Pengguna:Kekavigi/bak pasir: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k ~ |
k ~ Tag: halaman dengan galat skrip VisualEditor |
||
Baris 1:
Setiap [[Ekstensi bidang|submedan]] dari medan terurut juga merupakan medan terurut dalam urutan yang diwariskan. Setiap medan terurut berisi submedan terurut yaitu [[Isomorfisme|isomorfik]] ke [[bilangan rasional]]. [[Kuadrat (aljabar)|Kuadrat]] selalu bukan negatif dalam medan berurutan. Ini berarti bahwa [[bilangan kompleks]] tidak dapat diurut karena kuadrat dari [[unit imajiner]]'' i ''adalah {{num|−1}}. [[medan hingga]] tidak dapat diurutkan.
Secara historis, [[aksiomatisasi]] medan terurut disarikan secara bertahap dari bilangan real, oleh ahli matematika termasuk [[David Hilbert]], [[Otto Hölder]], dan [[Hans Hahn (matematikawan)|Hans Hahn]]. Hal ini akhirnya berkembang menjadi [[Teorema Artin–Schreier|Teori Artin–Schreier]] medan terurut dan [[Secara formal bidang riil|secara formal medan riil]].
{{Short description|Objek aljabar dengan suatu struktur yang terurut}}
Dalam [[matematika]], '''lapangan terurut''' adalah [[Lapangan (matematika)|lapangan]] dengan [[urutan total]] pada elemen-elemennya dan sesuai dengan operasi-operasi pada lapangan tersebut. Contoh sederhana dari lapangan terurut adalah lapangan [[bilangan rasional]] dan [[bilangan riil]], masin-masing dengan pengurutan standar mereka.
Setiap [[Perluasan lapangan|sublapangan]] dari sebarang lapangan terurut juga merupakan suatu lapangan terurut dengan urutan yang sama. Setiap lapangan terurut mengandung suatu sublapangan terurut yang [[Isomorfisme|isomorfik]] ke bilangan rasional. Setiap lapangan terurut [[lengkap-Dedekind]] isomorfik ke bilangan riil. [[Kuadrat (aljabar)|Kuadrat]] harus bernilai non-negatif dalam sebarang lapangan terurut. Hal ini mengartikan [[bilangan kompleks]] tidak dapat diurutkan, karena kuadrat dari [[unit imajiner]] <math>i</math> adalah <math display="inline">-1</math> (yang bersifat negatif dalam sebarang lapangan terurut). [[Lapangan hingga]] tidak dapat diurutkan.
Dari aspek sejarah, [[Sistem aksioma|aksiomatisasi]] lapangan terurut adalah proses abstraksi yang perlahan dari sistem bilangan riil, oleh para matematikawan yang meliputi [[David Hilbert]], [[Otto Hölder]], dan [[Hans Hahn (matematikawan)|Hans Hahn]]. Upaya ini akhirnya berkembang menjadi [[teorema Artin–Schreier]] untuk lapangan terurut dan lapangan riil formal.
== Definisi ==
Ada dua definisi umum yang saling setara untuk lapangan terurut. Definisi menggunakan ''urutan total'' muncul pertama kali dalam sejarah, dan merupakan aksiomatisasi [[Logika predikat tingkat pertama|tingkat-pertama]] dari urutan <math display="inline">\leq</math> sebagai [[Relasi biner|predikat biner]]. Artin dan Schereier memberikan definisi menggunakan ''kerucut positif'' di tahun 1926, yang mengaksiomatisasi subkoleksi dari elemen-elemen non-negatif.
=== Urutan total ===
Sebarang [[Lapangan (matematika)|lapangan]] <math display="inline">(F, +, \cdot\,)</math> dengan suatu urutan total <math display="inline"> \leq </math> pada <math display="inline">F</math> disebut sebagai ''lapangan terurut'' jika pengurutan yang digunakan memenuhi sifat-sifat berikut untuk sebarang <math display="inline">a, b, c \in F:</math>
* Jika <math display="inline">a \leq b</math> maka <math display="inline">a + c \leq b + c,</math> dan
* Jika <math display="inline">0 \leq a </math> dan <math display="inline">0 \leq b</math> maka <math display="inline">0 \leq a \cdot b. </math>
Seperti biasa, notasi <math display="inline">a < b</math> digunakan untuk merujuk <math display="inline">a\le b </math> dan <math display="inline">a\ne b</math>. Notasi <math>b\ge a</math> dan <math>b> a</math> masing-masing mengartikan <math>a\le b</math> dan <math>a<b</math>. Elemen-elemen <math>a\in F</math> dengan <math>a>0</math> disebut positif.
=== Kerucut positif ===
''Kerucut prepositif'' atau ''pra-pengurutan'' dari sebarang lapangan <math display="inline">F</math> adalah suatu [[subset]] <math display="inline">P \subseteq F</math> yang memenuhi sifat-sifat berikut:<ref name="Lam289">Lam (2005) p. 289</ref>
* Untuk <math>x</math> dan <math>y</math> di <math>P,</math> elemen <math>x + y</math> dan <math>x \cdot y</math> berada di <math>P.</math>
* Jika <math>x \in F,</math> maka <math>x^2 \in P.</math> Secara khusus, <math>0 = 0^2 \in P</math> dan <math>1 = 1^2 \in P.</math>
* Elemen <math>- 1</math> tidak ada di <math>P.</math>
Suatu ''lapangan pra-terurut'' adalah lapangan yang dilengkapi dengan suatu pra-pengurutan <math>P.</math> Elemen-elemen tak-nol <math>P^*</math> membentuk suatu [[subgrup]] dari grup multiplikatif dari <math>F.</math> Jika, sebagai tambahan, himpunan <math display="inline">F</math> adalah gabungan dari <math>P</math> dan <math>- P,</math> subset <math>P</math> disebut sebagai suatu ''kerucut positif'' dari <math>F.</math> The no
If in addition, the set <math>F</math> is the union of <math>P</math> and <math>- P,</math> we call <math>P</math> a '''positive cone''' of <math>F.</math> The non-zero elements of <math>P</math> are called the '''positive''' elements of <math>F.</math>
An ordered field is a field <math>F</math> together with a positive cone <math>P.</math>
The preorderings on <math>F</math> are precisely the intersections of families of positive cones on <math>F.</math> The positive cones are the maximal preorderings.<ref name="Lam289" />
=== Equivalence of the two definitions ===
Let <math>F</math> be a field. There is a bijection between the field orderings of <math>F</math> and the positive cones of <math>F.</math>
Given a field ordering ≤ as in the first definition, the set of elements such that <math>x \geq 0</math> forms a positive cone of <math>F.</math> Conversely, given a positive cone <math>P</math> of <math>F</math> as in the second definition, one can associate a total ordering <math>\leq_P</math> on <math>F</math> by setting <math>x \leq_P y</math> to mean <math>y - x \in P.</math> This total ordering <math>\leq_P</math> satisfies the properties of the first definition.
== Contoh ==
Contoh medan terurut adalah:
* [[bilangan rasional]]
* [[bilangan real]]
* submedan apa pun dari medan terurut, seperti [[bilangan aljabar]] atau [[bilangan terhitungkan]] real
* medan [[fungsi rasional]] nyata <math>\frac {p(x)} {q(x)}\,</math>, dimana <math>p(x)</math> dan <math>q(x)</math> adalah [[polinomial]] dengan koefisien nyata, <math>q(x) \ne 0\,</math>, dapat dibuat menjadi sebuah field berurutan dimana polinomial <math>p(x)=x</math> lebih besar dari polinomial tetapan, dengan mendefinisikan <math>\frac {p(x)} {q(x)} > 0\,</math> maka <math>\frac {p_0} {q_0} > 0\,</math>, pada <math>p(x) = p_0\sdot x^n + \cdots</math> dan <math>q(x) = q_0\sdot x^m + \cdots\,</math>. medan terurut ini bukan [[Medan Archimedes|Archimedes]].
* medan <math>\mathbb{R}((x))</math> dari [[Deret pangkat formal|deret Laurent formal]] dengan koefisien real, di mana ''x ''dianggap sangat kecil dan positif
* [[transderet]]
* [[medan tertutup riil]]
* [[bilangan superriil]]
* [[bilangan hiperiil]]
[[Bilangan surreal]] membentuk [[Kelas (teori himpunan)|kelas yang tepat]] daripada [[Himpunan (matematika)|himpunan]], tetapi sebaliknya mematuhi aksioma dari medan terurut. Setiap medan yang diurut dapat disematkan ke dalam bilangan surreal.
== Sifat medan terurut ==
[[Berkas:Invariance_of_less-than-relation_by_multiplication_with_positive_number.svg|jmpl|Sifat <math>a > 0 \land x < y \Rightarrow ax < ay</math>]]
[[Berkas:Translation_invariance_of_less-than-relation.svg|jmpl|Sifat <math>x < y \Rightarrow a+x < a+y</math>]]
Untuk setiap <math>a,b,c,d</math>di<math>F</math>:
* Antara −''a'' ≤ 0 ≤ ''a'' atau ''a'' ≤ 0 ≤ −''a''.
* Salah satu dapat "menambahkan pertidaksamaan": jika <math>a \le b</math> dan <math>c \le d</math>, maka <math>a + c \le b + d</math>.
* Salah satu dapat "mengalikan pertidaksamaan dengan elemen positif": jika <math>a \le b</math> dan <math>0 \le c</math>, maka <math>ac \le bc</math>.
* [[Sifat transitif|Transitivitas]] dari pertidaksamaan: jika <math>a < b</math> dan <math>b < c</math>, maka <math>a < c</math>.
* Jika <math>a < b</math> dan <math>a, b > 0</math>, maka <math>\frac 1 b < \frac 1 a</math>.
* Medan terurut memiliki [[Karakteristik (aljabar)|karakteristik]] 0. (Karena 1> 0, maka <math>1 + 1 > 0</math>, dan <math>1 + 1 + 1 > 0</math>, dll. Jika medan memiliki karakteristik '' p ''> 0, maka −1 akan menjadi jumlah dari <math>p - 1</math>satuan, tetapi <math>-1</math> tidak positif.) Khususnya, medan hingga tidak dapat diurut.
* Bilangan kuadrat tidak negatif: <math>0 \le a^2</math> untuk semua <math>a</math> di <math>F</math>.
* {{anchor|nontrivial Square Sum}}Setiap jumlah taktrivial dari kuadrat adalah bukan nol. Setara: <math>\sum_{k=1}^n a_k^2 = 0 \; \Longrightarrow \; \forall k \; \colon a_k = 0 .</math><ref name="Lam41">Lam (2005) hlm. 41</ref><ref name="Lam232">Lam (2005) hlm. 232</ref>
Setiap submedan dari medan terurut juga merupakan medan terurut (mewarisi pengurutan yang diinduksi). Submedan terkecil adalah [[Isomorfisme|isomorfik]] ke [[Bilangan rasional|rasional]] (seperti untuk medan lain dengan karakteristik 0), dan urutan pada submedan rasional ini sama dengan urutan rasional itu sendiri. Jika setiap elemen medan terurut terletak di antara dua elemen submedan rasionalnya, maka medan tersebut dikatakan sebagai ''[[Sifat Archimedes|Archimedes]]'' . Jika tidak, medan tersebut adalah [[medan terurut takArchimedes]] dan berisi [[Infinitesimal]]. Misalnya, [[bilangan real]] membentuk medan Archimedes, tetapi [[bilangan hiperreal]] membentuk medan takArchimedes, karena [[Ekstensi bidang|meluas]] bilangan riil dengan elemen lebih besar.<ref name="BairHenry">{{cite web|author1=Bair, Jaques|author2=Henry, Valérie|title=Implicit differentiation with microscopes|url=http://orbi.ulg.ac.be/bitstream/2268/13591/1/ImplicitDiff.pdf|publisher=[[University of Liege]]|access-date=2013-05-04}}</ref>
medan terurut <math>F</math> isomorfik dengan medan bilangan real <math>\R</math> jika setiap himpunan bagian yang tidak kosong dari <math>F</math> dengan batas atas di <math>F</math> memiliki [[Infimum dan supremum|batas atas terkecil]] di ''<math>F</math> ''.
=== Ruang vektor atas medan terurut ===
[[Ruang vektor]] (khususnya, [[Contoh ruang vektor#Ruang koordinat|ruang-n]]) atas medan terurut menunjukkan beberapa sifat khusus dan memiliki beberapa struktur khusus, yaitu: [[Orientasi (ruang vektor)|orientasi]], [[Analisis cembung|konveksitas]], dan [[Ruang produk dalam|darab dalam tentu positif]]. Lihat [[Ruang koordinat riil#Sifat dan penggunaan geometris]] untuk diskusi tentang sifat tersebut '''R'''<sup>''n''</sup>, yang dapat dirampatkan ke ruang vektor atas medan terurut lainnya.
== Medan mana yang bisa diurutkan? ==
Setiap medan yang diurutkan adalah [[Bidang riil secara formal|medan riil secara formal]], yaitu, 0 tidak dapat ditulis sebagai jumlah dari kuadrat bukan nol.<ref name="Lam41" /><ref name="Lam232" />
Sebaliknya, setiap medan yang secara formal nyata dapat dilengkapi dengan tatanan total yang serasi, yang akan mengubahnya menjadi medan yang teratur. (Urutan ini tidak perlu ditentukan secara unik). Buktinya menggunakan [[Lemma Zorn]].<ref name="Lam236">Lam (2005) hlm. 236</ref>
[[Bidang hingga|medan hingga]] dan yang lebih umum medan positif [[Karakteristik (aljabar)|karakteristik]] tidak dapat diubah menjadi medan terurut, karena pada karakteristik ''p'', elemen −1 dapat ditulis sebagai penjumlahan dari (''p '' - 1) menguadratkan 1<sup>2</sup>. [[Bilangan kompleks]] juga tidak dapat diubah menjadi medan terurut, karena −1 adalah kuadrat (dari bilangan imajiner '' i '') dan karenanya akan menjadi positif. Selain itu, [[nomor p-adic]] tidak dapat diurut, karena menurut [[Lemma Hensel#Contoh|Lemma Hensel]] '''Q'''<sub>2</sub> mengandung akar kuadrat dari −7, jadi 1<sup>2</sup>+1<sup>2</sup>+1<sup>2</sup>+2<sup>2</sup>+({{radic|−7}})<sup>2</sup>=0, dan '''Q'''<sub>''p''</sub> (''p'' > 2) mengandung akar kuadrat dari 1 - '' p '', jadi (''p''−1)⋅1<sup>2</sup>+({{radic|1−''p''}})<sup>2</sup>=0.
== Topologi diinduksi oleh urutan ==
Jika <math>F</math> dilengkapi dengan [[topologi tatanan]] yang muncul dari tatanan total ≤, maka aksioma menjamin bahwa operasi + dan × adalah [[Fungsi kontinu (topologi)|kontinu]], sehingga <math>F</math> adalah [[medan topologi]].
== Topologi Harrison ==
'''Topologi Harrison''' adalah topologi pada himpunan urutan ''X<sub>F</sub>'' dari medan formal yang nyata '' F ''. Setiap urutan dapat dianggap sebagai homomorfisme kelompok perkalian dari ''F''<sup>∗</sup> ke ± 1. Memberikan ± 1 [[topologi diskret]] dan ±1<sup>''F''</sup> [[topologi produk]] menginduksi [[topologi subruang]] ''X<sub>F</sub>''. '''Himpunan Harrison''' <math>H(a) = \{ P \in X_F : a \in P \}</math> membentuk [[subbasis]] untuk topologi Harrison. Produknya adalah [[Ruang Boole]] ([[Ruang kompak|padat]], [[Ruang Hausdorff|Hausdorff]] dan [[Ruang terputus total|terputus]]), dan ''X<sub>F</sub>'' adalah himpunan bagian tertutup Boolean.<ref name="Lam271">Lam (2005) p. 271</ref><ref name="L8312">Lam (1983) pp. 1–2</ref>
== Lihat pula ==
* [[Gelanggang terurut]]
* [[Ruang vektor terurut]]
* [[Medan praurutan]]
== Catatan ==
<references responsive="1"></references>
== Referensi ==
* {{citation|last=Lam|first=T. Y.|author-link=Tsit Yuen Lam|title=Orderings, valuations and quadratic forms|series=CBMS Regional Conference Series in Mathematics|volume=52|publisher=[[American Mathematical Society]]|year=1983|isbn=0-8218-0702-1|zbl=0516.12001|url-access=registration|url=https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt}}
* {{cite book|last=Lam|first=Tsit-Yuen|year=2005|title=Introduction to Quadratic Forms over Fields|publisher=American Mathematical Society|isbn=0-8218-1095-2|series=[[Graduate Studies in Mathematics]]|volume=67|zbl=1068.11023|author-link=Tsit Yuen Lam}}
* {{Lang Algebra|edition=3}}
== Examples of ordered fields ==
Examples of ordered fields are:
* the field <math>\Q</math> of [[Rational number|rational numbers]] with its standard ordering (which is also its only ordering);
* the field <math>\R</math> of [[Real number|real numbers]] with its standard ordering (which is also its only ordering);
* any subfield of an ordered field, such as the real [[algebraic numbers]] or the [[Computable number|computable numbers]], becomes an ordered field by restricting the ordering to the subfield;
* the field <math>\mathbb{Q}(x)</math> of [[rational functions]] <math>p(x)/q(x)</math>, where <math>p(x)</math> and <math>q(x)</math> are [[Polynomial|polynomials]] with rational coefficients and <math>q(x) \ne 0</math>, can be made into an ordered field by fixing a real [[transcendental number]] <math>\alpha</math> and defining <math>p(x)/q(x) > 0</math> if and only if <math>p(\alpha)/q(\alpha) > 0</math>. This is equivalent to embedding <math>\mathbb{Q}(x)</math> into <math>\mathbb{R}</math> via <math>x\mapsto \alpha</math> and restricting the ordering of <math>\mathbb{R}</math> to an ordering of the image of <math>\mathbb{Q}(x)</math>. In this fashion, we get many different orderings of <math>\mathbb{Q}(x)</math>.
* the field <math>\mathbb{R}(x)</math> of [[rational functions]] <math>p(x)/q(x)</math>, where <math>p(x)</math> and <math>q(x)</math> are [[Polynomial|polynomials]] with real coefficients and <math>q(x) \ne 0</math>, can be made into an ordered field by defining <math>p(x)/q(x) > 0</math> to mean that <math>p_n/q_m > 0</math>, where <math>p_n \neq 0</math> and <math>q_m \neq 0</math> are the leading coefficients of <math>p(x) = p_n x^n + \dots + p_0</math> and <math>q(x) = q_m x^m + \dots + q_0</math>, respectively. Equivalently: for rational functions <math>f(x), g(x)\in \mathbb{R}(x)</math> we have <math>f(x) < g(x)</math> if and only if <math>f(t) < g(t)</math> for all sufficiently large <math>t\in\mathbb{R}</math>. In this ordered field the polynomial <math>p(x)=x</math> is greater than any constant polynomial and the ordered field is not [[Archimedean field|Archimedean]].
* The field <math>\mathbb{R}((x))</math> of [[Formal power series|formal Laurent series]] with real coefficients, where ''x'' is taken to be infinitesimal and positive
* the [[transseries]]
* [[Real closed field|real closed fields]]
* the [[Superreal number|superreal numbers]]
* the [[Hyperreal number|hyperreal numbers]]
The [[surreal numbers]] form a [[Class (set theory)|proper class]] rather than a [[Set (mathematics)|set]], but otherwise obey the axioms of an ordered field. Every ordered field can be embedded into the surreal numbers.
== Properties of ordered fields ==
[[Berkas:Invariance_of_less-than-relation_by_multiplication_with_positive_number.svg|jmpl|The property <math>a > 0 \land x < y \Rightarrow ax < ay</math>]]
[[Berkas:Translation_invariance_of_less-than-relation.svg|jmpl|The property <math>x < y \Rightarrow a+x < a+y</math>]]
For every ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' in ''F'':
* Either −''a'' ≤ 0 ≤ ''a'' or ''a'' ≤ 0 ≤ −''a''.
* One can "add inequalities": if ''a'' ≤ ''b'' and ''c'' ≤ ''d'', then ''a'' + ''c'' ≤ ''b'' + ''d''.
* One can "multiply inequalities with positive elements": if ''a'' ≤ ''b'' and 0 ≤ ''c'', then ''ac'' ≤ ''bc''.
* "Multiplying with negatives flips an inequality": if ''a'' ≤ ''b'' and c ≤ 0, then ''ac'' ≥ ''bc''.
* If ''a'' < ''b'' and ''a'', ''b'' > 0, then 1/''b'' < 1/''a''.
* Squares are non-negative: 0 ≤ ''a''<sup>2</sup> for all ''a'' in ''F''. In particular, since 1=1<sup>2</sup>, it follows that 0 ≤ 1. Since 0 ≠ 1, we conclude 0 < 1.
* An ordered field has [[Characteristic (algebra)|characteristic]] 0. (Since 1 > 0, then 1 + 1 > 0, and 1 + 1 + 1 > 0, etc., and no finite sum of ones can equal zero.) In particular, finite fields cannot be ordered.
* {{anchor|nontrivialSquareSum}}Every non-trivial sum of squares is nonzero. Equivalently: <math>\textstyle \sum_{k=1}^n a_k^2 = 0 \; \Longrightarrow \; \forall k \; \colon a_k = 0 .</math><ref name="Lam412">Lam (2005) p. 41</ref><ref name="Lam2322">Lam (2005) p. 232</ref>
Every subfield of an ordered field is also an ordered field (inheriting the induced ordering). The smallest subfield is [[Isomorphism|isomorphic]] to the [[Rational number|rationals]] (as for any other field of characteristic 0), and the order on this rational subfield is the same as the order of the rationals themselves.
If every element of an ordered field lies between two elements of its rational subfield, then the field is said to be ''[[Archimedean property|Archimedean]]''. Otherwise, such field is a [[non-Archimedean ordered field]] and contains [[Infinitesimal|infinitesimals]]. For example, the [[Real number|real numbers]] form an Archimedean field, but [[hyperreal numbers]] form a non-Archimedean field, because it [[Field extension|extends]] real numbers with elements greater than any standard [[natural number]].<ref name="BairHenry2">{{cite web|author1=Bair, Jaques|author2=Henry, Valérie|title=Implicit differentiation with microscopes|url=http://orbi.ulg.ac.be/bitstream/2268/13591/1/ImplicitDiff.pdf|publisher=[[University of Liège]]|access-date=2013-05-04}}</ref>
An ordered field ''F'' is isomorphic to the real number field '''R''' if and only if every non-empty subset of ''F'' with an upper bound in ''F'' has a [[least upper bound]] in ''F''. This property implies that the field is Archimedean.
=== Vector spaces over an ordered field ===
[[Vector space|Vector spaces]] (particularly, [[Examples of vector spaces#Coordinate space|''n''-spaces]]) over an ordered field exhibit some special properties and have some specific structures, namely: [[Orientation (vector space)|orientation]], [[Convex analysis|convexity]], and [[Inner product space|positively-definite inner product]]. See [[Real coordinate space#Geometric properties and uses]] for discussion of those properties of '''R'''<sup>''n''</sup>, which can be generalized to vector spaces over other ordered fields.
== Orderability of fields ==
Every ordered field is a [[formally real field]], i.e., 0 cannot be written as a sum of nonzero squares.<ref name="Lam412" /><ref name="Lam2322" />
Conversely, every formally real field can be equipped with a compatible total order, that will turn it into an ordered field. (This order need not be uniquely determined.) The proof uses [[Zorn's lemma]].<ref name="Lam2362">Lam (2005) p. 236</ref>
[[Finite field|Finite fields]] and more generally fields of positive [[Characteristic (algebra)|characteristic]] cannot be turned into ordered fields, as shown above. The [[Complex number|complex numbers]] also cannot be turned into an ordered field, as −1 is a square of the imaginary unit ''i''. Also, the [[P-adic numbers|''p''-adic numbers]] cannot be ordered, since according to [[Hensel's lemma#Examples|Hensel's lemma]] '''Q'''<sub>2</sub> contains a square root of −7, thus 1<sup>2</sup> + 1<sup>2</sup> + 1<sup>2</sup> + 2<sup>2</sup> + {{radic|−7}})<sup>2</sup> = 0, and '''Q'''<sub>''p''</sub> (''p'' > 2) contains a square root of 1 − ''p'', thus (''p'' − 1)⋅1<sup>2</sup> + ({{radic|1 − ''p''}})<sup>2</sup> = 0.<ref>The squares of the square roots {{radic|−7}} and {{radic|1 − ''p''}} are in '''Q''', but are < 0, so that these roots cannot be in '''Q''' which means that their {{nowrap|''p''-adic}} expansions are not periodic.</ref>
== Topology induced by the order ==
If ''F'' is equipped with the [[order topology]] arising from the total order ≤, then the axioms guarantee that the operations + and × are [[Continuous function (topology)|continuous]], so that ''F'' is a [[topological field]].
== Harrison topology ==
The '''Harrison topology''' is a topology on the set of orderings ''X<sub>F</sub>'' of a formally real field ''F''. Each order can be regarded as a multiplicative group homomorphism from ''F''<sup>∗</sup> onto ±1. Giving ±1 the [[discrete topology]] and ±1<sup>''F''</sup> the [[product topology]] induces the [[subspace topology]] on ''X<sub>F</sub>''. The '''Harrison sets''' <math>H(a) = \{ P \in X_F : a \in P \}</math> form a [[subbasis]] for the Harrison topology. The product is a [[Boolean space]] ([[Compact space|compact]], [[Hausdorff space|Hausdorff]] and [[Totally disconnected space|totally disconnected]]), and ''X<sub>F</sub>'' is a closed subset, hence again Boolean.<ref name="Lam2712">Lam (2005) p. 271</ref><ref name="L83122">Lam (1983) pp. 1–2</ref>
== Fans and superordered fields ==
A '''fan''' on ''F'' is a preordering ''T'' with the property that if ''S'' is a subgroup of index 2 in ''F''<sup>∗</sup> containing ''T'' − {0} and not containing −1 then ''S'' is an ordering (that is, ''S'' is closed under addition).<ref name="L8339">Lam (1983) p. 39</ref> A '''superordered field''' is a totally real field in which the set of sums of squares forms a fan.<ref name="L8345">Lam (1983) p. 45</ref>
== See also ==
* {{annotated link|Linearly ordered group}}
* {{annotated link|Ordered group}}
* {{annotated link|Ordered ring}}
* {{annotated link|Ordered topological vector space}}
* {{annotated link|Ordered vector space}}
* {{annotated link|Partially ordered ring}}
* {{annotated link|Partially ordered space}}
* {{annotated link|Preorder field}}
* {{annotated link|Riesz space}}
== Notes ==
{{reflist}}
== References ==
* {{citation|last=Lam|first=T. Y.|author-link=Tsit Yuen Lam|title=Orderings, valuations and quadratic forms|series=CBMS Regional Conference Series in Mathematics|volume=52|publisher=[[American Mathematical Society]]|year=1983|isbn=0-8218-0702-1|zbl=0516.12001|url-access=registration|url=https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt}}
* {{cite book|last=Lam|first=Tsit-Yuen|year=2005|title=Introduction to Quadratic Forms over Fields|publisher=American Mathematical Society|isbn=0-8218-1095-2|series=[[Graduate Studies in Mathematics]]|volume=67|zbl=1068.11023|author-link=Tsit Yuen Lam}}
* {{Lang Algebra|edition=3}}
{{Order theory}}
----
----{{short description|Gambar invers nol di bawah homomorfisme}}
Dalam [[aljabar]], '''kernel''' dari [[homomorfisme]] (fungsi yang mempertahankan [[Struktur aljabar|struktur]]) umumnya [[gambar invers]] dari 0 (kecuali untuk [[Grup (matematika)|grup]] yang operasinya dilambangkan dengan multi, dimana kernel adalah kebalikan dari gambar 1). Kasus khusus yang penting adalah [[Kernel (aljabar linear)|kernel dari peta linear]]. [[Kernel (matriks)|kernel dari matriks]], juga disebut ''ruang nol'', adalah kernel dari peta linear yang ditentukan oleh matriks.
| |||