Matematika: Perbedaan antara revisi

[[Berkas:Euclid.jpg |thumb|272px|[[Euklides]], matematikawan Yunani, abad ke-3 SM, seperti yang dilukiskan oleh [[Raffaello Sanzio]] di dalam detail ini dari ''[[Sekolah Athena]]''.<ref>Tidak ada perupaan atau penjelasan tentang wujud fisik Euklides yang dibuat selama masa hidupnya yang masih bertahan sebagai kekunoan. Oleh karena itu, penggambaran Euklides di dalam karya seni bergantung pada daya khayal seorang seniman (''lihat [[Euklides]]'').</ref>]]

Terjadi perdebatan tentang apakah objek-objek matematika seperti [[bilangan]] dan [[titik (geometri)|titik]] sudah ada di semesta, jadi ditemukan, atau ciptaan manusia. Seorang matematikawan [[Benjamin Peirce]] menyebut matematika sebagai "ilmu yang menggambarkan simpulan-simpulan yang penting".<ref>Peirce, p.97</ref> Namun, walau matematika pada kenyataannya sangat bermanfaat bagi kehidupan, perkembangan sains dan teknologi, sampai upaya melestarikan alam, matematika hidup di alam gagasan, bukan di realita atau kenyataan. Dengan tepat, [[Albert Einstein]] menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."<ref name=certain/> Makna dari "Matematika tak merujuk kepada kenyataan" menyampaikan pesan bahwa gagasan matematika itu ideal dan steril atau terhindar dari pengaruh manusia. Uniknya, kebebasannya dari kenyataan dan pengaruh manusia ini nantinya justru memungkinkan penyimpulan pernyataan bahwa semesta ini merupakan sebuah struktur matematika, menurut [[:en:Max_TegmarkMax Tegmark|Max Tegmark]]. Jika kita percaya bahwa realita di luar semesta ini haruslah bebas dari pengaruh manusia, maka harus struktur matematika lah semesta itu.

Melalui penggunaan [[penalaran]] [[logika]] dan [[abstraksi (matematika)|abstraksi]], matematika berkembang dari [[pencacahan]], [[kalkulasi|perhitungan]], [[pengukuran]], dan pengkajian sistematis terhadap [[bangun (geometri)|bangun]] dan [[gerak|pergerakan]] benda-benda fisika. Matematika praktis mewujud dalam kegiatan manusia sejak adanya [[Sejarah matematika|rekaman tertulis]]. Argumentasi matematika yang [[ketat]] pertama muncul di dalam [[Matematika Yunani]], terutama di dalam karya [[Euklides]], ''[[Elemen Euklides|Elemen]]''.

Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk [[ilmu alam]], [[teknik]], [[kedokteran]]/[[medis]], dan [[ilmu sosial]] seperti [[ekonomi]], dan [[psikologi]]. [[Matematika terapan]], cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti [[statistika]] dan [[teori permainan]].

Matematika muncul pada saat dihadapinya masalah-masalah yang rumit yang melibatkan kuantitas, struktur, ruang, atau perubahan. Mulanya masalah-masalah itu dijumpai di dalam [[perdagangan]], [[pengukuran tanah]], dan kemudian [[astronomi]]; kini, semua ilmu pengetahuan menganjurkan masalah-masalah yang dikaji oleh para matematikawan, dan banyak masalah yang muncul di dalam matematika itu sendiri. Misalnya, seorang [[fisikawan]] [[Richard Feynman]] menemukan [[:en:Path integral formulation|rumus integral lintasan]] [[mekanika kuantum]] menggunakan paduan nalar matematika dan wawasan fisika, dan [[teori dawai]] masa kini, teori ilmiah yang masih berkembang yang berupaya membersatukan empat [[Interaksi dasar|gaya dasar alami]], terus saja mengilhami matematika baru.<ref>{{cite book | title = The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus | author = Johnson, Gerald W.; Lapidus, Michel L. | publisher = [[Oxford University Press]] | year = 2002}}</ref>

Mereka yang berminat kepada matematika seringkali menjumpai suatu aspek estetika tertentu di banyak matematika. Banyak matematikawan berbicara tentang ''keanggunan'' matematika, [[estetika]] yang tersirat, dan [[keindahan]] dari dalamnya. [[Kesederhanaan]] dan keumumannya dihargai. Terdapat keindahan di dalam kesederhanaan dan keanggunan [[:en:proof (mathematics)|bukti]] yang diberikan, semisal bukti [[Euclid]] yakni bahwa terdapat tak-terhingga banyaknya [[bilangan prima]], dan di dalam [[metode numerik]] yang anggun bahwa perhitungan laju, yakni [[transformasi Fourier cepat]]. [[G. H. Hardy]] di dalam ''[[A Mathematician's Apology]]'' mengungkapkan keyakinan bahwa penganggapan estetika ini, di dalamnya sendiri, cukup untuk mendukung pengkajian matematika murni.<ref>{{cite book | title = A Mathematician's Apology | author = Hardy, G. H. | publisher = Cambridge University Press | year = 1940}}</ref>

Penggunaan bahasa yang ketat secara mendasar merupakan sifat [[pembuktian matematika]]. Para matematikawan ingin teorema mereka mengikuti aksioma-aksioma dengan maksud penalaran yang sistematik. Ini untuk mencegah "[[teorema]]" yang salah ambil, didasarkan pada praduga kegagalan, di mana banyak contoh pernah muncul di dalam sejarah subjek ini.<ref>Lihatlah ''bukti palsu'' untuk contoh sederhana dari hal-hal yang bisa salah di dalam bukti formal. [[:en:Four color theorem|sejarah Teorema Empat Warna]] berisi contoh-contoh bukti-bukti salah yang tanpa sengaja diterima oleh para matematikawan lainnya pada saat itu.</ref> Tingkat kekakuan diharapkan di dalam matematika selalu berubah-ubah sepanjang waktu: [[bangsa Yunani]] menginginkan dalil yang terperinci, namun pada saat itu metode yang digunakan [[Isaac Newton]] kuranglah kaku. Masalah yang melekat pada definisi-definisi yang digunakan Newton akan mengarah kepada munculnya analisis saksama dan bukti formal pada abad ke-19. Kini, para matematikawan masih terus beradu argumentasi tentang [[:en:Computer-assisted proof|bukti berbantuan-komputer]]. Karena perhitungan besar sangatlah sukar diperiksa, bukti-bukti itu mungkin saja tidak cukup kaku.<ref> Ivars Peterson, ''Wisatawan Matematika'', Freeman, 1988, ISBN 0-7167-1953-3. p. 4 "Sedikit keluhan akan ketidakmampuan program komputer memeriksa secara wajar," (merujuk kepada bukti Haken-Apple terhadap Teorema Empat Warna). </ref>

[[Aksioma]] menurut pemikiran tradisional adalah "kebenaran yang menjadi bukti dengan sendirinya", tetapi konsep ini memicu persoalan. Pada tingkatan formal, sebuah aksioma hanyalah seutas dawai [[logika simbolik|lambang]], yang hanya memiliki makna tersirat di dalam konteks semua rumus yang terturunkan dari suatu [[sistem aksioma]]. Inilah tujuan [[program Hilbert]] untuk meletakkan semua matematika pada sebuah basis aksioma yang kokoh, tetapi menurut [[Teorema ketaklengkapan Gödel]] tiap-tiap sistem aksioma (yang cukup kuat) memiliki rumus-rumus yang [[:en:Independence (mathematical logic)|tidak dapat ditentukan]]; dan oleh karena itulah suatu [[sistem aksioma|aksiomatisasi]] terakhir di dalam matematika adalah mustahil. Meski demikian, matematika sering dibayangkan (di dalam konteks formal) tidak lain kecuali [[teori himpunan]] di beberapa aksiomatisasi, dengan pengertian bahwa tiap-tiap pernyataan atau bukti matematika dapat dikemas ke dalam rumus-rumus teori himpunan.<ref> Patrick Suppes, ''Axiomatic Set Theory'', Dover, 1972, ISBN 0-486-61630-4. p. 1, "Di antara banyak cabang matematika modern, teori himpunan menduduki tempat yang unik: dengan sedikit pengecualian, entitas-entitas yang dikaji dan dianalisis di dalam matematika dapat dipandang sebagai himpunan khusus atau kelas-kelas objek tertentu." </ref>

[[Carl Friedrich Gauss]] mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".<ref>Waltershausen</ref> Di dalam bahasa aslinya, Latin ''Regina Scientiarum'', juga di dalam [[bahasa Jerman]] ''Königin der Wissenschaften'', kata yang bersesuaian dengan ''ilmu pengetahuan'' berarti (lapangan) pengetahuan. Jelas, inipun arti asli di dalam bahasa Inggris, dan tiada keraguan bahwa matematika di dalam konteks ini adalah sebuah ilmu pengetahuan. Pengkhususan yang mempersempit makna menjadi ilmu pengetahuan ''alam'' adalah di masa terkemudian. Bila seseorang memandang [[ilmu pengetahuan]] hanya terbatas pada dunia fisika, maka matematika, atau sekurang-kurangnya [[matematika murni]], bukanlah ilmu pengetahuan.

Sebuah tinjauan alternatif adalah bahwa lapangan-lapangan ilmiah tertentu (misalnya [[fisika teoretis]]) adalah matematika dengan aksioma-aksioma yang ditujukan sedemikian sehingga bersesuaian dengan kenyataan. Faktanya, seorang fisikawan teoretis, [[J. M. Ziman]], mengajukan pendapat bahwa ilmu pengetahuan adalah ''pengetahuan umum'' dan dengan demikian matematika termasuk di dalamnya.<ref>Ziman</ref> Di beberapa kasus, matematika banyak saling berbagi dengan ilmu pengetahuan fisika, sebut saja penggalian dampak-dampak logis dari beberapa anggapan. [[Intuisi (pengetahuan)|Intuisi]] dan [[percobaan]] juga berperan penting di dalam perumusan [[konjektur]]-konjektur, baik itu di matematika, maupun di ilmu-ilmu pengetahuan (lainnya).

Pendapat-pendapat para matematikawan terhadap hal ini adalah beraneka macam. Banyak matematikawan merasa bahwa untuk menyebut wilayah mereka sebagai ilmu pengetahuan sama saja dengan menurunkan kadar kepentingan sisi estetikanya, dan sejarahnya di dalam tujuh [[seni liberal]] tradisional; yang lainnya merasa bahwa pengabaian pranala ini terhadap ilmu pengetahuan sama saja dengan memutar-mutar mata yang buta terhadap fakta bahwa antarmuka antara matematika dan penerapannya di dalam ilmu pengetahuan dan [[rekayasa]] telah mengemudikan banyak pengembangan di dalam matematika.

Penghargaan matematika umumnya dipelihara supaya tetap terpisah dari kesetaraannya dengan ilmu pengetahuan. Penghargaan yang adiluhung di dalam matematika adalah [[Fields Medal]] (medali lapangan),<ref>"''Fields Medal kini disepakati paling dikenal dan paling berpengaruh di dalam matematika.''" Monastyrsky</ref><ref>Riehm</ref> dimulakan pada 1936 dan kini diselenggarakan tiap empat tahunan. Penghargaan ini sering dianggap setara dengan [[Hadiah Nobel]] ilmu pengetahuan.

[[Wolf Prize in Mathematics]], dilembagakan pada 1978, mengakui masa prestasi, dan penghargaan internasional utama lainnya, [[Hadiah Abel]], diperkenalkan pada 2003. Ini dianugerahkan bagi ruas khusus karya, dapat berupa pembaharuan, atau penyelesaian masalah yang terkemuka di dalam lapangan yang mapan.

Sebuah daftar terkenal berisikan 23 [[masalah terbuka]], yang disebut "[[masalah Hilbert]]", dihimpun pada 1900 oleh matematikawan Jerman [[David Hilbert]]. Daftar ini meraih persulangan yang besar di antara para matematikawan, dan paling sedikit sembilan dari masalah-masalah itu kini terpecahkan.

Pengkajian ruang bermula dengan [[geometri]] – khususnya, [[geometri]] [[Euklides]]. [[Trigonometri]] memadukan ruang dan bilangan, dan mencakupi [[Teorema Pythagoras]] yang terkenal. Pengkajian modern tentang ruang memperumum gagasan-gagasan ini untuk menyertakan geometri berdimensi lebih tinggi, [[geometri non-Euklides]] (yang berperan penting di dalam [[relativitas umum]]) dan [[topologi]]. Besaran dan ruang berperan penting di dalam [[geometri analitik]], [[geometri diferensial]], dan [[geometri aljabar]]. Di dalam geometri diferensial terdapat konsep-konsep [[:en:Fiber bundle|buntelan serat]] dan kalkulus [[:en:manifold|lipatan]].

| [[Berkas:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg|96px]] || [[Berkas:Sine cosine plot.svg|96px]] || [[Berkas:Hyperbolic triangle.svg|96px]] || [[Berkas:Torus.png|96px]] || [[Berkas:Mandel_zoom_07_satelliteMandel zoom 07 satellite.jpg|96px]]

Memahami dan menjelaskan perubahan adalah tema biasa di dalam [[ilmu pengetahuan alam]], dan [[kalkulus]] telah berkembang sebagai alat yang penuh-daya untuk menyelidikinya. [[Fungsi (matematika)|Fungsi-fungsi]] muncul di sini, sebagai konsep penting untuk menjelaskan besaran yang berubah. Pengkajian kaku tentang [[bilangan real]] dan fungsi-fungsi berperubah real dikenal sebagai [[analisis riil]], dengan [[:en:Complex analysis|analisis kompleks]] lapangan yang setara untuk [[bilangan kompleks]].

[[Hipotesis Riemann]], salah satu masalah terbuka yang paling mendasar di dalam matematika, dilukiskan dari analisis kompleks. [[:en:Functional analysis|Analisis fungsional]] memusatkan perhatian pada [[ruang]] fungsi (biasanya berdimensi tak-hingga). Satu dari banyak terapan analisis fungsional adalah [[mekanika kuantum]].

| [[Berkas:Integral as region under curve.svg|96px]] || [[Berkas:Vector field.svg|96px]] || [[Berkas:Airflow-Obstructed-Duct.png|96px]] || [[Berkas:Limitcycle.jpg|96px]] || [[Berkas:Lorenz attractor.svg|96px]] || [[Berkas:Princ_Argument_C1Princ Argument C1.svg|96px]]

Logika matematika diperhatikan dengan meletakkan matematika pada sebuah kerangka kerja [[sistem aksioma|aksiomatis]] yang kaku, dan mengkaji hasil-hasil kerangka kerja itu. Logika matematika adalah rumah bagi [[Teorema ketaklengkapan Gödel|Teori ketaklengkapan kedua Gödel]], mungkin hasil yang paling dirayakan di dunia logika, yang (secara informal) berakibat bahwa suatu [[:en:formal system|sistem formal]] yang berisi aritmetika dasar, jika ''suara'' (maksudnya semua teorema yang dapat dibuktikan adalah benar), maka ''tak-lengkap'' (maksudnya terdapat teorema sejati yang tidak dapat dibuktikan ''di dalam sistem itu'').

[[Matematika diskret]] adalah nama lazim untuk lapangan matematika yang paling berguna di dalam [[:en:Theoretical computer science|ilmu komputer teoretis]]. Ini menyertakan [[:en:Computability theory (computation)|teori komputabilitas]], [[:en:computational complexity theory|teori kompleksitas komputasional]], dan [[teori informasi]]. Teori komputabilitas memeriksa batasan-batasan berbagai model teoretis komputer, termasuk model yang dikenal paling berdaya - [[Mesin turing]].

[[Matematika terapan]] berkenaan dengan penggunaan alat matematika abstrak guna memecahkan masalah-masalah konkret di dalam [[ilmu pengetahuan]], [[bisnis]], dan wilayah lainnya. Sebuah lapangan penting di dalam matematika terapan adalah [[statistika]], yang menggunakan [[teori peluang]] sebagai alat dan membolehkan penjelasan, analisis, dan peramalan gejala di mana [[probabilitas|peluang]] berperan penting. Sebagian besar percobaan, survey, dan pengkajian pengamatan memerlukan statistika. (Tetapi banyak [[statistikawan]], tidak menganggap mereka sendiri sebagai matematikawan, melainkan sebagai kelompok sekutu.)