Segi lima: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Luckas-bot (bicara | kontrib) k r2.7.1) (bot Menambah: ta:ஐங்கோணம் |
Hadithfajri (bicara | kontrib) |
||
| (44 revisi perantara oleh 20 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
| name = Segi lima
| image = Regular_polygon_5 annotated.svg
| caption = Sebuah segi lima sama beraturan
| type = [[Poligon reguler]]
| euler =
| edges = 5
| schläfli = {5} Untuk segi lima reguler
| wythoff =
| coxeter = [[Berkas:CDW_ring.png]][[Berkas:CDW_5.png]][[Berkas:CDW_dot.png]]
| symmetry = [[Grup dihedral|Dihedral]] (D<sub>5</sub>)
| area = Berbagai metode [[#Luas segi lima cembung#Rumus trigonometri#Rumus non-trigonometri|Lihat pula]]
| angle = 108°
| dual =
| properties = [[Poligon cembung|Cembung (konveks)]]
}}
Dalam [[geometri]], '''segi lima''' ({{Lang-en|pentagon}}) adalah [[poligon]] apapun yang bersisi lima. Meskipun begitu, istilah ini sering digunakan untuk merujuk kepada '''segi lima beraturan''', di mana semua sisinya memiliki panjang yang sama dan seluruh sudutnya sama besar (108°). Segi lima terbagi menjadi dua jenis, ''sederhana'' dan ''memotong-diri-sendiri'' (''self-intersecting''). Segi lima reguler jenis kedua terjadi ketika ada dua sisi poligon yang saling berpotongan. Bangun segi lima reguler memotong-diri-sendiri disebut [[pentagram]].
== Segi lima beraturan ==
Sebuah ''segi lima beraturan'' atau ''pentagon beraturan'' ({{Lang-en|regular pentagon}}) adalah bentuk khusus dari segi lima sama sisi. Segi lima ini memiliki [[simbol Schläfli]] {5} dan sudut interior sebesar 108°. Segi lima beraturan memiliki lima simetri pencerminan, dan simetri rotasi orde 5 (dengan sudut rotasi 72°, 144°, 216° dan 288°).
Segi lima beraturan memiliki lima sisi diagonal (yakni sisi yang menghubungkan dua titik sudut yang tidak saling bersebelahan). Perbandingan panjang sisi segi lima terhadap panjang sisi diagonal ini sama dengan [[rasio emas]]. Sedangkan panjang sisi tinggi (yakni jarak dari satu titik sudut ke sisi yang berlawanan) dan sisi lebar (jarak antara dua titik terpisah terjauh; sama dengan panjang sisi diagonal) dapat dihitung lewat persamaan<math display="block">\begin{align}
\text{Tinggi} &= \frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2} \cdot s \approx 1.539s, \\
\text{Lebar}=
\text{Diagonal} &= \frac{1 + \sqrt5}{2} \cdot s\approx 1.618s, \\
\text{Lebar} &= \sqrt{2-\frac{2}{\sqrt{5}}} \cdot \text{Tinggi}\approx 1.051 \cdot \text{Tinggi}
\end{align}</math>dengan <math>s</math> adalah panjang sisi segi lima dan <math>R</math> adalah [[jari-jari]] [[lingkaran luar]] dari segi lima. Luas dari segi lima beraturan dapat ditemukan dengan menggunakan persamaan<math display="block">A = \frac{{s^2 \sqrt {25 + 10\sqrt 5} }}{4} = \frac{5s^2 \tan(54^\circ)}{4} = \frac{\sqrt{5(5 + 2\sqrt{5})} \;s^2}{4} \approx 1.720 s^2.</math>Jika segi lima beraturan dibatasi oleh lingkaran luar dengan jari-jari <math>R</math>, panjang sisi dan panjang diagonalnya memenuhi persamaan<math display="block">\begin{align}
s &= R\ {\sqrt { \frac {5-\sqrt{5}}{2}} } = 2R\sin 36^\circ = 2R\sin\frac{\pi}{5} \approx 1.176 R,\\
\text{Diagonal} &= R\ {\sqrt { \frac {5 + \sqrt{5}}{2}} } = 2R\cos 18^\circ = 2R\cos\frac{\pi}{10} \approx 1.902 R
\end{align}</math>dan luasnya dapat ditentukan dengan<math display="block">A=\frac{5R^2}{4}\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}.</math>Karena luas lingkaran luar adalah <math>\pi R^2</math>, persamaan luas segi lima beraturan tersebut mengartikan segi lima beraturan mengisi kurang lebih 75.68% luas lingkaran luar.
=== Penurunan rumus luas ===
Luas dari sembarang poligon beraturan adalah:<math display="block">A = \frac{1}{2}Pr</math>dengan <math>P</math> menyatakan keliling (''perimeter'') dari poligon dan <math>r</math> adalah jari-jari [[lingkaran dalam]] dari poligon tersebut. Dengan mensubtitusi nilai <math>P</math> dan <math>r</math> dari segi lima, akan didapatkan persamaan
: <math>A = \frac{1}{2} \cdot 5s \cdot \frac{s\tan\mathord\left(\frac{3 \pi}{10}\right)}{2} = \frac{5s^2\tan\mathord\left(\frac{3 \pi}{10}\right)}{4}</math>
dengan <math>s</math> menyatakan panjang sisi dari segi lima beraturan.
=== Jari-jari dalam (''inradius'') ===
Seperti sembarang [[poligon cembung]] beraturan yang lain, segi lima cembung beraturan memiliki [[lingkaran dalam]]. Panjgan [[jari-jari]] <math>r</math> dari lingkaran dalam dapat dihubungkan dengan panjang sisi <math>s</math> dari segi lima beraturan lewat persamaan
:<math>r=\frac{s}{2\tan ( \pi /5)}=\frac{s}{2\sqrt{5-\sqrt{20}}}\approx 0.6882 \cdot t.</math>
=== Konstruksi geometris ===
Segi lima beraturan dapat dibangun (dikontruksi, dibuat) [[Lukisan jangka dan mistar|dengan menggunakan jangka dan penggaris]]. Hal ini adalah akibat dari [[Bilangan prima Fermat|teorema Gauss-Wantzel]] dan fakta 5 merupakan [[bilangan prima Fermat]]. Ada banyak metode yang dikenal untuk membangun pentagon biasa. Beberapa metode tersebut dibahas di bawah ini.
==== Metode Richmond ====
[[Berkas:Richmond pentagon 1.PNG|jmpl|Gambar 1]]Salah satu metode untuk membangun segi lima beraturan (dengan titik-titik sudut) terletak pada suatu lingkaran adalah metode yang dijelaskan oleh Richmond<ref name="Richmond">{{cite web|author=Herbert W Richmond|year=1893|title=Pentagon|url=http://mathworld.wolfram.com/Pentagon.html}}</ref>. Metode ini dibahas lebih lanjut dalam [[Polyhedra (buku)|buku Polyhedra]] oleh Cromwell.<ref>{{cite book|author=Peter R. Cromwell|date=22 July 1999|title=Polyhedra|title-link=Polyhedra (book)|isbn=0-521-66405-5|at=[https://books.google.com/books?id=OJowej1QWpoC&pg=PA63 p. 63]}}</ref>
Gambar 1 menunjukkan konstruksi yang digunakan dalam metode Richmond untuk membuat sebuah sisi segi lima. Kedua sudut dari sisi ini berada pada sebuah lingkaran dengan jari-jari sebesar 1. Titik pusat dari lingkaran ini ditandai dengan huruf <math>\mathsf{C}</math>, sedangkan titik <math>\mathsf{M}</math> adalah titik tengah dari jari-jari lingkaran. garis <math>\mathsf{CM}</math> tegak lurus dengan titik <math>\mathsf{CD}</math>. Tahapan pertama metode ini adalah membagi sudut <math>\angle \textsf{CMD}</math> sama besar, dan garis yang membagi sudut ini akan memotong garis <math>\mathsf{CM}</math> di titik <math>\mathsf{Q}</math>. Selanjutnya sebuah garis yang melalui titik <math>\mathsf{Q}</math> dan sejajar garis <math>\mathsf{CM}</math> dibentuk; garis ini akan memotong lingkaran di titik <math>\mathsf P</math>. Segmen garis <math>\mathsf {DP}</math> adalah sisi segi lima yang dihasilkan metode ini.
Untuk menentukan panjang dari sisi ini, dua segitiga siku-siku <math>\triangle \mathsf{DCM}</math> dan <math>\triangle \mathsf{QCM}</math> digambarkan di bawah gambar lingkaran konstruksi. Menggunakan [[teorema Pythagoras]], panjang hipotenusa (sisi miring) dari <math>\triangle \mathsf{DCM}</math> adalah <math>\sqrt{5}/2</math>. Panjang sisi <math>h</math> dari <math>\triangle \mathsf{QCM}</math> dapat ditentukan dengan menggunakan rumus setengah sudut:
:<math>\tan ( \phi/2) = \frac{1-\cos(\phi)}{\sin (\phi)}.</math>
Dengan mensubtitusi nilai sinus dan kosinus dari sudut <math>\phi</math>, yang nilainya diketahui dari <math>\triangle \mathsf{DCM}</math>, didapatkan
:<math>h = \frac{\sqrt 5 - 1}{4} \ .</math>
Jika <math>\mathsf {DP}</math> memang merupakan sisi dari segi lima beraturan, haruslah <math>\angle \mathsf{CDP} = 54^\circ</math>. Menggabungkan <math>\mathsf {DP}=2\cos(54^\circ)</math> dan <math>\mathsf{DQ} = \mathsf{DP}\cos(54^\circ)</math>, didapatkan <math>\mathsf{DQ} = 2\cos^2(54^\circ)</math> dan <math display="block">\mathsf{CQ} = 1-2\cos^2(54^\circ) = -\cos(108^\circ) = \cos(72^\circ).</math>Hal ini mengartikan <math>\angle \textsf{QCP}= \angle \textsf{DCP} = 72^\circ</math>, yang berlaku pada segi lima beraturan.
== Segi lima sama sisi ==
[[Berkas:Equilateral pentagon.SVG|al=Segi lima sama sisi yang dikonstruksi dengan menggunakan empat lingkaran.|jmpl|Segi lima sama sisi yang dikonstruksi dengan menggunakan empat lingkaran.]]
''Segi lima sama sisi'' adalah sebuah [[poligon]] dengan lima sisi yang sama panjang. Tetapi, besar sudut-sudut dalam dari poligon ini dapat bermacam-macam. Hal ini berbeda dengan segi lima beraturan yang semua sudutnya memiliki besar yang sama.
== Segi lima dalam pengubinan ==
[[Berkas:2-d_pentagon_packing_dual.svg|ka|jmpl|Peubinan terbaik yang diketahui dari segi lima beraturan pada bidang, adalah sebuah struktur kisi ganda yang menutupi 92.131% permukaan bidan.]]
Segi lima beraturan tidak dapat diletakkan pada semua jenis pengubinan poligon-poligon beraturan.
== Contoh segi lima di alam ==
=== Tumbuhan ===
<gallery>
Berkas:BhindiCutUp.jpg|Penampang melintang [[okra]].
Berkas:Morning Glory Flower.jpg|[[Morning glory]], seperti banyak bunga lainnya, memiliki bentuk pentagonal.
Berkas:Sterappel dwarsdrsn.jpg|Biji dari buah [[apel]] tersusun dalam bentuk bintang lima sudut
Berkas:Carambola Starfruit.jpg|[[Belimbing]] adalah buah lain yang memiliki 5 simetri.
</gallery>
=== Hewan ===
<gallery>
Berkas:Oreaster reticulatus201905mx.jpg|[[Bintang laut]], seperti banyak [[echinoderms|echinodermata]] lainnya, memiliki 5 simetri radial
Berkas:Sea Urchin Endoskeleton.jpg|Endoskeleton dari [[teripang]].
</gallery>
== Lihat juga ==
* [[Poligon]]
== Referensi ==
<references />
{{Poligon}}
[[Kategori:Poligon]]
| |||