Segi lima

Dalam geometri, pentagon atau segi lima adalah poligon apapun yang bersisi lima. Meskipun begitu, istilah ini sering digunakan untuk merujuk kepada segi lima sama sisi, di mana semua sisinya memiliki panjang yang sama dan seluruh sudutnya sama besar (108°).

Pentagon sama sisi

Segi lima biasa

Segilima beraturan
Sebuah segitiga biasa
Sisi dan titik pojok	{{{p5-sisi}}}
Simbol Schläfli	{5}
Diagram Coxeter–Dynkin
Grup simetri	Dihedral (D5), order 2×{{{p5-sisi}}}
Sudut dalam (derajat)	{{{p5-sudut}}}°
Sifat	Convex, cyclic, equilateral, isogonal, isotoxal

Sisi($t$), jari jari lingkaran ($R$), jari jari lingkaran tertulis ($r$), tinggi ($R+r$), lebar/diagonal ($\varphi t$)

Sebuah rutin pentagon memiliki simbol Schläfli {5} dan sudut interior 108 °.

Sebuah rutin pentagon memiliki lima baris simetri reflectional , dan simetri rotasi dari urutan 5 (melalui 72 °, 144 °, 216 ° dan 288 °). The Diagonal dari cembung biasa pentagon berada di rasio emas untuk sisi-sisinya. Tingginya (jarak dari satu sisi ke titik yang berlawanan) dan lebar (jarak antara dua titik terpisah terjauh, yang sama dengan panjang diagonal) diberikan oleh

${\text{Tinggi}}={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}\cdot {\text{Sisi}}\approx 1.539\cdot {\text{Sisi}},$

${\text{Width}}={\text{Diagonal}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\cdot {\text{Sisi}}\approx 1.618\cdot {\text{Sisi}},$

${\text{Width}}={\sqrt {2-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\cdot {\text{Tinggi}}\approx 1.051\cdot {\text{Tinggi}},$

${\text{Diagonal}}=R\ {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\cos 18^{\circ }=2R\cos {\frac {\pi }{10}}\approx 1.902R,$

di mana R adalah jari-jari lingkaran .

Luas pentagon reguler cembung dengan panjang sisi t diberikan oleh $A={\frac {5a^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{5}}={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\simeq 1,72048a^{2}$

Sebuah pentagram atau pentangle adalah biasa bintang segi lima. Simbol Schläfli- nya adalah {5/2}. Sisi-sisinya membentuk diagonal pentagon cembung biasa - dalam pengaturan ini sisi kedua pentagon berada dalam rasio emas .

Ketika pentagon biasa dibatasi oleh lingkaran dengan jari-jari R , panjang tepi t diberikan oleh ekspresi

$t=R\ {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\sin 36^{\circ }=2R\sin {\frac {\pi }{5}}\approx 1.176R,$

dan wilayahnya

$A={\frac {5R^{2}}{4}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}};$

inradius

Seperti setiap poligon cembung biasa, pentagon cembung biasa memiliki lingkaran bertuliskan .Apotema , yang merupakan jari-jari r dari lingkaran tertulis, dari pentagon biasa berhubungan dengan panjang sisi t oleh

$r={\frac {t}{2\tan(\pi /5)}}={\frac {t}{2{\sqrt {5-{\sqrt {20}}}}}}\approx 0.6882\cdot t.$

pembangunan segi lima biasa

Pentagon biasa dapat dibangun dengan kompas dan garis lurus , karena 5 adalah prime Fermat . Berbagai metode dikenal untuk membangun pentagon biasa. Beberapa dibahas di bawah ini.

metode richmond

Salah satu metode untuk membangun pentagon reguler dalam lingkaran yang diberikan dijelaskan oleh Richmond dan dibahas lebih lanjut dalam Polyhedra Cromwell .

Panel atas menunjukkan konstruksi yang digunakan dalam metode Richmond untuk membuat sisi pentagon bertulis. Lingkaran yang mendefinisikan pentagon memiliki satuan jari-jari. Pusatnya terletak di titik C dan titik tengah M ditandai setengah jari-jarinya. Titik ini bergabung ke pinggiran secara vertikal di atas pusat pada titik D . Angle CMD adalah membagi, dan garis-yang memotong sumbu vertikal pada titik Q . Garis horizontal melalui Q memotong lingkaran pada titik P , dan akor PD adalah sisi yang diperlukan dari pentagon bertulis.

Untuk menentukan panjang sisi ini, dua segitiga siku-siku DCM dan QCM digambarkan di bawah lingkaran. Menggunakan teorema Pythagoras dan dua sisi, sisi miring dari segitiga yang lebih besar ditemukan sebagai

$\scriptstyle {\sqrt {5}}/2$.Sisi h dari segitiga yang lebih kecil kemudian ditemukan menggunakan rumus setengah sudut :

$\tan(\phi /2)={\frac {1-\cos(\phi )}{\sin(\phi )}}\ ,$

di mana cosinus dan sinus ϕ diketahui dari segitiga yang lebih besar. Hasilnya adalah:

$h={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\ .$

Dengan sisi ini dikenal, perhatian bergantian diagram yang lebih rendah untuk menemukan sisi s dari pentagon biasa. Pertama, sisi a dari segitiga siku-siku ditemukan menggunakan teorema Pythagoras lagi:

$s^{2}=(1-h)^{2}+a^{2}=(1-h)^{2}+1-h^{2}=1-2h+h^{2}+1-h^{2}=2-2h=2-2\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\right)\$

$={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}\ .$

Kemudian s ditemukan menggunakan teorema Pythagoras dan segitiga kiri sebagai:

$s={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\ ,$

Rumus rumus

Luas

$L={\frac {5a^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{5}}={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\simeq 1,72048a^{2}$

Tinggi

$t=r_{u}+r_{i}={\frac {a}{2}}\cdot {\sqrt {5+2\cdot {\sqrt {5}}}}\approx 1{,}539\cdot a$

Diagonal

$d={\frac {a}{2}}\cdot (1+{\sqrt {5}})\approx 1{,}618\cdot a$

Jari jari tertulis

$r_{i}={\frac {a}{10}}\cdot {\sqrt {25+10\cdot {\sqrt {5}}}}\approx 0{,}688\cdot a$

Radius

$r_{u}={\frac {a}{10}}\cdot {\sqrt {50+10\cdot {\sqrt {5}}}}\approx 0{,}851\cdot a$

Contoh segi lima

Tumbuhan

• 
  Penampang melintang okra.
• 
  Morning glory, seperti banyak bunga lainnya, memiliki bentuk pentagonal.
• 
  The gynoecium of an apple contains five carpels, arranged in a five-pointed star
• 
  Starfruit is another fruit with fivefold symmetry.

Hewan

• 
  A sea star. Many echinoderms have fivefold radial symmetry.
• 
  Another example of echinoderm, a sea urchin endoskeleton.
• 
  An illustration of brittle stars, also echinoderms with a pentagonal shape.

Lihat juga

Poligon