahuan Alam]]''.</ref>
Banyak filsuf yakin bahwa matematika tidaklah [[keterpalsuan|terpalsukan]] berdasarkan percobaan, dan dengan demikian bukanlah ilmu pengetahuan per definisi [[Karl Popper]].<ref>{{cite book | title = Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists | author = Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A. | publisher = Springer | year = 1998 | page = 228}}</ref> Tetapi, di dalam karya penting tahun 1930-an tentang logika matematika menunjukkan bahwa matematika tidak bisa direduksi menjadi logika, dan Karl Popper menyimpulkan bahwa "sebagian besar teori matematika, seperti halnya [[fisika]] dan [[biologi]], adalah [[hipotesis|hipotetis]]-[[deduktif]]: oleh karena itu matematika menjadi lebih dekat ke ilmu pengetahuan alam yang hipotesis-hipotesisnya adalah konjektur (dugaan), lebih daripada sebagai hal yang baru."<ref>Popper 1995, p. 56</ref> Para bijak bestari lainnya, sebut saja [[Imre Lakatos]], telah menerapkan satu versi [[pemalsuan]] kepada matematika itu sendiri.
Sebuah tinjauan alternatif adalah bahwa lapangan-lapangan ilmiah tertentu (misalnya [[fisika teoretis]]) adalah matematika dengan aksioma-aksioma yang ditujukan sedemikian sehingga bersesuaian dengan kenyataan. Faktanya, seorang fisikawan teoretis, [[J. M. Ziman]], mengajukan pendapat bahwa ilmu pengetahuan adalah ''pengetahuan umum'' dan dengan demikian matematika termasuk di dalamnya.<ref>Ziman</ref> Di beberapa kasus, matematika banyak saling berbagi dengan ilmu pengetahuan fisika, sebut saja penggalian dampak-dampak logis dari beberapa anggapan. [[Intuisi (pengetahuan)|Intuisi]] dan [[percobaan]] juga berperan penting di dalam perumusan [[konjektur]]-konjektur, baik itu di matematika, maupun di ilmu-ilmu pengetahuan (lainnya). [[Matematika percobaan]] terus bertumbuh kembang, mengingat kepentingannya di dalam matematika, kemudian komputasi dan simulasi memainkan peran yang semakin menguat, baik itu di ilmu pengetahuan, maupun di matematika, melemahkan objeksi yang mana matematika tidak menggunakan [[metode ilmiah]]. Di dalam bukunya yang diterbitkan pada 2002 ''[[A New Kind of Science]]'', [[Stephen Wolfram]] berdalil bahwa matematika komputasi pantas untuk digali secara [[empirik]] sebagai lapangan ilmiah di dalam haknya/kebenarannya sendiri.
Pendapat-pendapat para matematikawan terhadap hal ini adalah beraneka macam. Banyak matematikawan merasa bahwa untuk menyebut wilayah mereka sebagai ilmu pengetahuan sama saja dengan menurunkan kadar kepentingan sisi estetikanya, dan sejarahnya di dalam tujuh [[seni liberal]] tradisional; yang lainnya merasa bahwa pengabaian pranala ini terhadap ilmu pengetahuan sama saja dengan memutar-mutar mata yang buta terhadap fakta bahwa antarmuka antara matematika dan penerapannya di dalam ilmu pengetahuan dan [[rekayasa]] telah mengemudikan banyak pengembangan di dalam matematika. Satu jalan yang dimainkan oleh perbedaan sudut pandang ini adalah di dalam perbincangan filsafat apakah matematika ''diciptakan'' (seperti di dalam seni) atau ''ditemukan'' (seperti di dalam ilmu pengetahuan). Adalah wajar bagi [[universitas]] bila dibagi ke dalam bagian-bagian yang menyertakan departemen ''Ilmu Pengetahuan dan Matematika'', ini menunjukkan bahwa lapangan-lapangan itu dipandang bersekutu tetapi mereka tidak seperti dua sisi keping uang logam. Pada tataran praktisnya, para matematikawan biasanya dikelompokkan bersama-sama para ilmuwan pada tingkatan kasar, tetapi dipisahkan pada tingkatan akhir. Ini adalah salah satu dari banyak perkara yang diperhatikan di dalam [[filsafat matematika]].
Penghargaan matematika umumnya dipelihara supaya tetap terpisah dari kesetaraannya dengan ilmu pengetahuan. Penghargaan yang adiluhung di dalam matematika adalah [[Fields Medal]] (medali lapangan),<ref>"''Fields Medal kini disepakati paling dikenal dan paling berpengaruh di dalam matematika.''" Monastyrsky</ref><ref>Riehm</ref> dimulakan pada 1936 dan kini diselenggarakan tiap empat tahunan. Penghargaan ini sering dianggap setara dengan [[Hadiah Nobel]] ilmu pengetahuan. [[Wolf Prize in Mathematics]], dilembagakan pada 1978, mengakui masa prestasi, dan penghargaan internasional utama lainnya, [[Hadiah Abel]], diperkenalkan pada 2003. Ini dianugerahkan bagi ruas khusus karya, dapat berupa pembaharuan, atau penyelesaian masalah yang terkemuka di dalam lapangan yang mapan. Sebuah daftar terkenal berisikan 23 [[masalah terbuka]], yang disebut "[[masalah Hilbert]]", dihimpun pada 1900 oleh matematikawan Jerman [[David Hilbert]]. Daftar ini meraih persulangan yang besar di antara para matematikawan, dan paling sedikit sembilan dari masalah-masalah itu kini terpecahkan. Sebuah daftar baru berisi tujuh masalah penting, berjudul "[[Masalah Hadiah Milenium]]", diterbitkan pada 2000. Pemecahan tiap-tiap masalah ini berhadiah [[Dollar Amerika Serikat|US$]] 1 juta, dan hanya satu ([[hipotesis Riemann]]) yang mengalami penggandaan di dalam masalah-masalah Hilbert.
==Matematika sebagai bahasa==
Di manakah letak konsep-konsep matematika, misalnya letak [[bilangan]] 1? Banyak para pakar matematika, misalnya para pakar [[Teori Model]] (lihat [[model matematika]]) yang juga mendalami filsafat di balik konsep-konsep matematika bersepakat bahwa semua konsep-konsep matematika secara [[universal]] terdapat di dalam pikiran setiap manusia. Jadi, yang dipelajari di dalam matematika adalah berbagai lambang dan ungkapan untuk mengomunikasikannya. Misalnya [[Suku Jawa|orang Jawa]] secara lisan memberi lambang bilangan 3 dengan mengatakan ''Telu'' sedangkan dalam [[bahasa Indonesia]], bilangan tersebut dilambangkan melalui ucapan ''Tiga''. Inilah sebabnya, banyak pakar mengkelompokkan matematika ke dalam kelompok [[bahasa]], atau lebih umum lagi dalam kelompok (alat) [[komunikasi]], bukan [[ilmu pengetahuan]].
Dalam pandangan [[formalis]], matematika adalah penelaahan [[struktur abstrak]] yang didefinisikan secara aksiomatis dengan menggunakan [[logika simbolik]] dan [[notasi matematika]]; ada pula pandangan lain, misalnya yang dibahas dalam [[filsafat matematika]].
Struktur spesifik yang diselidiki oleh matematikawan sering kali berasal dari [[ilmu pengetahuan alam]], dan sangat umum di [[fisika]], tetapi [[matematikawan]] juga mendefinisikan dan menyelidiki struktur internal dalam matematika itu sendiri, misalnya, untuk menggeneralisasikan teori bagi beberapa sub-bidang, atau alat bantu untuk perhitungan biasa. Akhirnya, banyak matematikawan belajar bidang yang dilakukan mereka untuk sebab estetis saja, melihat ilmu pasti sebagai bentuk [[seni]] daripada sebagai [[ilmu]] praktis atau terapan.
Matematika tingkat lanjut digunakan sebagai alat untuk mempelajari berbagai gejala fisika yang kompleks, khususnya berbagai gejala alam yang teramati, agar [[pola]] struktur, [[perubahan]], [[ruang]] dan sifat-sifat gejala bisa didekati atau dinyatakan dalam sebuah bentuk perumusan yang sistematis dan penuh dengan berbagai perjanjian, lambang, dan notasi. Hasil perumusan yang menggambarkan perilaku atau proses gejala fisika tersebut biasa disebut [[model matematika]] dari gejala.
==Matematika sebagai Raja dan sekaligus Pelayan==
Ada pendapat terkenal yang memandang matematika sebagai [[pelayan]] dan sekaligus [[raja]] dari ilmu-ilmu lain. Sebagai pelayan, matematika adalah ilmu yang mendasari dan melayani berbagai ilmu pengetahuan lain. Sejak masa [[sebelum masehi]], misalnya zaman [[Mesir kuno]], cabang tertua dan termudah dari matematika (aritmetika) sudah digunakan untuk membuat [[piramida]], digunakan untuk menentukan waktu turun [[hujan]], dan sebagainya.
Sebagai raja, perkembangan matematika tak tergantung pada ilmu-ilmu lain. Banyak cabang matematika yang dulu biasa disebut ''[[matematika murni]]'', dikembangkan oleh beberapa [[matematikawan]] yang mencintai dan belajar matematika hanya sebagai [[kegemaran]] tanpa memedulikan fungsi dan manfaatnya untuk ilmu-ilmu lain. Dengan perkembangan teknologi, banyak cabang-cabang matematika murni yang ternyata di kemudian hari bisa diterapkan dalam berbagai ilmu pengetahuan dan teknologi mutakhir.
==Matematika sebagai ilmu pengetahuan==
[[Berkas:Carl Friedrich Gauss.jpg|right|thumb|[[Carl Friedrich Gauss]], menganggap dirinya sebagai "pangerannya para matematikawan", dan mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".]]
[[Carl Friedrich Gauss]] mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".<ref>Waltershausen</ref> Di dalam bahasa aslinya, Latin ''Regina Scientiarum'', juga di dalam [[bahasa Jerman]] ''Königin der Wissenschaften'', kata yang bersesuaian dengan ''ilmu pengetahuan'' berarti (lapangan) pengetahuan. Jelas, inipun arti asli di dalam bahasa Inggris, dan tiada keraguan bahwa matematika di dalam konteks ini adalah sebuah ilmu pengetahuan. Pengkhususan yang mempersempit makna menjadi ilmu pengetahuan ''alam'' adalah di masa terkemudian. Bila seseorang memandang [[ilmu pengetahuan]] hanya terbatas pada dunia fisika, maka matematika, atau sekurang-kurangnya [[matematika murni]], bukanlah ilmu pengetahuan. [[Albert Einstein]] menyatakan bahwa ''"sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, maka mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan.''"<ref name=certain>Einstein, p. 28. Kutipan ini adalah jawaban Einstein terhadap pertanyaan: "betapa mungkin bahwa matematika, di samping yang lain tentunya, menjadi ciptaan pemikiran manusia yang terbebas dari pengalaman, begitu luar biasa bersesuaian dengan objek-objek kenyataan?" Dia juga memperhatikan ''[[Keefektifan tak ternalar Matematika di dalam Ilmu Pengetahuan Alam]]''.</ref>
Banyak filsuf yakin bahwa matematika tidaklah [[keterpalsuan|terpalsukan]] berdasarkan percobaan, dan dengan demikian bukanlah ilmu pengetahuan per definisi [[Karl Popper]].<ref>{{cite book | title = Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists | author = Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A. | publisher = Springer | year = 1998 | page = 228}}</ref> Tetapi, di dalam karya penting tahun 1930-an tentang logika matematika menunjukkan bahwa matematika tidak bisa direduksi menjadi logika, dan Karl Popper menyimpulkan bahwa "sebagian besar teori matematika, seperti halnya [[fisika]] dan [[biologi]], adalah [[hipotesis|hipotetis]]-[[deduktif]]: oleh karena itu matematika menjadi lebih dekat ke ilmu pengetahuan alam yang hipotesis-hipotesisnya adalah konjektur (dugaan), lebih daripada sebagai hal yang baru."<ref>Popper 1995, p. 56</ref> Para bijak bestari lainnya, sebut saja [[Imre Lakatos]], telah menerapkan satu versi [[pemalsuan]] kepada matematika itu sendiri.
Sebuah tinjauan alternatif adalah bahwa lapangan-lapangan ilmiah tertentu (misalnya [[fisika teoretis]]) adalah matematika dengan aksioma-aksioma yang ditujukan sedemikian sehingga bersesuaian dengan kenyataan. Faktanya, seorang fisikawan teoretis, [[J. M. Ziman]], mengajukan pendapat bahwa ilmu pengetahuan adalah ''pengetahuan umum'' dan dengan demikian matematika termasuk di dalamnya.<ref>Ziman</ref> Di beberapa kasus, matematika banyak saling berbagi dengan ilmu pengetahuan fisika, sebut saja penggalian dampak-dampak logis dari beberapa anggapan. [[Intuisi (pengetahuan)|Intuisi]] dan [[percobaan]] juga berperan penting di dalam perumusan [[konjektur]]-konjektur, baik itu di matematika, maupun di ilmu-ilmu pengetahuan (lainnya). [[Matematika percobaan]] terus bertumbuh kembang, mengingat kepentingannya di dalam matematika, kemudian komputasi dan simulasi memainkan peran yang semakin menguat, baik itu di ilmu pengetahuan, maupun di matematika, melemahkan objeksi yang mana matematika tidak menggunakan [[metode ilmiah]]. Di dalam bukunya yang diterbitkan pada 2002 ''[[A New Kind of Science]]'', [[Stephen Wolfram]] berdalil bahwa matematika komputasi pantas untuk digali secara [[empirik]] sebagai lapangan ilmiah di dalam haknya/kebenarannya sendiri.
Pendapat-pendapat para matematikawan terhadap hal ini adalah beraneka macam. Banyak matematikawan merasa bahwa untuk menyebut wilayah mereka sebagai ilmu pengetahuan sama saja dengan menurunkan kadar kepentingan sisi estetikanya, dan sejarahnya di dalam tujuh [[seni liberal]] tradisional; yang lainnya merasa bahwa pengabaian pranala ini terhadap ilmu pengetahuan sama saja dengan memutar-mutar mata yang buta terhadap fakta bahwa antarmuka antara matematika dan penerapannya di dalam ilmu pengetahuan dan [[rekayasa]] telah mengemudikan banyak pengembangan di dalam matematika. Satu jalan yang dimainkan oleh perbedaan sudut pandang ini adalah di dalam perbincangan filsafat apakah matematika ''diciptakan'' (seperti di dalam seni) atau ''ditemukan'' (seperti di dalam ilmu pengetahuan). Adalah wajar bagi [[universitas]] bila dibagi ke dalam bagian-bagian yang menyertakan departemen ''Ilmu Pengetahuan dan Matematika'', ini menunjukkan bahwa lapangan-lapangan itu dipandang bersekutu tetapi mereka tidak seperti dua sisi keping uang logam. Pada tataran praktisnya, para matematikawan biasanya dikelompokkan bersama-sama para ilmuwan pada tingkatan kasar, tetapi dipisahkan pada tingkatan akhir. Ini adalah salah satu dari banyak perkara yang diperhatikan di dalam [[filsafat matematika]].
Penghargaan matematika umumnya dipelihara supaya tetap terpisah dari kesetaraannya dengan ilmu pengetahuan. Penghargaan yang adiluhung di dalam matematika adalah [[Fields Medal]] (medali lapangan),<ref>"''Fields Medal kini disepakati paling dikenal dan paling berpengaruh di dalam matematika.''" Monastyrsky</ref><ref>Riehm</ref> dimulakan pada 1936 dan kini diselenggarakan tiap empat tahunan. Penghargaan ini sering dianggap setara dengan [[Hadiah Nobel]] ilmu pengetahuan. [[Wolf Prize in Mathematics]], dilembagakan pada 1978, mengakui masa prestasi, dan penghargaan internasional utama lainnya, [[Hadiah Abel]], diperkenalkan pada 2003. Ini dianugerahkan bagi ruas khusus karya, dapat berupa pembaharuan, atau penyelesaian masalah yang terkemuka di dalam lapangan yang mapan. Sebuah daftar terkenal berisikan 23 [[masalah terbuka]], yang disebut "[[masalah Hilbert]]", dihimpun pada 1900 oleh matematikawan Jerman [[David Hilbert]]. Daftar ini meraih persulangan yang besar di antara para matematikawan, dan paling sedikit sembilan dari masalah-masalah itu kini terpecahkan. Sebuah daftar baru berisi tujuh masalah penting, berjudul "[[Masalah Hadiah Milenium]]", diterbitkan pada 2000. Pemecahan tiap-tiap masalah ini berhadiah [[Dollar Amerika Serikat|US$]] 1 juta, dan hanya satu ([[hipotesis Riemann]]) yang mengalami penggandaan di dalam masalah-masalah Hilbert.
==Lapangan-lapangan matematika==
[[Berkas:Abacus 6.png|right|thumb|Sebuah [[sempoa]], alat hitung sederhana yang dipakai sejak zaman kuno.]]
Disiplin-disiplin utama di dalam matematika pertama muncul karena kebutuhan akan perhitungan di dalam perdagangan, untuk memahami hubungan antarbilangan, untuk mengukur tanah, dan untuk meramal peristiwa [[astronomi]]. Empat kebutuhan ini secara kasar dapat dikaitkan dengan pembagian-pembagian kasar matematika ke dalam pengkajian besaran, struktur, ruang, dan perubahan (yakni [[aritmetika]], [[aljabar]], [[geometri]], dan [[analisis matematika|analisis]]). Selain pokok bahasan itu, juga terdapat pembagian-pembagian yang dipersembahkan untuk pranala-pranala penggalian dari jantung matematika ke lapangan-lapangan lain: ke [[logika matematika|logika]], ke [[teori himpunan]] ([[dasar-dasar matematika|dasar]]), ke matematika empirik dari aneka macam ilmu pengetahuan ([[matematika terapan]]), dan yang lebih baru adalah ke pengkajian kaku akan [[ketakpastian]].
===Besaran===<!-- Bagian ini dipranalakan dari [[Daftar topik matematika dasar]] -->
Pengkajian besaran dimulakan dengan [[bilangan]], pertama [[bilangan asli]] dan [[bilangan bulat]] ("semua bilangan") dan operasi aritmetika di ruang bilangan itu, yang dipersifatkan di dalam [[aritmetika]]. Sifat-sifat yang lebih dalam dari bilangan bulat dikaji di dalam [[teori bilangan]], dari mana datangnya hasil-hasil popular seperti [[Teorema Terakhir Fermat]]. Teori bilangan juga memegang dua masalah tak terpecahkan: [[konjektur prima kembar]] dan [[konjektur Goldbach]].
Karena sistem bilangan dikembangkan lebih jauh, bilangan bulat diakui sebagai [[himpunan bagian]] dari [[bilangan rasional]] ("[[Pecahan (matematika)|pecahan]]"). Sementara bilangan pecahan berada di dalam [[bilangan real]], yang dipakai untuk menyajikan besaran-besaran [[fungsi kontinu|kontinu]]. Bilangan real diperumum menjadi [[bilangan kompleks]]. Inilah langkah pertama dari jenjang bilangan yang beranjak menyertakan [[kuarternion]] dan [[oktonion]]. Perhatian terhadap bilangan asli juga mengarah pada [[bilangan transfinit]], yang memformalkan konsep pencacahan [[ketakhinggaan]]. Wilayah lain pengkajian ini adalah ukuran, yang mengarah pada [[bilangan kardinal]] dan kemudian pada konsepsi ketakhinggaan lainnya: [[bilangan aleph]], yang memungkinkan perbandingan bermakna tentang ukuran himpunan-himpunan besar ketakhinggaan.
:[[Bilangan]] – [[Bilangan dasar]] – [[Pi]] – [[Bilangan bulat]] – [[Bilangan rasional]] – [[Bilangan real]] – [[Bilangan kompleks]] – [[Bilangan hiperkompleks]] – [[Kuaternion]] – [[Oktonion]] – [[Sedenion]] – [[Bilangan hiperreal]] – [[Bilangan surreal]] – [[Bilangan urutan]] – [[Bilangan pokok]] – [[Bilangan P-adic]] – [[Rangkaian bilangan bulat]] – [[Konstanta matematika]] – [[Nama bilangan]] – [[Ketakhinggaan]] – [[Dasar (matematika)|Dasar]] – [[Sudut Jarum Jam]]
:{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="20"
| <math>1, 2, 3\,\!</math> || <math>-2, -1, 0, 1, 2\,\!</math> || <math> -2, \frac{2}{3}, 1.21\,\!</math> || <math>-e, \sqrt{2}, 3, \pi\,\!</math> || <math>2, i, -2+3i, 2e^{i\frac{4\pi}{3}}\,\!</math>
|-
| [[Bilangan asli]]|| [[Bilangan bulat]] || [[Bilangan rasional]] || [[Bilangan real]] || [[Bilangan kompleks]]
|}
===Ruang===<!-- This section is linked from [[List of basic mathematics topics]] -->
<!--
The study of space originates with [[geometry]] – in particular, [[Euclidean geometry]]. [[Trigonometry]] combines space and numbers, and encompasses the well-known [[Pythagorean theorem]]. The modern study of space generalizes these ideas to include higher-dimensional geometry, [[non-euclidean geometry|non-Euclidean geometries]] (which play a central role in [[general relativity]]) and [[topology]]. Quantity and space both play a role in [[analytic geometry]], [[differential geometry]], and [[algebraic geometry]]. Within differential geometry are the concepts of [[fiber bundles]] and calculus on [[manifold]]s. Within algebraic geometry is the description of geometric objects as solution sets of [[polynomial]] equations, combining the concepts of quantity and space, and also the study of [[topological groups]], which combine structure and space. [[Lie group]]s are used to study space, structure, and change. [[Topology]] in all its many ramifications may have been the greatest growth area in 20th century mathematics, and includes the long-standing [[Poincaré conjecture]] and the controversial [[four color theorem]], whose only proof, by computer, has never been verified by a human.
-->
:[[
:{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
|
[[File:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg|96px]] || [[File:Sine cosine plot.svg|96px]] || [[File:Hyperbolic triangle.svg|96px]] || [[File:Torus.png|96px]] || [[File:Mandel_zoom_07_satellite.jpg|96px]]
|-
|[[Geometri]] || [[Trigonometri]] || [[Geometri diferensial]] || [[Topologi]] || [[Fractal|Geometri fraktal]]
|}
===Perubahan===<!-- This section is linked from [[List of basic mathematics topics]] -->
<!--
Understanding and describing change is a common theme in the [[natural science]]s, and [[calculus]] was developed as a powerful tool to investigate it. [[function (mathematics)|Functions]] arise here, as a central concept describing a changing quantity. The rigorous study of [[real number]]s and functions of a real variable is known as [[real analysis]], with [[complex analysis]] the equivalent field for the [[complex number]]s. The [[Riemann hypothesis]], one of the most fundamental open questions in mathematics, is drawn from complex analysis. [[Functional analysis]] focuses attention on (typically infinite-dimensional) [[space#Mathematics|spaces]] of functions. One of many applications of functional analysis is [[quantum mechanics]]. Many problems lead naturally to relationships between a quantity and its rate of change, and these are studied as [[differential equation]]s. Many phenomena in nature can be described by [[dynamical system]]s; [[chaos theory]] makes precise the ways in which many of these systems exhibit unpredictable yet still [[deterministic system (mathematics)|deterministic]] behavior.
-->
:[[
{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="20"
|
[[File:Integral as region under curve.svg|96px]] || [[File:Vector field.svg|96px]] || [[File:Airflow-Obstructed-Duct.png|96px]] || [[File:Limitcycle.jpg|96px]] || [[File:Lorenz attractor.svg|96px]]
|-
| [[Kalkulus]] || [[Kalkulus vektor]]|| [[Persamaan diferensial]] || [[Sistem dinamika]] || [[Teori kekacauan]]
|}
===Struktur===<!-- This section is linked from [[List of basic mathematics topics]] -->
<!--
Many mathematical objects, such as [[Set (mathematics)|sets]] of numbers and [[function (mathematics)|functions]], exhibit internal structure. The structural properties of these objects are investigated in the study of [[group (mathematics)|groups]], [[ring (mathematics)|rings]], [[field (mathematics)|fields]] and other abstract systems, which are themselves such objects. This is the field of [[abstract algebra]]. An important concept here is that of [[Vector (geometric)|vectors]], generalized to [[vector space]]s, and studied in [[linear algebra]]. The study of vectors combines three of the fundamental areas of mathematics: quantity, structure, and space. [[Vector calculus]] expands the field into a fourth fundamental area, that of change. [[Tensor calculus]] studies [[symmetry]] and the behavior of vectors under [[rotation]]. A number of ancient problems concerning [[Compass and straightedge constructions]] were finally solved using [[Galois theory]].
-->
:[[Aljabar abstrak]] – [[Teori bilangan]] – [[Geometri aljabar]] – [[Teori grup]] – [[Monoid]] – [[Analisis matematika|Analisis]] – [[Topologi]] – [[Aljabar linear]] – [[Teori grafik]] – [[Aljabar universal]] – [[Teori kategori]] – [[Teori urutan]]
:{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
|
[[File:Elliptic curve simple.svg|96px]] || [[File:Rubik's cube.svg|96px]] || [[File:Group diagdram D6.svg|96px]] || [[File:Lattice of the divisibility of 60.svg|96px]]
|-
| [[Teori bilangan]] || [[Aljabar abstrak]] || [[Teori grup]] || [[Teori orde]]
|}
===Dasar dan filsafat===
<!--
In order to clarify the [[foundations of mathematics]], the fields of [[mathematical logic]] and [[set theory]] were developed, as well as [[category theory]] which is still in development. The phrase "crisis of foundations" describes the search for a rigorous foundation for mathematics that took place from approximately 1900 to 1930.<ref>Luke Howard Hodgkin & Luke Hodgkin, ''A History of Mathematics'', Oxford University Press, 2005.</ref> Some disagreement about the foundations of mathematics continues to present day. The crisis of foundations was stimulated by a number of controversies at the time, including the [[controversy over Cantor's theory|controversy over Cantor's set theory]] and the [[Brouwer-Hilbert controversy]].
Mathematical logic is concerned with setting mathematics on a rigorous [[axiom]]atic framework, and studying the results of such a framework. As such, it is home to [[Gödel's incompleteness theorems#Second incompleteness theorem|Gödel's second incompleteness theorem]], perhaps the most widely celebrated result in logic, which (informally) implies that any [[formal system]] that contains basic arithmetic, if ''sound'' (meaning that all theorems that can be proven are true), is necessarily ''incomplete'' (meaning that there are true theorems which cannot be proved ''in that system''). Gödel showed how to construct, whatever the given collection of number-theoretical axioms, a formal statement in the logic that is a true number-theoretical fact, but which does not follow from those axioms. Therefore no formal system is a true axiomatization of full number theory. Modern logic is divided into [[recursion theory]], [[model theory]], and [[proof theory]], and is closely linked to [[theoretical computer science|theoretical]] [[computer science]].
-->
:{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
|
<math> p \Rightarrow q \,</math> || [[File:Venn A intersect B.svg|128px]] || [[File:Commutative diagram for morphism.svg|96px]]
|-
| [[Logika matematika]] || [[Teori himpunan]] || [[Teori kategori]] ||
|}
===Matematika diskret===
<!--
[[Matematika diskret]] is the common name for the fields of mathematics most generally useful in [[theoretical computer science]]. This includes [[computability theory (computation)|computability theory]], [[computational complexity theory]], and [[information theory]]. Computability theory examines the limitations of various theoretical models of the computer, including the most powerful known model - the [[Turing machine]]. Complexity theory is the study of tractability by computer; some problems, although theoretically solvable by computer, are so expensive in terms of time or space that solving them is likely to remain practically unfeasible, even with rapid advance of computer hardware. Finally, information theory is concerned with the amount of data that can be stored on a given medium, and hence deals with concepts such as [[data compression|compression]] and [[Entropy (information theory)|entropy]].
As a relatively new field, discrete mathematics has a number of fundamental open problems. The most famous of these is the "[[P = NP problem|P=NP?]]" problem, one of the [[Millennium Prize Problems]].<ref>[http://www.claymath.org/millennium/P_vs_NP/ Clay Mathematics Institute] P=NP</ref>
-->
:[[Kombinasi]] - [[Permutasi]] – [[Teori himpunan naif]] – [[Peluang (statistika)|Peluang]] – [[Teori komputasi]] – [[Matematika hingga]] – [[Kriptografi]] – [[Teori gambar]] – [[Teori permainan]]
:{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
| <math>\begin{matrix} (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \end{matrix}</math> || [[File:DFAexample.svg|96px]] ||
[[File:Caesar3.svg|96px]] || [[File:6n-graf.svg|96px]]
|-
| [[Kombinatorika]] || [[Teori komputasi]] || [[Kriptografi]] || [[Teori graf]]
|}
===Matematika terapan===
<!--
[[Applied mathematics]] considers the use of abstract mathematical tools in solving concrete problems in the [[science]]s, [[business]], and other areas. An important field in applied mathematics is [[statistics]], which uses [[probability theory]] as a tool and allows the description, analysis, and prediction of phenomena where chance plays a role. Most experiments, surveys and observational studies require the informed use of statistics. (Many statisticians, however, do not consider themselves to be mathematicians, but rather part of an allied group.) [[Numerical analysis]] investigates computational methods for efficiently solving a broad range of mathematical problems that are typically too large for human numerical capacity; it includes the study of [[rounding error]]s or other sources of error in computation.
-->
:[[Mekanika]] – [[Analisis Numerik]] – [[Optimisasi (matematika)|Optimisasi]] – [[Probabilitas]] – [[Statistika]] – [[Matematika keuangan]] – [[Metode Numerik]]
==Topik-topik matematika ==
===Konjektur dan teori-teori yang terkenal===
Teorema-teorema yang telah menarik matematikawan dan bukan matematikawan.
:[[Teorema terakhir Fermat]] – [[Konjektur Goldbach]] – [[Konjektur Utama Kembar]] – [[Teorema ketaklengkapan Gödel]] – [[Konjektur Poincaré]] – [[Argumen diagonal Cantor]] – [[Teorema empat warna]] – [[Lema Zorn]] – [[Identitas Euler]] – [[Konjektur Scholz]] – [[Tesis Church-Turing]]
===Teori dan konjektur penting===
Di bawah ini adalah teori dan konjektur yang telah mengubah wajah matematika sepanjang sejarah.
:[[Hipotesis Riemann]] – [[Hipotesis Kontinuum]] – [[Kelas kerumitan P dan NP|P=NP]] – [[Teorema Pitagoras]] – [[Teorema limit pusat]] – [[Teorema dasar kalkulus]] – [[Teorema dasar aljabar]] – [[Teorema dasar aritmetika]] – [[Teorema dasar geometri proyektif]] – [[Klasifikasi teorema permukaan]] – [[Teorema Gauss-Bonnet]]
===Dasar dan metode===
Topik yang membahas pendekatan ke matematika dan pengaruh cara matematikawan mempelajari subjek mereka.
:[[Filsafat matematika]] – [[Intuisionisme matematika]] – [[Konstruktivisme matematika]] – [[Dasar matematika]] – [[Teori pasti]] – [[Logika simbolik]] – [[Teori model]] – [[Teori kategori]] – [[Logika]] – [[Matematika kebalikan]] – [[Daftar lambang matematika]]
===Sejarah dunia para matematikawan===
:[[Sejarah matematika]] – [[Garis waktu matematika]] – [[Matematikawan]] – [[Medali Bidang|Medali bidang]] – [[Hadiah Abel]] – [[Masalah Hadiah Milenium|Masalah Hadiah Milenium (Hadiah Matematika Clay)]] – [[International Mathematical Union]] – [[Lomba Matematika|Lomba matematika]] – [[Pemikiran lateral]] – [[Kemampuan matematika dan masalah gender]]
===Matematika dan bidang lainnya===
:[[Matematika dan arsitektur]] – [[Matematika dan pendidikan]] – [[Matematika skala musik]]
===Kejadian Kebetulan Matematika===
:[[Daftar Kejadian Kebetulan Matematika]]
<center>
<gallery>
Image:Gravitation space source.png | <center>[[Fisika matematika]]</center>
Image:BernoullisLawDerivationDiagram.svg | <center>[[Mekanika fluida]]</center>
Image:Composite trapezoidal rule illustration small.svg | <center>[[Analisis numerik]]</center>
Image:Maximum boxed.png | <center>[[Optimisasi (matematika)|Optimisasi]]</center>
Image:Two red dice 01.svg | <center>[[Teori peluang]]</center>
Image:Oldfaithful3.png | <center>[[Statistika]]</center>
Image:Market Data Index NYA on 20050726 202628 UTC.png | <center>[[Matematika keuangan]]</center>
Image:Arbitrary-gametree-solved.svg | <center>[[Teori permainan]]</center>
</gallery>
</center>
==Kesalahpahaman dan kesalahan konsep yang umum terjadi==
'''Matematika''' sangatlah sulit [[definisi|didefinisikan]] secara [[akurat]]. Pada umumnya orang awam hanya akrab dengan satu cabang matematika elementer yang disebut [[aritmetika]] atau ilmu hitung yang secara informal dapat didefinisikan sebagai ilmu tentang [[bilangan]] yang bisa langsung diperoleh dari [[bilangan bulat|bilangan-bilangan bulat]] 0, 1, -1, 2, - 2, ..., dan seterusnya, melalui beberapa operasi dasar: tambah, kurang, kali dan bagi.
Silakan baca kutipan-kutipan lama atau kuno di:
*[http://www.cut-the-knot.org/manifesto/beauty.shtml Is Mathematics Beautiful?]
*[http://www.cut-the-knot.org/manifesto/need_it.shtml Do We Need Mathematics?]
Matematika bukanlah sistem kecerdasan tertutup, di mana segala sesuatunya selalu saja berkembang. Tiada kemiskinan akan [[masalah tak terpecahkan di dalam matematika|masalah terbuka]]. Para matematikawan menerbitkan ribuan makalah yang menjelaskan temuan-temuan baru di matematika tiap bulannya.
Matematika bukanlah [[numerologi]] (ilmu bilangan); tidak memusatkan perhatian pada sifat-sifat "supernatural" bilangan. Matematika bukan pula [[akuntansi]]; atau cuma sekadar [[aritmetika]] (ilmu hitung).
[[Matematika semu]] (pseudomatematika) adalah sebentuk kegiatan mirip matematika yang dilakukan di luar [[akademia]], dan jarang dilakukan matematikawan. Matematika semu berisi serangan-serangan yang telah ditentukan mengenai pertanyaan-pertanyaan terkenal, berisikan upaya-upaya pembuktian yang dibuat di dalam cara yang tertutup (yakni, makalah-makalah panjang yang tidak disokong oleh teori-teori yang pernah diterbitkan). Hubungan terhadap matematika yang umum diterima sama saja seperti hubungan antara [[ilmu pengetahuan semu]] dan ilmu pengetahuan yang sebenarnya. Kesalahan konsep yang dilibatkan biasanya didasarkan pada:
* kesalahpahaman dampak atau akibat [[kekakuan matematika]];
* upaya-upaya untuk untuk mengelakkan kriteria wajar penerbitan [[makalah matematika]] di dalam suatu [[jurnal ilmiah]] setelah [[tinjauan sepadan]], seringkali di dalam keyakinan bahwa jurnal itu dibiaskan melawan penulisnya;
* kekurangakraban dengan, dan oleh karenanya peremehan, terhadap kepustakaan yang telah ada.
Seperti [[astronomi]], matematika banyak berutang budi kepada penyumbang amatir seperti [[Pierre de Fermat|Fermat]] dan [[Marin Mersenne|Mersenne]]. Lihatlah lebih jauh lagi [[Daftar matematikawan amatir]].
==Kutipan==
Menurut metode aksiomatik, di mana sifat-sifat tertentu (sebaliknya tak dikenal) struktur diambil dan kemudian secara logis akibat dari itu kenudian secara logika diturunkan, [[Bertrand Russell]] berkata:
:"Matematika dapat didefinisikan sebagai subyek yang mana kita tidak pernah tau tentang apa yang sedang kita bicarakan, maupun apa yang tidak kita katakan benar".
Mungkin ini menjelaskan mengapa [[John von Neumann]] berkata suatu kali:
:"Dalam matematika Anda takkan memahami hal. Anda benar-benar mengambilnya dulu".
Tentang indahnya matematika, [[Bertrand Russell]] berkata dalam ''Study of Mathematics'':
:"Matematika, sudah sepantasnya dipandang, tak hanya memiliki kebenaran, namun keindahan tertinggi – dingin dan cermat yang bagus, seperti pahatan itu, tanpa menarik setiap bagian sifat lemah kita, tanpa hiasan indah lukisan atau musik, masih murni sama sekali, dan kemampuan kesempurnaan keras seperti hanya seni terbesar dapat mempertunjukkan. Jiwa kesenangan yang sesungguhnya, keagungan, arti badan lebih daripada manusia, yang merupakan batu ujian keunggulan tertinggi, untuk ditemukan dalam matematika seperti tentu saja puisi".
Menguraikan simetri antara aspek penciptaan dan logika matematika, W.S. Anglin mengamati, dalam ''Mathematics and History'':
:"Matematika bukanlah gerakan turun hati-hati jalan raya yang bebas, namun perjalanan dalam hutan belantara yang asing, di mana penjelajah sering kehilangan. Kekerasan akan menjadi tanda untuk sejarawan yang mana peta telah dibuat, dan penjelajah sesungguhnya telah pergi ke tempat lain".
==Lihat juga==
{{portal}}
{{Wikipedia-Books}}
<div style="-moz-column-count:3; column-count:3;">
* [[Definisi matematika]]
* [[Dyscalculia]]
* [[Daftar topik matematika dasar]]
* [[Daftar topik matematika]]
* [[Mathematical anxiety]]
* [[Permainan matematis]]
* [[Model matematika]]
* [[Masalah matematika]]
* [[Struktur matematika]]
* [[Matematika dan seni]]
* [[Lomba matematika]]
* [[Pendidikan matematika]]
* [[Portal:Matematika|Portal Matematika]]
* [[Pola]]
* [[Filsafat matematika]]
* [[Abacus]]
* [[Tulang Napier]], [[Jangka sorong]]
* [[Penggaris]] dan [[Kompas]]
* [[Perhitungan biasa]]
* [[Kalkulator]] dan [[komputer]]
* [[Bahasa pemrograman]]
* [[Sistem komputer aljabar]]
* [[Notasi sederhana Internet]]
* [[Analisis statistik]] [[software]]
** [[SPSS]]
** [[SAS]]
** [http://www.r-project.org R]
</div>
==Catatan==
{{reflist|2}}
==Referensi==
{{refbegin|2}}
* Benson, Donald C., ''The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies'', Oxford University Press, USA; New Ed edition (December 14, 2000). ISBN 0-19-513919-4.
* [[Carl B. Boyer|Boyer, Carl B.]], ''A History of Mathematics'', Wiley; 2 edition (March 6, 1991). ISBN 0-471-54397-7. — A concise history of mathematics from the Concept of Number to contemporary Mathematics.
* Courant, R. and H. Robbins, ''What Is Mathematics? : An Elementary Approach to Ideas and Methods'', Oxford University Press, USA; 2 edition (July 18, 1996). ISBN 0-19-510519-2.
* [[Philip J. Davis|Davis, Philip J.]] and [[Reuben Hersh|Hersh, Reuben]], ''[[The Mathematical Experience]]''. Mariner Books; Reprint edition (January 14, 1999). ISBN 0-395-92968-7. — A gentle introduction to the world of mathematics.
* {{cite journal
| last = Einstein
| first = Albert
| authorlink = Albert Einstein
| title = Sidelights on Relativity (Geometry and Experience)
| publisher = P. Dutton., Co
| year = 1923}}
* Eves, Howard, ''An Introduction to the History of Mathematics'', Sixth Edition, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0.
* Gullberg, Jan, ''Mathematics — From the Birth of Numbers''. W. W. Norton & Company; 1st edition (October 1997). ISBN 0-393-04002-X. — An encyclopedic overview of mathematics presented in clear, simple language.
* Hazewinkel, Michiel (ed.), ''[[Encyclopaedia of Mathematics]]''. Kluwer Academic Publishers 2000. — A translated and expanded version of a Soviet mathematics encyclopedia, in ten (expensive) volumes, the most complete and authoritative work available. Also in paperback and on CD-ROM, and online [http://eom.springer.de/default.htm].
* Jourdain, Philip E. B., ''The Nature of Mathematics'', in ''The World of Mathematics'', James R. Newman, editor, Dover, 2003, ISBN 0-486-43268-8.
* [[Morris Kline|Kline, Morris]], ''Mathematical Thought from Ancient to Modern Times'', Oxford University Press, USA; Paperback edition (March 1, 1990). ISBN 0-19-506135-7.
* {{cite paper|url=http://www.fields.utoronto.ca/aboutus/FieldsMedal_Monastyrsky.pdf|year=2001|title=Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal|author=Monastyrsky, Michael|publisher=Canadian Mathematical Society|accessdate=2006-07-28|format=PDF}}
* [[Oxford English Dictionary]], second edition, ed. John Simpson and Edmund Weiner, Clarendon Press, 1989, ISBN 0-19-861186-2.
* ''[[The Oxford Dictionary of English Etymology]]'', 1983 reprint. ISBN 0-19-861112-9.
* Pappas, Theoni, ''The Joy Of Mathematics'', Wide World Publishing; Revised edition (June 1989). ISBN 0-933174-65-9.
* {{cite journal|title=Linear Associative Algebra|first= Benjamin|last= Peirce|journal= American Journal of Mathematics|issue= Vol. 4, No. 1/4. (1881|url= http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9327%281881%294%3A1%2F4%3C97%3ALAA%3E2.0.CO%3B2-X|unused_data=|, pages= 97-229}} [[JSTOR]].
* Peterson, Ivars, ''Mathematical Tourist, New and Updated Snapshots of Modern Mathematics'', Owl Books, 2001, ISBN 0-8050-7159-8.
* {{cite book | last = Paulos | first = John Allen | authorlink = John Allen Paulos | year = 1996 | title = A Mathematician Reads the Newspaper | publisher = Anchor | isbn = 0-385-48254-X}}
* {{Cite book | first=Karl R. | last=Popper | authorlink=Karl Popper | title=In Search of a Better World: Lectures and Essays from Thirty Years | chapter=On knowledge | publisher=Routledge | year=1995 | isbn=0-415-13548-6}}
* {{cite journal
| last = Riehm
| first = Carl
| authorlink =
| title = The Early History of the Fields Medal
| journal = Notices of the AMS
| volume = 49
| issue = 7
| pages = 778–782
| publisher = AMS
| month = August | year = 2002
| url = http://www.ams.org/notices/200207/comm-riehm.pdf
| doi =
| id =
| accessdate = |format=PDF}}
* {{cite journal| last=Sevryuk | first=Mikhail B. | authorlink = Mikhail B. Sevryuk| year = 2006| month = January| title = Book Reviews| journal = [[Bulletin of the American Mathematical Society]]| volume = 43| issue = 1| pages = 101–109| url = http://www.ams.org/bull/2006-43-01/S0273-0979-05-01069-4/S0273-0979-05-01069-4.pdf| format = PDF| accessdate = 2006-06-24| doi = 10.1090/S0273-0979-05-01069-4}}
* {{cite book | last = Waltershausen | first = Wolfgang Sartorius von | authorlink = Wolfgang Sartorius von Waltershausen | title = Gauss zum Gedächtniss | year = 1856, repr. 1965 | publisher = Sändig Reprint Verlag H. R. Wohlwend | isbn = 3-253-01702-8 | asin = ASIN: B0000BN5SQ | url = http://www.amazon.de/Gauss-Ged%e4chtnis-Wolfgang-Sartorius-Waltershausen/dp/3253017028}}
* {{cite paper|url=http://info.med.yale.edu/therarad/summers/ziman.htm|year=1968|title=Public Knowledge:An essay concerning the social dimension of science|author= Ziman, J.M., F.R.S.}}
{{refend}}
==Pranala luar==
{{sisterlinks|Matematika}}
{{WVS}}
<div class="references-small">
* [http://freebookcentre.net/SpecialCat/Free-Mathematics-Books-Download.html Buku-buku matematika bebas] Kumpulan buku matematika bebas.
* [http://www.mathmotivation.com/all-applications.html Penerapan Aljabar SMA]
* [[Encyclopaedia of Mathematics]] ensiklopedia '''online''' dari [http://eom.springer.de Springer], Karya referensi pascasarjana dengan lebih dari 8.000 judul, mencerahkan hampir 50.000 gagasan di dalam matematika.
* [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/Hbase/hmat.html Situs HyperMath di Georgia State University]
* [http://www.freescience.info/mathematics.php Perpustakaan FreeScience] Bagian matematika dari perpustakaan FreeScience
* Rusin, Dave: [http://www.math-atlas.org/ ''The Mathematical Atlas'']. Panduan wisata melalui aneka macam matematika modern. (Juga dapat ditemukan [http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/index/index.html di sini].)
* Polyanin, Andrei: [http://eqworld.ipmnet.ru/ ''EqWorld: The World of Mathematical Equations'']. Sebuah sumber '''online''' yang memusatkan perhatian pada [[fisika matematika]] aljabar, diferensial biasa, diferensial parsial, integral, dan persamaan-persamaan matematika lainnya.
* Cain, George: [http://www.math.gatech.edu/~cain/textbooks/onlinebooks.html Buku teks Matematika '''Online'''] tersedia '''online''' secara bebas.
* [http://etext.lib.virginia.edu/DicHist/analytic/anaVII.html Matematika dan Logika: Searah matematika formal, gagasan-gagasan logis, linguistik, dan metodologis.] Di dalam ''Kamus Sejarah Gagasan.''
* [http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/ Riwayat Hidup Matematikawan]. [[Arsip Sejarah Matematika MacTutor]] sejarah ekstensif dan kutipan dari matematikawan termasyhur.
* [http://metamath.org/ ''Metamath'']. Sebuah situs dan sebuah bahasa, yang memformalkan matematika dari dasar-dasarnya.
* [http://www.nrich.maths.org/public/index.php Nrich], sebuah situs peraih hadiah bagi para siswa berusia sejak lima tahun dari [[Universitas Cambridge]]
* [http://garden.irmacs.sfu.ca Taman Masalah Terbuka], sebuah [[wiki]] dari masalah matematika terbuka
* [http://planetmath.org/ ''Planet Math'']. Sebuah ensiklopedia matematika '''online''' yang masih dibangun, memusatkan perhatian pada matematika modern. Menggunakan [[Lisensi Dokumentasi Bebas GNU|GFDL]], memungkinkan pertukaran artikel dengan Wikipedia. Menggunakan pemrograman [[TeX]].
* [http://www-math.mit.edu/daimp Beberapa aplet matematika, di [[Institut Teknologi Massachussetts|MIT]]]
* Weisstein, Eric et al.: [http://www.mathworld.com/ ''MathWorld: World of Mathematics'']. Sebuah ensiklopedia '''online''' matematika.
* Patrick Jones' [http://www.youtube.com/user/patrickJMT Tutorial Video] tentang Matematika
</div>
{{Mathematics-footer}}
[[Kategori:Matematika|Matematika]]
[[Kategori:Kata pinjaman dari bahasa Yunani]]
{{Link FA|ia}}
{{Link FA|ka}}
{{Link FA|la}}
{{Link FA|mk}}
{{Link FA|vo}}
[[af:Wiskunde]]
| |||